Höhe im Dreieck

Eine Höhe führt von einer Ecke des Dreiecks senkrecht auf die gegenüberliegende Seite oder ihre Verlängerung. Jedes Dreieck hat drei Höhen, und sie schneiden sich im Höhenschnittpunkt.

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6. Klasse - 1. Sek
Zyklus 2–3
Lehrplan 21: MA.2.A.1.i

Zwei Jugendliche halten ein grosses Papierdreieck vor das Fenster. Eine Schnur mit Gewicht hängt durch die obere Ecke senkrecht bis zur unteren Kante.

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Das musst du wissen

Erklärung

Eine Höhe führt von einer Ecke senkrecht auf die gegenüberliegende Seite. Jedes Dreieck hat drei Höhen, und sie treffen sich in einem Punkt. Du zeichnest Höhen mit dem und berechnest sie aus der Fläche.

Was eine Höhe ist

Die Höhe $h_{c}$ beginnt in der Ecke C und trifft die Seite c im rechten Winkel. Die Seite c liegt der Ecke C gegenüber, also zwischen A und B.

Der Punkt, in dem die Höhe auf die Seite trifft, heisst Fusspunkt. Die Länge der Höhe ist der Abstand der Ecke von dieser Seite: Keine andere Strecke von C zur Seite c ist kürzer.

MerkeDie Höhe steht immer senkrecht auf ihrer Seite. Sie misst den Abstand der Ecke von dieser Seite.

Dreieck ABC mit der Höhe h von der Ecke C senkrecht auf die Seite AB. Die Höhe ist 5 Einheiten lang.

Drei Höhen pro Dreieck

Zu jeder Ecke gehört eine Höhe: $h_{a}$ führt von A auf die Seite a, $h_{b}$ von B auf die Seite b und $h_{c}$ von C auf die Seite c.

Welche Höhe gerade «oben» ist, hängt nur davon ab, wie das Dreieck liegt. Drehst du das Blatt, wird eine andere Seite zur unteren Seite. Die drei Höhen bleiben dieselben.

MerkeDie Höhe hat denselben Buchstaben wie ihre Seite: $h_{a}$ steht auf a, $h_{b}$ auf b, $h_{c}$ auf c.

Eine Höhe einzeichnen

Leg die Mittellinie des Geodreiecks auf die Seite c.
Schieb es, bis die lange Kante durch C geht.
Zeichne der Kante entlang bis zur Seite. Markier den rechten Winkel.

Mit dem Zirkel: Ein Bogen um C schneidet die Seite zweimal. Die der Strecke dazwischen ist die Höhe.

Liegt der Fusspunkt ausserhalb, verlängere zuerst die Seite.

Wenn die Höhe ausserhalb liegt

Beim treffen zwei Höhen nur die Verlängerung einer Seite. Verlängere die Seite mit dem Lineal über die Ecke hinaus. Der Fusspunkt liegt dann ausserhalb.

Beim sind zwei Höhen schon da. Die Seiten am rechten Winkel stehen senkrecht aufeinander, also ist jede die Höhe auf die andere.

Stumpfwinkliges Dreieck ABC mit dem stumpfen Winkel bei B. Die Höhe h von C ist 4 Einheiten lang und trifft die gedachte Verlängerung der Seite AB rechts neben B, ausserhalb des Dreiecks.

Der Höhenschnittpunkt

Die drei Höhen oder ihre Verlängerungen schneiden sich in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt H.

: H liegt innen.
Rechtwinkliges Dreieck: H ist die Ecke mit dem rechten Winkel.
Stumpfwinkliges Dreieck: H liegt aussen. Verlängere die Höhen.

Zum reichen zwei Höhen, die dritte ist die Kontrolle.

MerkeSpitzwinklig: H innen. Rechtwinklig: H in der Ecke mit dem rechten Winkel. Stumpfwinklig: H aussen.

Höhe und Fläche

Ein Dreieck ist halb so gross wie ein Rechteck mit derselben Seite und Höhe. Darum gilt: $A = \frac{c \cdot h _{c}}{2}$ . Kennst du die Fläche und die Seite, rechnest du rückwärts:

h_{c} = \frac{2 \cdot A}{c}

Du darfst jede Seite nehmen, solange du die passende Höhe dazu nimmst: $a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b} = c \cdot h_{c}$ . Darum gehört die längste Höhe zur kürzesten Seite.

MerkeHöhe = 2 mal Fläche, geteilt durch die Seite, auf der sie steht.

