Parabeln und quadratische Funktionen

In der Gleichung einer quadratischen Funktion ist x² die höchste Potenz von x, zum Beispiel y = x² − 4. Ihr Graph ist eine Parabel: eine symmetrische Kurve mit einem tiefsten oder höchsten Punkt, dem Scheitelpunkt.

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3. Sek - 1. Jahr Gymnasium
Zyklus 3, Gymnasium
Lehrplan 21: MA.3.A.3.i

Jugendliche stehen an einem Springbrunnen in einem Park, das Wasser spritzt in hohen Bögen ins Becken.

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Das musst du wissen

Erklärung

Bei einer quadratischen Funktion ist x² die höchste von x, etwa y=x²−4. Ihr ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt als tiefstem oder höchstem Punkt. Am Schluss liest du aus der Scheitelpunkt, Öffnung und Achsenschnittpunkte ab.

Die Normalparabel y = x²

Die einfachste quadratische Funktion ist y=x². Ihr Graph heisst Normalparabel. Du setzt jedes x ein und rechnest es :

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

Zu x=2 und x=−2 gehört derselbe Wert 4. Darum ist die Parabel symmetrisch zur y-Achse. Ihr Scheitelpunkt ist S(0|0).

MerkeEine setzt du in Klammern ein: (−3)²=9.

Die Normalparabel y = x² mit den Punkten (−2 | 4) und (2 | 4) und dem Scheitelpunkt S(0 | 0).

Die Zahl a vor dem x²

Bei y=ax² bestimmt a die Form der Parabel.

a positiv: nach oben offen. Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt.
a negativ: nach unten offen. Der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt.
a ohne grösser als 1: schmaler. Zwischen 0 und 1: breiter.

Bei y=2x² gehört zu x=1 schon y=2, bei y=0.5x² erst y=0.5.

MerkePlus heisst offen nach oben, minus nach unten. Ohne Vorzeichen grösser als 1: schmal, zwischen 0 und 1: breit.

Vier Parabeln mit dem Scheitelpunkt im Ursprung: y = 2x² ist schmaler, y = 0.5x² breiter als die Normalparabel, y = −x² ist nach unten offen.

Verschieben: die Scheitelform

Schreibst du die Gleichung als $y = a (x - x_{S})^{2} + y_{S}$ , liest du den Scheitelpunkt $S (x_{S} ∣ y_{S})$ direkt ab. Das ist die Scheitelform.

y=(x−3)²+1 ⇒ S(3|1)

Die Normalparabel ist um 3 nach rechts und um 1 nach oben verschoben. Steht in der Klammer ein Plus, wie bei (x+2)², ist $x_{S} = - 2$ : Die Parabel geht nach links.

MerkeIn der Klammer gilt das umgekehrte Vorzeichen: (x−3)² heisst 3 nach rechts, (x+3)² heisst 3 nach links.

Die Normalparabel und die Parabel y = (x − 3)² + 1: Ihr Scheitelpunkt S(3 | 1) liegt 3 weiter rechts und 1 weiter oben.

Die allgemeine Form y = ax² + bx + c

Oft steht die Gleichung da: y=ax²+bx+c. Dann gilt:

c ist der . Bei x=0 fallen ax² und bx weg, es bleibt y=c.
Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist $x_{S} = - \frac{b}{2 a}$ . Das y dazu bekommst du durch Einsetzen.

Bei y=x²−4x+3 ist $x_{S} = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2$ und $y_{S} = 4 - 8 + 3 = - 1$ , also S(2|−1).

MerkeDen Scheitelpunkt findest du mit $x_{S} = - \frac{b}{2 a}$ , den y-Achsenabschnitt mit x=0.

Die Parabel y = x² − 4x + 3 schneidet die y-Achse bei 3 und hat den Scheitelpunkt S(2 | −1).

Nullstellen der Parabel

An einer schneidet die Parabel die x-Achse. Dort ist y=0. Du setzt also die Gleichung gleich 0:

x²−4=0 ⇒ x²=4 ⇒ x=−2 oder x=2

Eine nach oben offene Parabel hat zwei Nullstellen, wenn der Scheitelpunkt unter der x-Achse liegt. Liegt er auf der Achse, ist es eine, liegt er darüber, keine.

Bei zwei Nullstellen liegt der Scheitelpunkt genau in der Mitte.

MerkeNullstelle: y = 0 setzen. Der Scheitelpunkt liegt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.

Drei nach oben offene Parabeln: y = x² − 4 hat zwei Nullstellen bei −2 und 2, y = x² nur eine bei 0, y = x² + 2 keine.

