Substitution bei Gleichungen

Bei der Substitution ersetzt du einen Teilterm, der mehrfach vorkommt, durch eine neue Variable, etwa u = x². So wird aus einer Gleichung wie x⁴ − 13x² + 36 = 0 eine quadratische Gleichung, die du mit bekannten Mitteln löst.

Jetzt üben Zum Ausdrucken

1. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Eine Gymnasiastin tauscht in einem Bastelraum ein grosses Zahnrad einer Maschine aus, ihr Mitschüler hält das neue Teil bereit.

Zum Ausdrucken

Das musst du wissen

Erklärung

Bei der Substitution ersetzt du einen Teilterm, der in einer mehrfach vorkommt, durch eine neue , meist u. Aus x⁴−13x²+36=0 wird mit u=x² die u²−13u+36=0. Am Schluss rechnest du jedes u zurück auf x, das ist die Rücksubstitution.

Die Idee: einen Teilterm ersetzen

In x⁴−13x²+36=0 steckt x² zweimal, denn x⁴=(x²)². Setzt du u=x², steht da

u²−13u+36=0

Diese Gleichung ist quadratisch in u. Du löst sie wie gewohnt durch Zerlegen in Faktoren oder mit der . Die Variable u ist nur eine Hilfe für den Zwischenschritt.

MerkeSubstitution lohnt sich, wenn ein Teilterm und sein Quadrat in der Gleichung vorkommen.

Biquadratische Gleichungen

Eine Gleichung der Form ax⁴+bx²+c=0 heisst biquadratisch. Es kommen nur x⁴, x² und eine Zahl vor, kein x³ und kein x. Mit u=x² wird daraus immer au²+bu+c=0.

Im Beispiel: u²−13u+36=(u−4)(u−9)=0, also $u_{1} = 4$ und $u_{2} = 9$ .

Der Graph von y = x⁴ − 13x² + 36 schneidet die x-Achse viermal: bei −3, −2, 2 und 3.

Rücksubstitution: zurück zu x

Gesucht ist x, nicht u. Darum löst du für jedes u die Gleichung x²=u.

x²=4 ⇒ x=±2 x²=9 ⇒ x=±3

Die Gleichung hat also vier Lösungen: −3, −2, 2 und 3.

MerkeErst wenn du alle u auf x zurückgerechnet hast, bist du fertig.

Wie viele Lösungen gibt es?

Bei x²=u entscheidet das von u: Ist u>0, gibt es zwei Lösungen $x = \pm u$ . Ist u=0, gibt es nur x=0. Ist u<0, gibt es keine Lösung, denn eine Zahl mal sich selbst ist nie negativ.

Bei x⁴−3x²−4=0 erhältst du $u_{1} = 4$ und $u_{2} = - 1$ . Nur $u_{1}$ liefert Lösungen: x=±2. Eine biquadratische Gleichung hat darum vier, drei, zwei, eine oder keine Lösung.

MerkeEin negatives u gibt bei u = x² keine Lösung. Streich es, aber vergiss das andere u nicht.

Der Graph von y = x⁴ − 3x² − 4 schneidet die x-Achse nur zweimal, bei −2 und bei 2.

Andere Teilterme

Die Methode funktioniert mit jedem Teilterm T, wenn die Gleichung die Form aT²+bT+c=0 hat.

x⁶−9x³+8=0 mit u=x³, denn x⁶=(x³)².
$x - 5 x + 6 = 0$ mit $u = x$ , denn $x = (x)^{2}$ . Hier muss u≥0 sein.
(x²−3)²−4(x²−3)−12=0 mit u=x²−3.

Bei der Rücksubstitution löst du dann x³=u, $x = u$ oder x²−3=u.

MerkePrüfe vor dem Ersetzen: Ist der eine genau das Quadrat des anderen?

