Schwerpunkt eines Dreiecks und Schwerlinien

Eine Schwerlinie verbindet eine Ecke des Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite. Die drei Schwerlinien schneiden sich im Schwerpunkt, der jede von ihnen im Verhältnis 2 : 1 teilt.

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Zyklus 3
Lehrplan 21: MA.2.A.1.i

Zwei Jugendliche schauen zu, wie ein ausgeschnittenes Kartondreieck flach auf einer Bleistiftspitze balanciert.

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Das musst du wissen

Erklärung

Eine Schwerlinie führt von einer Ecke zur Mitte der gegenüberliegenden Seite. Die drei Schwerlinien schneiden sich im Schwerpunkt S. Du S und berechnest Strecken mit der Regel 2 : 1.

Was eine Schwerlinie ist

Die Schwerlinie $s_{a}$ beginnt in der Ecke A und endet in der Mitte $M_{a}$ der Seite a. Die Seite a liegt der Ecke A gegenüber, also zwischen B und C.

Genauso gehört $s_{b}$ zur Ecke B und $s_{c}$ zur Ecke C. In vielen deutschen Büchern heisst die Schwerlinie Seitenhalbierende, weil sie durch die Mitte einer Seite geht.

Die Ecken A, B und C und der Punkt Ma(5 | 3), die Mitte der Seite von B nach C. Die Schwerlinie s_a ist die Strecke von A nach Ma.

Der Schwerpunkt

Zeichnest du alle drei Schwerlinien, treffen sie sich in genau einem Punkt. Das ist der Schwerpunkt S.

S liegt immer im Innern des Dreiecks, auch beim . Für die Konstruktion reichen zwei Schwerlinien; die dritte ist deine Kontrolle.

MerkeDie drei Schwerlinien schneiden sich im Schwerpunkt S. Er liegt immer im Dreieck.

Dreieck mit den Ecken A, B, C, den drei Seitenmitten Ma, Mb, Mc und dem Schwerpunkt S(6 | 3). Jede Ecke, S und die gegenüberliegende Seitenmitte liegen auf einer Linie.

Die Regel 2 : 1

Der Schwerpunkt teilt jede Schwerlinie in zwei Stücke. Das Stück von der Ecke bis S ist doppelt so lang wie das Stück von S bis zur Seitenmitte.

Das lange Stück ist also 23 der Schwerlinie, das kurze 13. Bei $s_{a} = 9$ cm gilt $\overline{A S} = 6$ cm und $\overline{S M_{a}} = 3$ cm.

MerkeVon der Ecke aus gemessen: zwei Drittel bis S, ein Drittel bis zur Seitenmitte.

Schwerlinien konstruieren

Finde die Mitte einer Seite: genau mit der , schneller durch Messen mit dem .
Verbinde diese Mitte mit der gegenüberliegenden Ecke.
Mach dasselbe mit einer zweiten Seite. Wo sich die beiden Schwerlinien schneiden, liegt S.
Zeichne zur Kontrolle die dritte. Sie muss ebenfalls durch S gehen.

Warum er Schwerpunkt heisst

Schneidest du ein Dreieck aus Karton aus, kannst du es im Schwerpunkt auf einer Bleistiftspitze balancieren. Dort kippt das Dreieck nach keiner Seite.

Jede Schwerlinie teilt das Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleich grosser Fläche. Beide haben eine halbe Seite als und dieselbe Höhe.

Schwerpunkt mit Koordinaten

Kennst du die der drei Ecken, rechnest du S direkt aus: Du nimmst den der x-Werte und den Mittelwert der y-Werte.

S (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3} \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3})

Bei A(0|0), B(12|0), C(6|9) gibt das S(6|3).

Besondere Dreiecke

Im gleichschenkligen Dreieck ist die Schwerlinie zur Basis zugleich Höhe und Symmetrieachse. Die Basis ist die dritte Seite, also keiner der beiden gleich langen .