Höhe im Dreieck (höhen dreieck): Merkblatt mit Formel und Beispiel. h_c = 2 · A/c. Die Höhe steht immer senkrecht auf ihrer Seite. Sie misst den Abstand der Ecke von dieser Seite. Beispiel: h_c = 6 Einheiten, die Fläche ist 24 Quadrat-Einheiten. — Merkblatt Höhe im Dreieck: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕Die Höhe ist die Linie, die im Bild senkrecht nach oben geht.
✓Eine Höhe steht senkrecht auf einer Seite des Dreiecks, egal wie das Dreieck auf dem Blatt liegt. Jedes Dreieck hat drei Höhen, auch wenn keine davon im Bild senkrecht steht.
✕Die Höhe $h_{c}$ geht von C zur Mitte der Seite c.
✓Die Höhe geht von C senkrecht auf die Seite c. Ihr Fusspunkt liegt meist nicht in der Mitte. Nur im gleichschenkligen Dreieck trifft die Höhe auf die Basis genau in deren Mitte.
✕Im stumpfwinkligen Dreieck gibt es nur eine Höhe, weil die anderen nicht ins Dreieck passen.
✓Auch das stumpfwinklige Dreieck hat drei Höhen. Zwei davon liegen ausserhalb und treffen die Verlängerung einer Seite.
✕A=24 , c=8 cm, also $h_{c} = 24 : 8 = 3$ cm.
✓Das «geteilt durch 2» der Flächenformel nicht vergessen: $h_{c} = 2 \cdot 24 : 8 = 6$ cm. Probe: 8·6:2=24.

Begriffe zum Nachschlagen

Höhe: Senkrechte Strecke von einer Ecke auf die gegenüberliegende Seite oder ihre Verlängerung. Ihre Länge ist der Abstand der Ecke von dieser Seite.
Fusspunkt: Der Punkt, in dem eine Höhe auf ihre Seite oder deren Verlängerung trifft. Dort ist der rechte Winkel.
Höhenschnittpunkt: Punkt H, in dem sich die drei Höhen oder ihre Verlängerungen schneiden.
spitzwinkliges Dreieck: Dreieck, in dem alle drei Winkel kleiner als 90° sind. Alle Höhen liegen im Innern.
rechtwinkliges Dreieck: Dreieck mit einem Winkel von genau 90°. Die zwei Seiten am rechten Winkel sind zugleich Höhen.
stumpfwinkliges Dreieck: Dreieck mit einem Winkel über 90°. Zwei seiner Höhen liegen ausserhalb.
Grundseite: Die Seite, auf der die Höhe steht, mit der du die Fläche rechnest. Oft heisst sie g.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Winkel messen, zeichnen und Winkelarten Konstruieren mit Zirkel und Geodreieck

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Höhe ablesen und Fläche rechnen

Ein Dreieck hat die Ecken A(1|1), B(9|1) und C(4|7). Wie lang ist die Höhe $h_{c}$ , und wie gross ist die Fläche?

Dreieck mit A(1 | 1), B(9 | 1) und C(4 | 7). Die Höhe h führt von C senkrecht hinunter auf die Seite AB und ist 6 Einheiten lang.

Lösung Schritt für Schritt

Die Seite c von A nach B liegt waagrecht, also geht die Höhe von C senkrecht nach unten. Ihr Fusspunkt ist (4|1).
Die Höhe ist der Unterschied der y-Werte: $h_{c} = 7 - 1 = 6$
Die Seite c ist der Unterschied der x-Werte:c=9−1=8
Fläche mit Seite und Höhe:A=8·62=24

$h_{c} = 6$ Einheiten, die Fläche ist 24 Quadrat-Einheiten.

Beispiel 2Höhe aus der Fläche

Ein Dreieck hat eine Fläche von 30 cm². Die Seite c ist 12 cm lang. Wie lang ist die Höhe $h_{c}$ ?

Lösung Schritt für Schritt

Die Flächenformel lautet $A = c \cdot h_{c} : 2$ . Du suchst $h_{c}$ , also rechnest du rückwärts.
Fläche verdoppeln und durch die Seite teilen: $h_{c} = \frac{2 \cdot 30}{12} = \frac{60}{12} = 5$
Probe: 12·5:2=30. Stimmt.

Die Höhe $h_{c}$ ist 5 cm lang.