Substitution bei Gleichungen: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Substitution lohnt sich, wenn ein Teilterm und sein Quadrat in der Gleichung vorkommen. Erst wenn du alle u auf x zurückgerechnet hast, bist du fertig. — Merkblatt Substitution bei Gleichungen: Regel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕x⁴−10x²+9=0 hat die Lösungen 1 und 9.
✓1 und 9 sind die Werte für u. Zurück zu x: x²=1 und x²=9 geben x=±1 und x=±3.
✕x²=9, also x=3.
✓Auch (−3)²=9. Bei der Rücksubstitution gehören beide Lösungen dazu: x=3 und x=−3.
✕x²=−4, also x=±2.
✓Eine Zahl mal sich selbst ist nie negativ. x²=−4 hat keine Lösung, dieses u fällt weg.
✕Bei x⁴+x³−2=0 mit u=x² substituieren.
✓x³ lässt sich nicht durch u=x² ausdrücken. Substitution passt nur, wenn ein Term das Quadrat des anderen ist, wie bei x⁴ und x².

Begriffe zum Nachschlagen

Substitution: Ein Teilterm wird durch eine neue Variable ersetzt, zum Beispiel u=x², damit die Gleichung einfacher wird.
Rücksubstitution: Der letzte Schritt: Jeder Wert für u wird wieder in x übersetzt, zum Beispiel x²=9 ergibt x=±3.
Biquadratische Gleichung: Eine Gleichung der Form ax⁴+bx²+c=0, also mit x⁴ und x², aber ohne x³ und x.
Quadratische Gleichung: Eine Gleichung, in der die Variable im Quadrat vorkommt, aber in keiner höheren Potenz. Nach der Substitution hast du immer eine solche Gleichung in u.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Quadratische Gleichungen Quadratwurzel und Wurzeln Potenzen und Potenzgesetze

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Biquadratisch, durch Zerlegen gelöst

Löse x⁴−10x²+9=0.

Der Graph schneidet die x-Achse bei −3, −1, 1 und 3, also an vier Stellen.

Lösung Schritt für Schritt

Ersetze x² durch u. Dann ist x⁴=u²:u²−10u+9=0
Suche zwei Zahlen mit Produkt 9 und Summe −10: −1 und −9.(u−1)(u−9)=0
Nach dem : $u_{1} = 1 u_{2} = 9$
Rücksubstitution: Löse x²=u für beide Werte.x²=1⇒x=±1 x²=9⇒x=±3
Probe mit x=3:81−90+9=0

$u_{1} = 1$ , $u_{2} = 9$ , also vier Lösungen: x=−3, x=−1, x=1 und x=3.

Beispiel 2Mit der Lösungsformel

Löse 4x⁴−17x²+4=0.

Lösung Schritt für Schritt

Mit u=x² wird daraus:4u²−17u+4=0
Berechne die mit a=4, b=−17, c=4:D=289−64=225
Lösungsformel, $225 = 15$ : $u_{1; 2} = \frac{17 \pm 15}{8}$
Daraus folgen zwei Werte für u: $u_{1} = 4 u_{2} = \frac{1}{4}$
Rücksubstitution:x²=4⇒x=±2 x²=14⇒x=±12

$u_{1} = 4$ und $u_{2} = \frac{1}{4}$ , also x=±2 und x=±12.

Beispiel 3Ein u fällt weg

Löse x⁴+3x²−4=0.

Der Graph schneidet die x-Achse nur bei −1 und bei 1.

Lösung Schritt für Schritt

Mit u=x²:u²+3u−4=0
Lösungsformel mit D=9+16=25: $u_{1; 2} = \frac{- 3 \pm 5}{2}$
Die beiden Werte: $u_{1} = 1 u_{2} = - 4$
x²=1 gibt x=±1. x²=−4 hat keine Lösung. $x_{1} = - 1 x_{2} = 1$

$u_{1} = 1$ liefert x=±1, $u_{2} = - 4$ fällt weg. Die Gleichung hat zwei Lösungen.

Beispiel 4Das Beet im Gemeinschaftsgarten

Zwei Jugendliche giessen in einem Gemeinschaftsgarten ein grosses rechteckiges Gemüsebeet, durch das ein schmaler Weg diagonal von einer Ecke zur gegenüberliegenden führt.