Im gleichseitigen Dreieck gilt das für alle drei Schwerlinien. Dort fallen Schwerpunkt, des und Mittelpunkt des in einen Punkt.

Schwerlinie und Schwerpunkt (schwerpunkt eines dreiecks): Merkblatt mit Regel und Beispiel. Die drei Schwerlinien schneiden sich im Schwerpunkt S. Er liegt immer im Dreieck. Von der Ecke aus gemessen: zwei Drittel bis S, ein Drittel bis zur Seitenmitte. — Merkblatt Schwerlinie und Schwerpunkt: Regel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕Die Schwerlinie $s_{a}$ steht senkrecht auf der Seite a.
✓Senkrecht steht die Höhe. Die Schwerlinie geht zur Mitte der Seite und ist meist schräg. Nur im gleichschenkligen Dreieck fällt die Schwerlinie zur Basis mit der Höhe zusammen.
✕Bei $s_{a} = 12$ cm liegt S 4 cm von A entfernt.
✓Das lange Stück liegt bei der Ecke: $\overline{A S} = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ cm, $\overline{S M_{a}} = 4$ cm.
✕Der Schwerpunkt ist der der Mittelsenkrechten.
✓Die Mittelsenkrechten schneiden sich im Mittelpunkt des Umkreises. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Schwerlinien. Nur im gleichseitigen Dreieck ist es derselbe Punkt.
✕Die Schwerlinie halbiert den an der Ecke.
✓Das macht die . Die Schwerlinie halbiert die gegenüberliegende Seite, nicht den Winkel.

Begriffe zum Nachschlagen

Schwerlinie: Strecke von einer Ecke des Dreiecks zur Mitte der gegenüberliegenden Seite. Anderer Name: Seitenhalbierende.
Schwerpunkt: Schnittpunkt der drei Schwerlinien. Er teilt jede Schwerlinie im Verhältnis 2 : 1, von der Ecke aus gemessen.
Mittelsenkrechte: Gerade, die eine Strecke in der Mitte senkrecht schneidet. Mit ihr findest du die Seitenmitte genau.
Umkreis: Kreis durch alle drei Ecken. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, nicht der Schwerpunkt.
Höhe: Senkrechte Strecke von einer Ecke auf die gegenüberliegende Seite. Ihre Länge ist der Abstand der Ecke von dieser Seite.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Konstruieren mit Zirkel und Geodreieck Dreiecke und Vierecke: Arten und Eigenschaften Koordinatensystem

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Eine Schwerlinie teilen

Die Schwerlinie $s_{a}$ ist 9 cm lang. Wie weit ist der Schwerpunkt S von der Ecke A und von der Seitenmitte $M_{a}$ entfernt?

Die Ecken A, B, C, die Seitenmitte Ma und der Schwerpunkt S. Von A bis S sind es 6 Einheiten, von S bis Ma 3 Einheiten.

Lösung Schritt für Schritt

Von der Ecke bis S sind es zwei Drittel der Schwerlinie: $\overline{A S} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$
Der Rest bis zur Seitenmitte ist ein Drittel: $\overline{S M_{a}} = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$
Kontrolle: 6+3=9, und 6 ist doppelt so viel wie 3.

$\overline{A S} = 6$ cm und $\overline{S M_{a}} = 3$ cm.

Beispiel 2Von einem Stück auf die ganze Schwerlinie

Im Dreieck ABC ist der Schwerpunkt S 2.5 cm von der Seitenmitte $M_{b}$ entfernt. Wie lang ist die Schwerlinie $s_{b}$ ?

Lösung Schritt für Schritt

Das Stück von S bis $M_{b}$ ist das kurze Stück, also ein Drittel der Schwerlinie.
Die ganze Schwerlinie ist dreimal so lang: $s_{b} = 3 \cdot 2.5 = 7.5$
Kontrolle: Von B bis S sind es dann 2·2.5=5 cm, und 5+2.5=7.5.

Die Schwerlinie $s_{b}$ ist 7.5 cm lang.

