Gebrochenrationale Funktionen und Asymptoten

Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Bruch aus zwei Polynomen, mit x im Nenner. Du bestimmst Definitionsmenge, Nullstellen, Polstellen, hebbare Lücken und die Asymptoten, denen sich der Graph nähert.

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2. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Ein Snowboarder zieht eine geschwungene Spur in den Schnee neben einer Reihe von Pistenstangen, dahinter Kinder mit Skiern und Schlitten und eine Holzhütte.

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Das musst du wissen

Erklärung

Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Bruch mit einem im Zähler und einem im Nenner, zum Beispiel f(x)=x+3x−1. Wo der Nenner 0 ist, liegt eine oder eine hebbare Lücke. Zum Schluss bestimmst du die , der sich der Graph für grosse x nähert.

Ein Bruch aus zwei Polynomen

Ein Polynom ist eine Summe aus Potenzen von x mit Zahlen davor, etwa x²−4 oder 3x+1. Bei f(x)=p(x)q(x) sind Zähler und Nenner Polynome, und im Nenner kommt x vor.

Das einfachste Beispiel ist f(x)=1x. Ihr Graph ist eine Hyperbel mit zwei Ästen.

Graph von f(x) = 1 : x: zwei Äste, die sich der x-Achse und der y-Achse immer mehr nähern, sie aber nie berühren.

Definitionsmenge und Nullstellen

Durch 0 teilen geht nicht. Jedes x, bei dem der Nenner 0 ist, fehlt darum in der . Bei f(x)=x+3x−1 ist das x=1, also $D = R ∖ {1}$ .

Eine hat f dort, wo der Zähler 0 ist und der Nenner nicht. Hier ist das x=−3.

MerkeNullstellen kommen aus dem Zähler, aus dem Nenner.

Polstelle oder hebbare Lücke

Ist bei x=a der Nenner 0, der Zähler aber nicht, hat f dort eine Polstelle. Die Werte gehen gegen plus oder minus unendlich, die Gerade x=a ist eine senkrechte Asymptote.

Sind Zähler und Nenner beide 0, zerlegst du in Faktoren und kürzt. Fällt die Stelle dabei aus dem Nenner, ist sie eine hebbare Lücke: Der Graph hat dort nur ein Loch.

MerkeErst kürzen, dann entscheiden: Bleibt die Nullstelle im Nenner, ist es eine Polstelle.

Graph von f(x) = (x + 1) : (x − 2) mit der Polstelle x = 2: Links davon fallen die Werte nach unten, rechts davon steigen sie nach oben.

Mit oder ohne Vorzeichenwechsel

Kommt der Faktor (x−a) nach dem Kürzen einmal im Nenner vor, wechselt f an der Polstelle das Vorzeichen. Ein Ast geht nach oben, der andere nach unten.

Kommt er doppelt vor, wie bei f(x)=1(x−2)², wechselt das Vorzeichen nicht. Das Quadrat ist nie negativ, darum gehen beide Äste nach oben.

MerkeEinfacher Faktor im Nenner: mit Vorzeichenwechsel. Doppelter Faktor: ohne.

Graph von f(x) = 1 : (x − 2)²: Links und rechts der Polstelle x = 2 steigen beide Äste nach oben, ohne Vorzeichenwechsel.

Die waagrechte Asymptote

Für sehr grosse x zählt nur die höchste Potenz oben und unten.

Oben kleiner: Die Asymptote ist y=0.
Gleich: Teile die Koeffizienten der höchsten Potenzen, bei 6x²+12x²−5 also y=3.

Ist der Exponent oben grösser:

Genau um 1: Es gibt eine schiefe Asymptote.
Um 2 oder mehr: keine waagrechte und keine schiefe Asymptote.

Graph von f(x) = (2x − 1) : (x + 1) mit der waagrechten Asymptote y = 2: Für grosse positive und negative x kommt der Graph der Geraden immer näher.

Die schiefe Asymptote

Ist der höchste Exponent im Zähler um 1 grösser als im Nenner, teilst du mit . Es bleibt eine Gerade plus ein Restbruch, der für grosse x gegen 0 geht.

x²+1x=x+1x

Die Gerade y=x ist hier die schiefe Asymptote.

Gebrochenrationale Funktionen: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Nullstellen kommen aus dem Zähler, Definitionslücken aus dem Nenner. Beispiel: D = R 1, Nullstelle x = -3 (denn f(-3) = 0), Polstelle x = 1, waagrechte Asymptote y = 1. — Merkblatt Gebrochenrationale Funktionen: Regel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕f(x)=x²−4x−2 hat bei x=2 eine Polstelle, weil der Nenner dort 0 ist.
✓Auch der Zähler ist bei x=2 null. Gekürzt bleibt x+2: Es ist eine hebbare Lücke mit dem Loch bei (2|4).
✕Die Nullstelle von f(x)=x+3x−1 ist x=1.
✓Bei x=1 ist der Nenner 0, dort liegt die Polstelle. Die Nullstelle kommt aus dem Zähler: x=−3.
✕Die waagrechte Asymptote von 2x+1x+3 ist y=13, weil man die Zahlen ohne x teilt.
✓Für grosse x zählen nur die höchsten Potenzen: y=21=2.
✕Ein Graph schneidet seine waagrechte Asymptote nie.
✓Er nähert sich ihr für grosse x, in der Mitte darf er sie schneiden. 4xx²+1 geht durch (0|0), also durch die Asymptote y=0.