Quadratische Funktionen und Parabeln: Übersicht mit Tabelle Die Normalparabel y = x²; Die Zahl a vor dem x²; Verschieben: die Scheitelform. — Quadratische Funktionen und Parabeln auf einen Blick: Die Normalparabel y = x² als Tabelle und die wichtigsten Regeln.

Häufige Fehler

✕y=(x−3)² ist um 3 nach links verschoben.
✓Nach rechts. Der Scheitelpunkt ist dort, wo die Klammer 0 wird: x−3=0, also x=3.
✕Bei y=x² und x=−3 ist y=−3²=−9.
✓Die negative Zahl gehört in die Klammer: y=(−3)²=9. Bei y=x² ist y nie negativ.
✕y=3x² ist breiter als die Normalparabel, weil 3 grösser ist als 1.
✓Umgekehrt: Die Werte wachsen dreimal so schnell, die Parabel wird schmaler. Breiter wird sie bei einer Zahl zwischen 0 und 1, etwa y=0.5x².
✕y=x²−4x+3 hat den Scheitelpunkt (0|3).
✓(0|3) ist der mit der y-Achse. Der Scheitelpunkt ist $x_{S} = - \frac{- 4}{2} = 2$ , $y_{S} = - 1$ , also S(2|−1).

Begriffe zum Nachschlagen

Quadratische Funktion: Eine Funktion, in deren Gleichung x² die höchste Potenz von x ist, zum Beispiel y=2x²−3x+1.
Parabel: Der Graph einer quadratischen Funktion: eine symmetrische, nach oben oder unten offene Kurve.
Normalparabel: Der Graph von y=x², mit dem Scheitelpunkt im Ursprung (0|0).
Scheitelpunkt: Der tiefste Punkt einer nach oben offenen Parabel oder der höchste Punkt einer nach unten offenen.
Scheitelform: Die Gleichung $y = a (x - x_{S})^{2} + y_{S}$ , aus der du den Scheitelpunkt $S (x_{S} ∣ y_{S})$ direkt abliest.
Symmetrieachse: Die senkrechte Linie durch den Scheitelpunkt. Links und rechts davon ist die Parabel spiegelgleich.
Nullstelle: Das x, bei dem die Parabel die x-Achse schneidet. Dort ist y=0.
y-Achsenabschnitt: Der y-Wert bei x=0. In y=ax²+bx+c ist das die Zahl c.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Lineare Funktionen und Steigung Binomische Formeln

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Wertetabelle und Graph

Erstelle für y=x²−4 eine Wertetabelle von x=−3 bis x=3. Gib den Scheitelpunkt und die Nullstellen an.

Die Parabel y = x² − 4 mit Scheitelpunkt S(0 | −4), den Nullstellen bei −2 und 2 und den Punkten (−3 | 5) und (3 | 5).

Lösung Schritt für Schritt

Setze jedes x ein. Negative Zahlen in Klammern, zuerst das Quadrat, dann minus 4:x=−3: (−3)²−4=9−4=5
Genauso für die anderen Werte. Wegen der Symmetrie gehören zu x und −x dieselben y-Werte: $x y - 3 5 - 2 0 - 1 - 3 0 - 4 1 - 3 2035$
Der kleinste Wert ist −4 bei x=0. Das ist der Scheitelpunkt.
Bei x=−2 und x=2 ist y=0. Das sind die Nullstellen.

Die Tabelle lautet 5, 0, −3, −4, −3, 0, 5. Scheitelpunkt S(0|−4), Nullstellen x=−2 und x=2.

Beispiel 2Scheitelform lesen

Beschreibe die Parabel y=−2(x−1)²+3: Scheitelpunkt, Öffnung, Form und Schnittpunkt mit der y-Achse.

Die nach unten offene Parabel y = −2(x − 1)² + 3 mit dem Scheitelpunkt S(1 | 3); sie schneidet die y-Achse im Punkt (0 | 1).

Lösung Schritt für Schritt

Vergleiche mit $y = a (x - x_{S})^{2} + y_{S}$ : $a = - 2, x_{S} = 1, y_{S} = 3$
Der Scheitelpunkt ist also S(1|3).
a=−2 ist negativ: Die Parabel ist nach unten offen, S ist der höchste Punkt. Ohne Vorzeichen ist 2 grösser als 1, also ist sie schmaler als die Normalparabel.
Für den y-Achsenabschnitt setzt du x=0 ein:y=−2·(0−1)²+3=−2·1+3=1

S(1|3), nach unten offen, schmaler als die Normalparabel. Sie schneidet die y-Achse bei y=1.