Beispiel 3Ein Holzdreieck balancieren

Ein Junge im Werkraum lässt ein dreieckiges Sperrholzbrett los, das flach auf der Spitze eines Holzstabs balanciert.

Im Werken in Winterthur sägt Noah ein Dreieck aus Sperrholz aus. Es soll auf einem Holzstab balancieren. Die Schwerlinie von der Ecke C zur Mitte der gegenüberliegenden Seite misst 21 cm. Wie weit von der Ecke C entfernt muss der Stab stehen?

Lösung Schritt für Schritt

Das Brett balanciert, wenn der Stab genau unter dem Schwerpunkt steht.
Der Schwerpunkt liegt auf der Schwerlinie, zwei Drittel von der Ecke entfernt:23·21=14
Noah misst 14 cm von C aus auf der Schwerlinie ab. Zur Kontrolle zeichnet er eine zweite Schwerlinie: Sie muss durch denselben Punkt gehen.

Der Stab muss 14 cm von der Ecke C entfernt stehen, auf der Schwerlinie.

Beispiel 4Schwerpunkt mit Koordinaten

Berechne den Schwerpunkt des Dreiecks mit den Ecken A(1|1), B(9|2) und C(5|9).

Die Ecken A(1 | 1), B(9 | 2), C(5 | 9) und der Schwerpunkt S(5 | 4) im Koordinatensystem.

Lösung Schritt für Schritt

Mittelwert der x-Werte:1+9+53=153=5
Mittelwert der y-Werte:1+2+93=123=4
Kontrolle mit der Zeichnung: S liegt im Innern des Dreiecks.

Der Schwerpunkt ist S(5|4).

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg4Üben5Knacknüsse4

1
Die Schwerlinie $s_{c}$ ist 6 cm lang. Wie weit ist der Schwerpunkt S von der Ecke C entfernt?
Lösung zeigen
Ergebnis: $\overline{C S} = 4$ cm
Die Ecken A, B, C, die Seitenmitte Mc und der Schwerpunkt S. S liegt 4 Einheiten unter C und 2 Einheiten über Mc.
1. Von der Ecke bis S sind es zwei Drittel der Schwerlinie.
2. 23·6=4, also 4 cm.
3. Bis zur Seitenmitte bleiben 2 cm.
2
Die Schwerlinie $s_{a}$ ist 15 cm lang. Wie weit ist S von der Seitenmitte $M_{a}$ entfernt?
Lösung zeigen
Ergebnis: $\overline{S M_{a}} = 5$ cm
Die Ecken A, B, C, die Seitenmitte Ma und der Schwerpunkt S. Von A bis S sind es 10 Einheiten, von S bis Ma 5 Einheiten.
1. Von S bis zur Seitenmitte ist es das kurze Stück, ein Drittel.
2. 13·15=5, also 5 cm.
3. Von A bis S sind es 10 cm.
3
Ein Dreieck hat die Ecken A(0|0), B(6|0) und C(0|6). Wo liegt die Mitte $M_{a}$ der Seite a von B nach C?
Lösung zeigen
Ergebnis: $M_{a} (3∣3)$
Die Ecken A(0 | 0), B(6 | 0), C(0 | 6) und die Mitte Ma(3 | 3) der Seite von B nach C.
1. Die Mitte liegt genau zwischen B(6|0) und C(0|6).
2. x-Wert: (6+0):2=3
3. y-Wert: (0+6):2=3
4
Der Schwerpunkt S ist 3 cm von der Seitenmitte $M_{a}$ entfernt. Wie lang ist die Schwerlinie $s_{a}$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: $s_{a} = 9$ cm
1. 3 cm sind das kurze Stück, also ein Drittel der Schwerlinie.
2. Die ganze Schwerlinie: 3·3=9, also 9 cm.