Beispiel 3Der kürzeste Weg im Garten

Eine Mutter und ein Kind legen im Schrebergarten einen geraden Weg aus Steinplatten von einer Gartenecke bis zum Zaun.

Familie Gerber hat in Bern einen dreieckigen Schrebergarten mit 96 Fläche. Die Seite entlang dem Zaun ist 16 m lang, und die beiden Ecken am Zaun sind spitz. Von der Ecke gegenüber soll ein möglichst kurzer Plattenweg zum Zaun führen. Wie lang wird der Weg?

Lösung Schritt für Schritt

Der kürzeste Weg von einem Punkt zu einer Linie steht senkrecht auf dieser Linie. Weil die beiden Ecken am Zaun spitz sind, trifft er den Zaun selbst und nicht erst seine Verlängerung. Der Weg ist also die Höhe auf die Seite am Zaun.
Höhe aus Fläche und Seite:h=2·9616=19216=12
Probe: 16·12:2=96. Stimmt.

Der Weg wird 12 m lang und trifft den Zaun im rechten Winkel.

Beispiel 4Von einer Höhe zur anderen

Im Dreieck ABC ist c=10 cm und $h_{c} = 6$ cm. Die Seite a ist 8 cm lang. Wie lang ist die Höhe $h_{a}$ ?

Lösung Schritt für Schritt

Zuerst die Fläche mit c und $h_{c}$ :A=10·62=30
Dieselbe Fläche gilt mit a und $h_{a}$ . Also rückwärts rechnen: $h_{a} = \frac{2 \cdot 30}{8} = \frac{60}{8} = 7.5$
Kontrolle: a ist kürzer als c, also muss $h_{a}$ länger sein als $h_{c}$ . Mit 7.5 cm gegenüber 6 cm passt das.

Die Höhe $h_{a}$ ist 7.5 cm lang.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
Ein Dreieck hat die Ecken A(0|0), B(6|0) und C(2|4). Wie lang ist die Höhe $h_{c}$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: $h_{c} = 4$ Einheiten
Dreieck mit A(0 | 0), B(6 | 0) und C(2 | 4). Die Höhe h von C auf die Seite AB ist 4 Einheiten lang.
1. Die Seite c liegt auf der x-Achse, die Höhe geht von C senkrecht nach unten.
2. Ihr Fusspunkt ist (2|0).
3. Länge: 4−0=4 Einheiten.
2
Ein Dreieck hat 20 cm² Fläche. Die ist 8 cm lang. Wie lang ist die Höhe auf diese Seite?
Lösung zeigen
Ergebnis: h=5 cm
Dreieck mit der Seite AB von 8 Einheiten und der Höhe h von 5 Einheiten darauf.
1. Fläche verdoppeln: 2·20=40.
2. Durch die Grundseite teilen: 40:8=5, also 5 cm.
3. Probe: 8·5:2=20.
3
Die Seite c eines Dreiecks ist 10 cm lang, die Höhe $h_{c}$ 7 cm. Wie gross ist die Fläche?
Lösung zeigen
Ergebnis: A=35 cm²
Dreieck mit der Seite AB von 10 Einheiten und der Höhe h von 7 Einheiten darauf.
1. Seite mal Höhe: 10·7=70.
2. Geteilt durch 2: 70:2=35, also 35 cm².
4
Ein rechtwinkliges Dreieck hat am rechten Winkel die Seiten 6 cm und 9 cm. Wie lang ist die Höhe auf die 6-cm-Seite?
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Ergebnis: 9 cm
1. Die beiden Seiten am rechten Winkel stehen senkrecht aufeinander.
2. Darum ist die 9-cm-Seite die Höhe auf die 6-cm-Seite: 9 cm.
5
Ein Dreieck hat die Ecken A(0|0), B(4|0) und C(7|3). Wie lang ist die Höhe $h_{c}$ , und wo liegt ihr Fusspunkt?
Lösung zeigen
Ergebnis: $h_{c} = 3$ Einheiten, der Fusspunkt (7|0) liegt ausserhalb des Dreiecks.
Stumpfwinkliges Dreieck mit A(0 | 0), B(4 | 0) und C(7 | 3). Die Höhe h von C ist 3 Einheiten lang und endet rechts neben B auf der gedachten Verlängerung von AB, ausserhalb des Dreiecks.
1. Die Seite c liegt auf der x-Achse. Die Höhe geht von C senkrecht nach unten auf (7|0).
2. (7|0) liegt rechts von B(4|0), also auf der Verlängerung der Seite.
3. Länge: 3−0=3 Einheiten.