Beispiel 3Nullstellen und Scheitelpunkt

Berechne die Nullstellen und den Scheitelpunkt von y=x²−6x+5.

Die Parabel y = x² − 6x + 5 schneidet die x-Achse bei 1 und 5; der Scheitelpunkt S(3 | −4) liegt genau in der Mitte.

Lösung Schritt für Schritt

Nullstellen: Setze y=0. Zerlege in Faktoren: Welche zwei Zahlen ergeben mal 5 und plus −6? Das sind −1 und −5.x²−6x+5=(x−1)(x−5)=0
Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist:x=1 oder x=5
Der Scheitelpunkt liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen: $x_{S} = \frac{1 + 5}{2} = 3$
Setze x=3 ein: $y_{S} = 3^{2} - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = - 4$

Nullstellen x=1 und x=5, Scheitelpunkt S(3|−4).

Beispiel 4Der Wasserstrahl am Brunnen

Ein Wasserstrahl steigt in einem hohen Bogen aus einer Düse im Brunnenbecken und fällt weiter vorne ins Wasser, zwei Jugendliche schauen zu.

Ein Wasserstrahl an einem Brunnen in Luzern folgt der Parabel y=−0.5x²+2x. Dabei ist x der Abstand von der Düse und y die Höhe über dem Wasser, beides in Metern. Wie hoch steigt der Strahl und wie weit spritzt er?

Der Wasserstrahl y = −0.5x² + 2x startet bei (0 | 0), erreicht im Scheitelpunkt S(2 | 2) die grösste Höhe und landet bei (4 | 0).

Lösung Schritt für Schritt

Weit: Der Strahl trifft dort aufs Wasser, wo y=0 ist. Klammere x aus:−0.5x²+2x=x(−0.5x+2)=0
Also x=0 (die Düse) oder −0.5x+2=0:0.5x=2 ⇒ x=4
Der höchste Punkt ist der Scheitelpunkt, genau in der Mitte zwischen 0 und 4: $x_{S} = 2$
Setze 2 ein: $y_{S} = - 0.5 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 = - 2 + 4 = 2$

Der Strahl steigt 2 m hoch und trifft 4 m von der Düse entfernt aufs Wasser.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
Die heisst y=x². Berechne y für x=−4.
Lösung zeigen
Ergebnis: y=16
Auf der Normalparabel y = x² liegt bei x = −4 der Punkt mit y = 16.
1. Einsetzen mit Klammer: y=(−4)²
2. Minus mal minus gibt plus: (−4)·(−4)=16
2
Gib den Scheitelpunkt von y=(x−2)²+1 an.
Lösung zeigen
Ergebnis: S(2|1)
Die Parabel y = (x − 2)² + 1 hat ihren tiefsten Punkt im Scheitelpunkt S(2 | 1).
1. Vergleiche mit $y = (x - x_{S})^{2} + y_{S}$ .
2. $x_{S} = 2$ , weil die Klammer bei x=2 null wird.
3. $y_{S} = 1$ . Probe: (2−2)²+1=1.
3
Ist die Parabel y=−x²+9 nach oben oder nach unten offen? Wo schneidet sie die y-Achse?
Lösung zeigen
Ergebnis: Nach unten offen. Sie schneidet die y-Achse bei y=9.
Die nach unten offene Parabel y = −x² + 9 hat ihren höchsten Punkt bei (0 | 9) auf der y-Achse.
1. Vor dem x² steht ein Minus: a=−1, also nach unten offen.
2. Setze x=0: y=−(0²)+9=0+9=9.
4
Die Funktion heisst y=2x²−3. Berechne y für x=2.
Lösung zeigen
Ergebnis: y=5
Auf der Parabel y = 2x² − 3 liegt bei x = 2 der Punkt mit y = 5.
1. Zuerst das Quadrat: 2²=4
2. Dann mal 2: 2·4=8
3. Zum Schluss minus 3: 8−3=5
5
Berechne die Nullstellen von y=x²−9.
Lösung zeigen
Ergebnis: x=−3 und x=3, also die Punkte (−3|0) und (3|0).
Die Parabel y = x² − 9 schneidet die x-Achse bei −3 und bei 3.
1. Setze y=0: x²−9=0
2. x²=9
3. x=3 oder x=−3. Probe: 3·3−9=0.