5
Berechne den Schwerpunkt des Dreiecks mit A(2|1), B(8|1) und C(5|7).
Lösung zeigen
Ergebnis: S(5|3)
1. x-Wert: (2+8+5):3=15:3=5
2. y-Wert: (1+1+7):3=9:3=3
3. Also S(5|3).
6
Von der Ecke A bis zum Schwerpunkt sind es 10 cm. Wie lang ist die ganze Schwerlinie $s_{a}$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: $s_{a} = 15$ cm
1. 10 cm sind zwei Drittel der Schwerlinie.
2. Ein Drittel ist 10:2=5 cm.
3. Drei Drittel: 3·5=15 cm.
7
Der Schwerpunkt S ist 2.4 cm von der Seitenmitte $M_{c}$ entfernt. Wie weit ist S von der Ecke C entfernt, und wie lang ist $s_{c}$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: $\overline{C S} = 4.8$ cm, $s_{c} = 7.2$ cm
1. Das Stück bei der Ecke ist doppelt so lang: 2·2.4=4.8 cm.
2. Ganze Schwerlinie: 4.8+2.4=7.2 cm.
8
Mia aus Luzern schneidet ein Dreieck aus Karton aus und will es auf der Fingerspitze balancieren. Die Schwerlinie von der Ecke A zur gegenüberliegenden Seite misst 13.5 cm. Wie weit von A entfernt muss ihr Finger sein?
Lösung zeigen
Ergebnis: 9 cm von A entfernt, auf der Schwerlinie
1. Das Dreieck balanciert im Schwerpunkt.
2. S liegt zwei Drittel der Schwerlinie von der Ecke entfernt.
3. 23·13.5=9, also 9 cm.
9
Die Schwerlinie $s_{b}$ ist 12 cm lang. Ein Punkt P liegt auf $s_{b}$ , 6 cm von B entfernt. Ist P der Schwerpunkt?
Lösung zeigen
Ergebnis: Nein. S liegt 8 cm von B entfernt, P erst 6 cm.
1. Der Schwerpunkt liegt zwei Drittel von der Ecke entfernt: 23·12=8 cm.
2. P liegt in der Mitte der Schwerlinie, bei 6 cm. Das ist nicht der Schwerpunkt.

10
In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Schwerlinie zur Basis 7.5 cm lang. Wie weit ist der Schwerpunkt von der Basis entfernt? Warum ist das zugleich der kürzeste Abstand?
Lösung zeigen
Ergebnis: 2.5 cm. Die Schwerlinie zur Basis steht hier senkrecht auf der Basis, sie ist zugleich die Höhe.
1. Von S bis zur Seitenmitte der Basis ist ein Drittel: 13·7.5=2.5 cm.
2. Im gleichschenkligen Dreieck liegt die Schwerlinie zur Basis auf der Symmetrieachse.
3. Sie steht darum senkrecht auf der Basis, und die senkrechte Strecke ist der kürzeste Abstand.
11
Ein hat als längste Seite c=10 cm. Wie lang ist die Schwerlinie $s_{c}$ zu dieser Seite? Tipp: Die Mitte der längsten Seite ist hier der Mittelpunkt des Umkreises.
Lösung zeigen
Ergebnis: $s_{c} = 5$ cm
1. Der Mittelpunkt des Umkreises ist von allen drei Ecken gleich weit entfernt.
2. Er liegt in der Mitte von c, also 5 cm von A und von B.
3. Darum ist er auch 5 cm von C entfernt: $s_{c} = 10 : 2 = 5$ cm.
12
Von einem Dreieck kennst du A(1|2), B(7|0) und den Schwerpunkt S(4|3). Wo liegt die Ecke C?
Lösung zeigen
Ergebnis: C(4|7)
1. Die Summe der drei x-Werte ist dreimal der x-Wert von S: 3·4=12.
2. x-Wert von C: 12−1−7=4
3. y-Wert von C: 3·3−2−0=7
13
Das Dreieck ABC hat eine Fläche von 36 , S ist sein Schwerpunkt. Wie gross ist das Dreieck ABS? Begründe mit der Regel 2 : 1.
Lösung zeigen
Ergebnis: 12 cm²
1. Die Dreiecke ABS und ABC haben dieselbe Grundseite $\overline{A B}$ .
2. S liegt auf $s_{c}$ , ein Drittel der Schwerlinie von $M_{c}$ entfernt. Darum ist S nur ein Drittel so hoch über $\overline{A B}$ wie C.
3. Gleiche Grundseite, ein Drittel der Höhe: 13·36=12, also 12 cm².