Ein rechteckiges Beet in einem Gemeinschaftsgarten in Winterthur ist 60 m² gross. Ein gerader Weg führt diagonal von Ecke zu Ecke und ist 13 m lang. Wie lang sind die Seiten des Beets?

Lösung Schritt für Schritt

Nenne die Seiten a und b. Die Fläche gibt a·b=60, der die Diagonale:a²+b²=169
Setze b=60a ein und multipliziere mit a²:a⁴−169a²+3600=0
Mit u=a² entsteht eine quadratische Gleichung:u²−169u+3600=0
D=28561−14400=14161 und $14161 = 119$ : $u_{1; 2} = \frac{169 \pm 119}{2} \Rightarrow u_{1} = 144, u_{2} = 25$
Eine Seitenlänge ist positiv, also a=12 oder a=5. Dazu gehört b=6012=5 bzw. b=605=12.12·5=60 12²+5²=169

Aus a²=144 folgt: Das Beet ist 12 m lang und 5 m breit.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
Löse x⁴−5x²+4=0.
Lösung zeigen
Ergebnis: $u_{1} = 1$ , $u_{2} = 4$ , also x=±1 und x=±2
Der Graph schneidet die x-Achse bei −2, −1, 1 und 2.
1. Mit u=x²: u²−5u+4=0.
2. (u−1)(u−4)=0, also $u_{1} = 1$ und $u_{2} = 4$ .
3. x²=1 gibt x=±1, x²=4 gibt x=±2.
2
Löse x⁴−17x²+16=0.
Lösung zeigen
Ergebnis: $u_{1} = 1$ , $u_{2} = 16$ , also x=±1 und x=±4
Der Graph schneidet die x-Achse bei −4, −1, 1 und 4.
1. Mit u=x²: u²−17u+16=0.
2. (u−1)(u−16)=0, also $u_{1} = 1$ und $u_{2} = 16$ .
3. x²=1 gibt x=±1, x²=16 gibt x=±4.
3
Löse x⁴−26x²+25=0.
Lösung zeigen
Ergebnis: $u_{1} = 1$ , $u_{2} = 25$ , also x=±1 und x=±5
Der Graph schneidet die x-Achse bei −5, −1, 1 und 5.
1. Mit u=x²: u²−26u+25=0.
2. (u−1)(u−25)=0, also $u_{1} = 1$ und $u_{2} = 25$ .
3. Rücksubstitution: x=±1 und x=±5.
4
Löse x⁴+2x²−3=0.
Lösung zeigen
Ergebnis: $u_{1} = 1$ gibt x=±1; $u_{2} = - 3$ fällt weg
Der Graph schneidet die x-Achse nur bei −1 und bei 1.
1. Mit u=x²: u²+2u−3=0.
2. (u+3)(u−1)=0, also $u_{1} = 1$ und $u_{2} = - 3$ .
3. x²=1 gibt x=±1. x²=−3 hat keine Lösung.
5
Nach der Substitution u=x² hast du $u_{1} = 9$ und $u_{2} = - 4$ erhalten. Gib alle Lösungen für x an.
Lösung zeigen
Ergebnis: Aus x²=9 folgt x=±3; x²=−4 hat keine Lösung
1. x²=9: x=3 oder x=−3.
2. x²=−4: Eine Zahl mal sich selbst ist nie negativ, also keine Lösung.