6
Gib den Scheitelpunkt von y=(x+1)²−4 an und berechne, wo die Parabel die y-Achse schneidet.
Lösung zeigen
Ergebnis: S(−1|−4). Sie schneidet die y-Achse bei y=−3.
1. (x+1) heisst $x_{S} = - 1$ , dazu $y_{S} = - 4$ .
2. Setze x=0: (0+1)²−4=1−4=−3
7
Die Funktion heisst y=0.5x². Berechne y für x=−6. Ist die Parabel breiter oder schmaler als die Normalparabel?
Lösung zeigen
Ergebnis: y=18. Sie ist breiter als die Normalparabel.
1. (−6)²=36
2. 0.5·36=18
3. 0.5 liegt zwischen 0 und 1, also ist die Parabel breiter.
8
Berechne die Nullstellen und den Scheitelpunkt von y=x²−2x−8.
Lösung zeigen
Ergebnis: Nullstellen x=−2 und x=4, Scheitelpunkt S(1|−9).
1. Zerlegen: x²−2x−8=(x+2)(x−4), denn 2·(−4)=−8 und 2+(−4)=−2.
2. Nullstellen: x=−2 oder x=4
3. Mitte: $x_{S} = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$
4. $y_{S} = 1 - 2 - 8 = - 9$
9
Eine nach oben offene Normalparabel hat den Scheitelpunkt S(−2|5). Stelle die Gleichung in Scheitelform auf. Wo schneidet sie die y-Achse?
Lösung zeigen
Ergebnis: y=(x+2)²+5. Sie schneidet die y-Achse bei y=9.
1. Scheitelform mit a=1: y=(x−(−2))²+5=(x+2)²+5
2. Setze x=0: (0+2)²+5=4+5=9
10
Liegt der Punkt P(3|7) auf der Parabel y=x²−2?
Lösung zeigen
Ergebnis: Ja, denn für x=3 ist y=7.
1. Setze x=3 ein: y=3²−2=9−2=7
2. Der y-Wert stimmt mit dem von P überein, also liegt P auf der Parabel.

11
Berechne den Scheitelpunkt von y=2x²−8x+5.
Lösung zeigen
Ergebnis: S(2|−3)
1. a=2, b=−8: $x_{S} = - \frac{- 8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
2. Einsetzen: $y_{S} = 2 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 5 = 8 - 16 + 5 = - 3$
12
Eine nach oben offene Normalparabel hat die Nullstellen x=1 und x=7. Bestimme ihre Gleichung und ihren Scheitelpunkt.
Lösung zeigen
Ergebnis: y=(x−1)(x−7)=x²−8x+7, Scheitelpunkt S(4|−9).
1. Mit den Nullstellen: y=(x−1)(x−7)
2. Ausmultipliziert: x²−7x−x+7=x²−8x+7
3. Mitte: $x_{S} = \frac{1 + 7}{2} = 4$
4. $y_{S} = (4 - 1) (4 - 7) = 3 \cdot (- 3) = - 9$
13
Lena aus Thun baut ihrem Kaninchen ein rechteckiges Gehege mit 24 m Zaun. Ist eine Seite x Meter lang, ist die andere 12−x Meter lang. Wie lang müssen die Seiten sein, damit die Fläche am grössten wird? Wie gross ist sie?
Lösung zeigen
Ergebnis: Beide Seiten 6 m, die Fläche ist dann 36 m².
1. Fläche: A=x(12−x)=−x²+12x. Das ist eine nach unten offene Parabel.
2. Nullstellen bei x=0 und x=12, der Scheitelpunkt in der Mitte: x=6
3. Andere Seite: 12−6=6 m
4. Fläche: 6·6=36 m²
14
Für welche Zahl c hat die Parabel y=x²+6x+c genau eine Nullstelle?
Lösung zeigen
Ergebnis: Für c=9. Dann ist y=(x+3)² mit der Nullstelle x=−3.
1. Genau eine Nullstelle heisst: Der Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse.
2. $x_{S} = - \frac{6}{2} = - 3$
3. $y_{S} = 9 - 18 + c = 0$ , also c=9

Verwechselt dein Kind beim Verschieben noch links und rechts oder findet es den Scheitelpunkt nicht, übt eine Lehrperson mit ihm Gleichung und Parabel an eigenen Beispielen. Nachhilfe in Mathematik für die Sek und das Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Parabeln und quadratische Funktionen

So funktioniert der Trainer

Wähle die richtige Antwort und lies die Erklärung. Stufe 1 übt Einsetzen und die Öffnung, Stufe 2 die Scheitelform und das Verschieben, Stufe 3 Nullstellen und den Scheitelpunkt aus der allgemeinen Form.