6
Ein Dreieck hat 42 cm² Fläche, die Seite c ist 12 cm lang. Wie lang ist $h_{c}$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: $h_{c} = 7$ cm
1. $h_{c} = 2 \cdot 42 : 12$
2. 84:12=7, also 7 cm.
3. Probe: 12·7:2=42.
7
Im Dreieck ABC ist a=9 cm und $h_{a} = 4$ cm. Die Seite b ist 6 cm lang. Wie lang ist $h_{b}$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: $h_{b} = 6$ cm
1. Fläche mit a und $h_{a}$ : 9·4:2=18 cm².
2. Rückwärts mit b: $h_{b} = 2 \cdot 18 : 6 = 6$ cm.
8
Ein gleichschenkliges Dreieck hat eine Basis von 10 cm. Die Höhe auf die Basis ist 12 cm lang. Wie gross ist die Fläche, und wie weit ist der Fusspunkt von den Enden der Basis entfernt?
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Ergebnis: A=60 cm², der Fusspunkt liegt je 5 cm von den Enden entfernt.
1. Fläche: 10·12:2=60 cm².
2. Im gleichschenkligen Dreieck trifft die Höhe die Basis in der Mitte.
3. Die Mitte liegt 10:2=5 cm von beiden Enden entfernt.
9
Ein dreieckiges Blumenbeet in Aarau hat 18 m² Fläche. Seine Seite entlang der Hausmauer ist 9 m lang. Wie weit ist die gegenüberliegende Ecke von der Mauer entfernt?
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Ergebnis: 4 m
1. Der Abstand der Ecke von der Mauer ist die Höhe auf die Seite an der Mauer.
2. h=2·18:9=36:9=4, also 4 m.
10
Ein Dreieck hat 13.5 cm² Fläche, die Grundseite ist 4.5 cm lang. Wie lang ist die Höhe?
Lösung zeigen
Ergebnis: h=6 cm
1. Fläche verdoppeln: 2·13.5=27.
2. Durch die Grundseite: 27:4.5=6, also 6 cm.

11
Ein rechtwinkliges Dreieck hat am rechten Winkel die Seiten 3 cm und 4 cm. Die längste Seite ist 5 cm lang. Wie lang ist die Höhe auf die längste Seite?
Lösung zeigen
Ergebnis: 2.4 cm
1. Die zwei Seiten am rechten Winkel sind Seite und Höhe zueinander: A=3·4:2=6 cm².
2. Dieselbe Fläche mit der längsten Seite: h=2·6:5=12:5=2.4 cm.
12
Ein Dreieck hat die Ecken A(0|0), B(6|0) und C(3|6). Wo liegt der Höhenschnittpunkt H? Tipp: Die Höhe von A steht senkrecht auf BC. Von B nach C geht es 3 nach links und 6 nach oben.
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Ergebnis: H(3|1.5)
1. Die Höhe $h_{c}$ geht von C senkrecht nach unten, sie liegt auf der Linie x=3.
2. Die Höhe von A steht senkrecht auf BC. Auf ihr geht es 6 nach rechts und 3 nach oben, also pro Schritt nach rechts eine halbe Einheit nach oben.
3. Bei x=3 ist sie 3:2=1.5 hoch. Also H(3|1.5).
13
Im Dreieck ABC ist c=14 cm und $h_{c} = 12$ cm. Die Seite a ist 13 cm lang, die Seite b 15 cm. Wie lang ist $h_{b}$ ? Ordne die drei Höhen der Länge nach, ohne $h_{a}$ auszurechnen.
Lösung zeigen
Ergebnis: $h_{b} = 11.2$ cm. Der Länge nach: $h_{a} > h_{c} > h_{b}$ .
1. Fläche mit c und $h_{c}$ : 14·12:2=84 cm².
2. $h_{b} = 2 \cdot 84 : 15 = 168 : 15 = 11.2$ cm.
3. Seite mal Höhe ist immer 168. Zur kürzesten Seite a=13 cm gehört die längste Höhe, zur längsten Seite b=15 cm die kürzeste. Also $h_{a} > h_{c} > h_{b}$ .
14
Die Dreiecke ABC und ABD haben dieselbe Seite $\overline{A B} = 8$ cm. C und D liegen auf derselben zu AB, 5 cm von AB entfernt. Wie gross sind die beiden Flächen?
Lösung zeigen
Ergebnis: Beide sind 20 cm² gross.
1. Beide Dreiecke haben die Seite AB mit 8 cm.
2. Ihre Höhe auf AB ist der Abstand der Parallelen, also bei beiden 5 cm.
3. Fläche: 8·5:2=20 cm², bei beiden gleich, egal wie schief sie aussehen.