Verwechselt dein Kind Schwerlinie, Höhe und Mittelsenkrechte noch, zeichnet eine Lehrperson mit ihm die Konstruktionen Schritt für Schritt. Nachhilfe in Mathematik für die Sek

Üben ohne Ende

Trainer: Schwerlinie und Schwerpunkt

So funktioniert der Trainer

Wähle die richtige Antwort. Stufe 1 übt die Begriffe und die Regel 2 : 1, Stufe 2 Strecken und Seitenmitten, Stufe 3 Schwerpunkt mit Koordinaten, Flächen und besondere Dreiecke.

Wohin führt die Schwerlinie s_a?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 1. Sek - 2. Sek
Zyklus: Zyklus 3
Fach: Mathematik

Meist in der 1. oder 2. Sek, zusammen mit Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Höhe im Dreieck. Je nach Lehrmittel berechnest du den Schwerpunkt auch mit Koordinaten.

MA.2.A.1.iDie Schwerlinie, die in manchen Büchern Seitenhalbierende heisst, und den Schwerpunkt eines Dreiecks kennen und die Wörter beim Beschreiben richtig brauchen.
MA.2.C.2.iEin Dreieck skizzieren, danach mit Geodreieck und Zirkel genau zeichnen und darin die Schwerlinien und den Schwerpunkt einzeichnen.
MA.2.C.2.hDie Mitte einer Strecke mit der Mittelsenkrechten finden; so entstehen die Seitenmitten, durch die jede Schwerlinie geht.
MA.2.B.1.iBegründen, warum jede Schwerlinie das Dreieck in zwei gleich grosse Flächen teilt und warum der Schwerpunkt immer im Innern liegt.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Schwerlinie und Seitenhalbierender?

Es gibt keinen, beide Wörter meinen dieselbe Strecke von einer Ecke zur Mitte der gegenüberliegenden Seite. In der Schweiz sagt man meist Schwerlinie, in Deutschland eher Seitenhalbierende.

Liegt der Schwerpunkt immer im Dreieck?

Ja. Jede Schwerlinie verläuft von einer Ecke zu einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite, also ganz im Dreieck. Darum liegt auch ihr Schnittpunkt immer im Innern, anders als der Mittelpunkt des Umkreises beim stumpfwinkligen Dreieck.

Wie berechnet man den Schwerpunkt eines Dreiecks mit Koordinaten?

Addiere die drei x-Werte der Ecken und teile durch 3, dann dasselbe mit den y-Werten. Bei A(0|0), B(12|0) und C(6|9) ergibt das S(6|3).

In welcher Klasse lernt man Schwerlinie und Schwerpunkt?

Nach Lehrplan 21 im Zyklus 3, meist in der 1. oder 2. Sek, zusammen mit Höhe, Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende. Je nach Kanton und Lehrmittel kann es etwas früher oder später sein.

Schwerpunkt eines Dreiecks und Schwerlinien

Erklärung

Was eine Schwerlinie ist

Der Schwerpunkt

Die Regel 2 : 1

Schwerlinien konstruieren

Warum er Schwerpunkt heisst

Schwerpunkt mit Koordinaten

Besondere Dreiecke

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Eine Schwerlinie teilen

Beispiel 2Von einem Stück auf die ganze Schwerlinie

Beispiel 3Ein Holzdreieck balancieren

Beispiel 4Schwerpunkt mit Koordinaten

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Häufige Fragen

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