6
Löse 9x⁴−10x²+1=0.
Lösung zeigen
Ergebnis: $u_{1} = 1$ , $u_{2} = \frac{1}{9}$ , also x=±1 und x=±13
1. Mit u=x²: 9u²−10u+1=0.
2. D=100−36=64, also $u_{1; 2} = \frac{10 \pm 8}{18}$ .
3. $u_{1} = 1$ und $u_{2} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ .
4. x=±1 und x=±13.
7
Löse x⁶−9x³+8=0.
Lösung zeigen
Ergebnis: $u_{1} = 1$ , $u_{2} = 8$ , also x=1 und x=2
1. x⁶=(x³)², also u=x³: u²−9u+8=0.
2. (u−1)(u−8)=0, also $u_{1} = 1$ und $u_{2} = 8$ .
3. x³=1 gibt x=1, x³=8 gibt x=2. Die dritte Wurzel hat nur einen Wert.
8
Löse x⁴−6x²+5=0.
Lösung zeigen
Ergebnis: $u_{1} = 5$ , $u_{2} = 1$ , also $x = \pm 5$ und x=±1
1. Mit u=x²: u²−6u+5=0.
2. D=36−20=16, also $u_{1; 2} = \frac{6 \pm 4}{2}$ : $u_{1} = 5$ , $u_{2} = 1$ .
3. $x = \pm 5 \approx \pm 2.24$ und x=±1.
9
Löse $x - 5 x + 6 = 0$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $u_{1} = 2$ , $u_{2} = 3$ , also x=4 und x=9
1. Setze $u = x$ , dann ist x=u²: u²−5u+6=0.
2. (u−2)(u−3)=0, also $u_{1} = 2$ und $u_{2} = 3$ . Beide sind nicht negativ.
3. $x = 2$ gibt x=4, $x = 3$ gibt x=9.
4. Probe mit x=9: 9−15+6=0.
10
Löse 2x⁴−2x²−24=0.
Lösung zeigen
Ergebnis: $u_{1} = 4$ , $u_{2} = - 3$ , also x=±2
1. Teile durch 2: x⁴−x²−12=0.
2. Mit u=x²: u²−u−12=0, D=1+48=49.
3. $u_{1; 2} = \frac{1 \pm 7}{2}$ : $u_{1} = 4$ , $u_{2} = - 3$ .
4. x²=4 gibt x=±2, x²=−3 fällt weg.

11
Löse $4^{x} - 6 \cdot 2^{x} + 8 = 0$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $u_{1} = 2$ , $u_{2} = 4$ , also x=1 und x=2
1. $4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2}$ . Setze $u = 2^{x}$ : u²−6u+8=0.
2. (u−2)(u−4)=0, also $u_{1} = 2$ und $u_{2} = 4$ .
3. $2^{x} = 2$ gibt x=1, $2^{x} = 4$ gibt x=2.
12
Löse (x²−3)²−4(x²−3)−12=0.
Lösung zeigen
Ergebnis: $u_{1} = 6$ gibt x²=9, $u_{2} = - 2$ gibt x²=1, also x=±3 und x=±1
1. Setze u=x²−3: u²−4u−12=0.
2. (u−6)(u+2)=0, also $u_{1} = 6$ und $u_{2} = - 2$ .
3. x²−3=6 gibt x²=9, also x=±3.
4. x²−3=−2 gibt x²=1, also x=±1. Hier ist das negative u kein Problem.
13
Eine rechteckige Tischplatte für ein Schulzimmer in Aarau ist 108 dm² gross. Ihre Diagonale misst 15 dm. Wie lang sind die Seiten?
Lösung zeigen
Ergebnis: Aus a²=144 folgt: Die Seiten sind 12 dm und 9 dm lang.
1. a·b=108 und a²+b²=225. Mit b=108a: a⁴−225a²+11664=0.
2. Mit u=a²: D=50625−46656=3969=63², also $u_{1; 2} = \frac{225 \pm 63}{2}$ : $u_{1} = 144$ , $u_{2} = 81$ .
3. a=12 oder a=9 (positiv), dazu b=10812=9 bzw. b=12.
14
Wie viele Lösungen hat x⁴+5x²+6=0? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis: Keine: $u_{1} = - 2$ und $u_{2} = - 3$ sind beide negativ.
1. Mit u=x²: u²+5u+6=0, D=25−24=1.
2. $u_{1; 2} = \frac{- 5 \pm 1}{2}$ : $u_{1} = - 2$ , $u_{2} = - 3$ .
3. x² kann nicht negativ sein, also gibt es keine Lösung. Auch ohne Rechnen: x⁴+5x²+6 ist immer mindestens 6.