Wo liegt der Scheitelpunkt von y = x² + 5?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Mit dem Rechner kontrollieren

Nullstellen-Rechner

Geraden und Parabeln, mit Graph

Nullstellenx₁=3undx₂=1

PunkteN₁(3 | 0), N₂(1 | 0)

Rechenweg

Eine Nullstelle ist ein x, bei dem f(x) = 0 ist: Dort schneidet der Graph die x-Achse. Setze den Funktionsterm gleich 0.
x²−4x+3=0
Lies a, b und c ab.
a = 1, b = −4, c = 3
Berechne die Diskriminante D = b² − 4ac. Sie sagt, wie viele Lösungen es gibt.
D = (−4)² − 4 · 1 · 3=4
D ist positiv: Es gibt zwei Nullstellen. Setze in die Mitternachtsformel ein, √4 = 2.
x₁,₂ = (4 ± 2) : 2
Einmal mit Plus, einmal mit Minus gerechnet.
x₁=(4 + 2) : 2=3undx₂=(4 − 2) : 2=1

Beispiele

Zum Nullstellen-Rechner mit Anleitung →

Geschafft? So geht es weiter

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Nächstes ThemaQuadratische Ergänzung und ScheitelformMit der quadratischen Ergänzung schreibst du y = x² + bx + c als Quadrat einer Klammer plus eine Zahl. So entsteht die Scheitelform, aus der du den Scheitelpunkt der Parabel direkt abliest.3. Sek - 1. Jahr Gymnasium

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 3. Sek - 1. Jahr Gymnasium
Stufe: Zyklus 3, Gymnasium
Fach: Mathematik

Je nach Kanton und Niveau in der 3. Sek mit der Normalparabel und dem Verschieben. Ausführlich mit Scheitelform, Nullstellen und Sachaufgaben im 1. und 2. Jahr am Gymnasium.

MA.3.A.3.iZu einem x den y-Wert einer Funktion finden, mit der Gleichung, aus einer Tabelle oder am Graphen, und Punkte ins Koordinatensystem eintragen; hier für Parabeln.
MA.3.C.2.hGleichung, Wertetabelle und Graph einer Funktion einander zuordnen und erklären, was man daran ablesen kann.
MA.1.C.2.kLineares, quadratisches und exponentielles Wachstum an Termen, Zahlenfolgen und Graphen unterscheiden.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist eine Parabel?

Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion, also einer Funktion, in deren Gleichung x² die höchste Potenz von x ist. Sie ist symmetrisch und hat einen tiefsten oder höchsten Punkt, den Scheitelpunkt. Die einfachste ist die Normalparabel y=x².

Wie finde ich den Scheitelpunkt einer Parabel?

Steht die Gleichung in Scheitelform $y = a (x - x_{S})^{2} + y_{S}$ , liest du $S (x_{S} ∣ y_{S})$ direkt ab. Bei y=ax²+bx+c rechnest du $x_{S} = - \frac{b}{2 a}$ und setzt das Ergebnis ein. Kennst du zwei Nullstellen, liegt $x_{S}$ genau in der Mitte.

In welcher Klasse lernt man quadratische Funktionen?

Je nach Kanton und Niveau kommt die Parabel in der 3. Sek, ausführlich dann im 1. und 2. Jahr am Gymnasium. In der Sek geht es meist um die Normalparabel und das Verschieben, am Gymnasium auch um Nullstellen, Scheitelform und Sachaufgaben.

Wo kommen Parabeln im Alltag vor?

Ein geworfener Ball oder ein Wasserstrahl fliegt ohne Luftwiderstand auf einer Parabel. Auch Satellitenschüsseln haben im Querschnitt die Form einer Parabel. In Sachaufgaben fragt man oft nach der grössten Höhe oder der grössten Fläche, also nach dem Scheitelpunkt.

Parabeln und quadratische Funktionen

Erklärung

Die Normalparabel y = x²

Die Zahl a vor dem x²

Verschieben: die Scheitelform

Die allgemeine Form y = ax² + bx + c

Nullstellen der Parabel

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Wertetabelle und Graph

Beispiel 2Scheitelform lesen

Beispiel 3Nullstellen und Scheitelpunkt

Beispiel 4Der Wasserstrahl am Brunnen

Übungen mit Lösungen

Trainer: Parabeln und quadratische Funktionen

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Lehrplan 21

Häufige Fragen

Gleichung

Potenz

Graph

quadrieren

Negative Zahl

Vorzeichen

y-Achsenabschnitt

ausmultiplizieren

Nullstelle

Schnittpunkt

Funktion