Steht die Höhe bei deinem Kind noch schief oder fehlt beim Rückwärtsrechnen das «mal 2», übt eine Lehrperson mit ihm Zeichnen und Rechnen Schritt für Schritt. Mathematik-Nachhilfe für Primarschule und Sek

Üben ohne Ende

Trainer: Höhe im Dreieck

So funktioniert der Trainer

Wähle die richtige Antwort. Stufe 1 übt Begriffe und das Einzeichnen, Stufe 2 die Höhe aus der Fläche und die Lage bei besonderen Dreiecken, Stufe 3 zwei Höhen im selben Dreieck und den Höhenschnittpunkt mit Koordinaten.

In welchem Winkel trifft eine Höhe auf ihre Seite?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Nächstes ThemaFläche von Dreieck, Parallelogramm und TrapezDie Fläche von Parallelogramm, Dreieck und Trapez berechnest du immer mit einer Seite und der Höhe darauf. Das Dreieck ist ein halbes Parallelogramm, das Trapez rechnest du mit dem Mittelwert der beiden parallelen Seiten.1. Sek

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 6. Klasse - 1. Sek
Zyklus: Zyklus 2–3
Fach: Mathematik

Das Einzeichnen der Höhe kommt oft schon in der 6. Klasse. In der 1. Sek folgen die Dreiecksfläche, die Konstruktion mit dem Zirkel und der Höhenschnittpunkt.

MA.2.A.1.iDie Höhe eines Dreiecks und ihren Fusspunkt kennen, die drei Höhen richtig benennen und sie von anderen Linien im Dreieck unterscheiden.
MA.2.C.2.hMit dem Geodreieck von einer Ecke aus eine Senkrechte auf die gegenüberliegende Seite zeichnen und so jede Höhe eines Dreiecks einzeichnen.
MA.2.C.2.iEin Dreieck mit vorgegebener Höhe skizzieren und danach genau zeichnen, etwa aus einer Seite und der Höhe darauf.
MA.2.A.1.gDie Wörter Senkrechte, Schnittpunkt und Flächeninhalt sicher brauchen; auf ihnen baut die Höhe im Dreieck auf.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist die Höhe in einem Dreieck?

Die Höhe ist die Strecke von einer Ecke senkrecht auf die gegenüberliegende Seite. Ihre Länge ist der Abstand der Ecke von dieser Seite. Jedes Dreieck hat drei Höhen, eine zu jeder Ecke.

Kann die Höhe ausserhalb des Dreiecks liegen?

Ja, beim stumpfwinkligen Dreieck. Dort treffen zwei Höhen die Verlängerung einer Seite, und auch der Höhenschnittpunkt liegt ausserhalb. Beim spitzwinkligen Dreieck liegen alle Höhen innen.

Wie berechnet man die Höhe eines Dreiecks?

Kennst du Fläche und Seite, rechnest du Höhe = 2 · Fläche : Seite. Beim gleichseitigen Dreieck mit der Seite s gilt h = s · √3 : 2, also etwa 0.87 · s; diese Formel kommt aus dem Satz des Pythagoras, den du später in der Sek lernst.

In welcher Klasse lernt man die Höhe im Dreieck?

Nach Lehrplan 21 zeichnest du Höhen oft schon in der 6. Klasse ein. In der 1. Sek kommen die Dreiecksfläche, das Konstruieren mit dem Zirkel und der Höhenschnittpunkt dazu. Je nach Kanton und Lehrmittel kann es etwas früher oder später sein.

Höhe im Dreieck

Erklärung

Was eine Höhe ist

Drei Höhen pro Dreieck

Eine Höhe einzeichnen

Wenn die Höhe ausserhalb liegt

Der Höhenschnittpunkt

Höhe und Fläche

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Höhe ablesen und Fläche rechnen

Beispiel 2Höhe aus der Fläche

Beispiel 3Der kürzeste Weg im Garten

Beispiel 4Von einer Höhe zur anderen

Übungen mit Lösungen

Trainer: Höhe im Dreieck

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Lehrplan 21

Häufige Fragen

Geodreieck

Mittelsenkrechte

stumpfwinkliges Dreieck

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