Gerät dein Kind bei Substitution, Lösungsformel und Rücksubstitution durcheinander, übt eine Lehrperson die Schritte mit ihm an seinen eigenen Aufgaben. Mathematik-Nachhilfe für das Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Substitution bei Gleichungen

So funktioniert der Trainer

Erkenne die passende Substitution, löse nach u und rechne zurück auf x. Jede Runde mischt neue Fragen, die Erklärung zeigt dir den Weg.

Welche Substitution passt zu 4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 = 0?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

Für dein Heft

Zum Ausdrucken

Nimm ein fertiges Paket oder stell selbst zusammen, was du brauchst. Alles als PDF, gratis und ohne Anmeldung.

ArbeitsblattArbeitsblatt mit LösungsblattLernpaket komplettTheorie, Beispiele, Übungen, Arbeitsblatt und alle LösungenSelbst zusammenstellenTeile unten an- und abwählen

Teile im PDFTheorieblattErklärung, Merksätze, Bilder und häufige FehlerBeispieleAufgaben Schritt für Schritt vorgerechnetÜbungenIn drei Stufen, mit Platz zum RechnenArbeitsblattZum Ausfüllen, mit Name und Datum

Lösungen beilegen Lösungsblätter am Schluss

PDF herunterladenDarf für den Unterricht kopiert werden.

Geschafft? So geht es weiter

Weiter lernen

Nächstes ThemaPolynomdivisionBei der Polynomdivision teilst du ein Polynom durch ein anderes, Schritt für Schritt wie bei der schriftlichen Division. So spaltest du Linearfaktoren ab und löst Gleichungen dritten Grades.1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium

Mehr zu Terme und Gleichungen

Integration durch Substitution4. Jahr Gymnasium - Studienbeginn
Terme mit Variablen vereinfachen1. Sek - 2. Sek
Ausmultiplizieren und Ausklammern1. Sek - 2. Sek
Lineare Gleichungen lösen1. Sek - 2. Sek

Noch nicht sicher? Übe das Thema als Spiel mit Fox.

Jetzt üben

Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 1. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im ersten Jahr, direkt nach den quadratischen Gleichungen. Dieselbe Idee kommt später bei Exponentialgleichungen und beim Integrieren wieder.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist eine biquadratische Gleichung?

Eine Gleichung der Form ax⁴+bx²+c=0, also mit x⁴, x² und einer Zahl, aber ohne x³ und x. Mit der Substitution u=x² wird sie zu einer quadratischen Gleichung.

Wann kann ich substituieren?

Wenn ein Teilterm und sein Quadrat in der Gleichung stehen und sonst nur Zahlen, also die Form aT²+bT+c=0. Typisch sind x⁴ und x², x⁶ und x³ oder x und $x$ .

Wie viele Lösungen hat eine biquadratische Gleichung?

Höchstens vier. Jedes positive u gibt zwei Lösungen, u=0 gibt eine, ein negatives u keine. So sind vier, drei, zwei, eine oder keine Lösung möglich.

Ist das dieselbe Substitution wie beim Integrieren?

Die Idee ist dieselbe: Du ersetzt einen Teilterm durch eine neue Variable. Beim Integrieren musst du zusätzlich dx umrechnen. Das lernst du später bei der Integration durch Substitution.

Substitution bei Gleichungen

Erklärung

Die Idee: einen Teilterm ersetzen

Biquadratische Gleichungen

Rücksubstitution: zurück zu x

Wie viele Lösungen gibt es?

Andere Teilterme

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Biquadratisch, durch Zerlegen gelöst

Beispiel 2Mit der Lösungsformel

Beispiel 3Ein u fällt weg

Beispiel 4Das Beet im Gemeinschaftsgarten

Übungen mit Lösungen

Trainer: Substitution bei Gleichungen

Zum Ausdrucken

Weiter lernen

Einordnung

Häufige Fragen

Quadratische Gleichung

Gleichung

Variable

Lösungsformel

Vorzeichen

Term

Nullproduktsatz

Diskriminante

Satz des Pythagoras