Begriffe zum Nachschlagen

Gebrochenrationale Funktion: Eine Funktion, die ein Bruch aus zwei Polynomen ist, wobei im Nenner x vorkommt, zum Beispiel f(x)=x+3x−1.
Definitionsmenge: Alle Zahlen, die du für x einsetzen darfst. Bei gebrochenrationalen Funktionen fehlen die Nullstellen des Nenners.
Definitionslücke: Eine Stelle, an der der Nenner 0 ist und die Funktion darum nicht definiert ist. Sie ist eine Polstelle oder eine hebbare Lücke.
Polstelle: Eine Definitionslücke, an der die Funktionswerte gegen plus oder minus unendlich gehen. Dort hat der Graph eine senkrechte Asymptote.
Hebbare Lücke: Eine Definitionslücke, die nach dem Kürzen aus dem Nenner verschwindet. Der Graph hat dort nur ein Loch.
Asymptote: Eine Gerade, der sich der Graph beliebig nähert: senkrecht an einer Polstelle, waagrecht oder schief für sehr grosse x.
Polynomdivision: Ein Polynom durch ein anderes teilen, so wie bei der schriftlichen Division. Damit findest du die schiefe Asymptote.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Bruchterme und Bruchgleichungen Polynomfunktionen

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Eine Funktion ganz untersuchen

Bestimme Definitionsmenge, Nullstelle, Polstelle und waagrechte Asymptote von f(x)=x+3x−1.

Graph von f(x) = (x + 3) : (x − 1) mit der Nullstelle (−3; 0), der Polstelle x = 1 und der waagrechten Asymptote y = 1.

Lösung Schritt für Schritt

Der Nenner ist 0 bei x=1. Diese Zahl fehlt in der Definitionsmenge: $D = R ∖ {1}$
Der Zähler ist 0 bei x=−3, der Nenner dort −4. Also ist x=−3 die Nullstelle.
Bei x=1 ist der Zähler 4, also nicht 0. Darum ist x=1 eine Polstelle mit der senkrechten Asymptote x=1.
Oben und unten ist der höchste Exponent 1. Teile die Koeffizienten:y=11=1

$D = R ∖ {1}$ , Nullstelle x=−3 (denn f(−3)=0), Polstelle x=1, waagrechte Asymptote y=1.

Beispiel 2Hebbare Lücke und Polstelle

Untersuche die Definitionslücken von f(x)=x²−4x²−x−2.

Lösung Schritt für Schritt

Zerlege Zähler und Nenner in Faktoren:f(x)=(x−2)(x+2)(x−2)(x+1)
Der Nenner ist 0 bei x=2 und bei x=−1, also $D = R ∖ {- 1; 2}$ .
Kürze den Faktor (x−2). Für x≠2 gilt:f(x)=x+2x+1
Die Stelle x=2 ist aus dem Nenner verschwunden: hebbare Lücke. Setze in den gekürzten Term ein, um das Loch zu finden:2+22+1=43
Bei x=−1 bleibt der Nenner 0, der Zähler ist 1. Dort ist eine Polstelle.

Hebbare Lücke bei x=2 mit dem Loch (2|43), Polstelle bei x=−1.

Beispiel 3Schiefe Asymptote mit Polynomdivision

Bestimme die Polstelle und die schiefe Asymptote von f(x)=x²+x−1x−1.

Graph von f(x) = (x² + x − 1) : (x − 1) mit der Polstelle x = 1 und der schiefen Asymptote y = x + 2, der sich beide Äste nähern.

Lösung Schritt für Schritt

Bei x=1 ist der Nenner 0, der Zähler 1+1−1=1. Also ist x=1 eine Polstelle.
Oben ist der höchste Exponent 2, unten 1. Teile mit Polynomdivision:(x²+x−1):(x−1)=x+2 Rest 1
Kontrolle: (x−1)(x+2)=x²+x−2, plus Rest 1 gibt den Zähler. Also gilt:f(x)=x+2+1x−1
Für grosse x geht 1x−1 gegen 0. Es bleibt die Gerade y=x+2.

Polstelle x=1, schiefe Asymptote y=x+2, Rest der Polynomdivision 1.

Beispiel 4Kosten pro Person im Skilager

Schülerinnen und Schüler mit Skiern, Snowboards und Taschen steigen in einem verschneiten Bergdorf in einen Reisecar, eine Lehrperson lädt Gepäck ein.

Zwei Klassen aus Frauenfeld fahren ins Skilager. Der Car kostet pauschal 1'200 Franken, Unterkunft und Essen 40 Franken pro Person. Die Kosten pro Person sind k(x)=40x+1200x für x Personen. Wie viele Personen müssen mitfahren, damit es 64 Franken pro Person kostet? Was ist die waagrechte Asymptote?

Kosten pro Person k(x): Bei 50 Personen sind es 64 Franken, für mehr Personen nähert sich der Graph der Asymptote y = 40.

Lösung Schritt für Schritt

Setze die Kosten pro Person gleich 64:40x+1200x=64
Multipliziere mit x und bringe 40x auf die andere Seite:1200=24x
Teile durch 24:x=1200:24=50
Oben und unten ist der höchste Exponent 1, also ist die Asymptote y=401=40. Je mehr mitfahren, desto näher kommen die Kosten an 40 Franken, ganz erreichen sie sie nie.

Mit 50 Personen kostet das Lager 64 Franken pro Person. Die waagrechte Asymptote ist y=40: Unter 40 Franken pro Person geht es nie.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg4Üben5Knacknüsse4

1
Bestimme die Definitionsmenge von f(x)=3x−5.
Lösung zeigen
Ergebnis: $D = R ∖ {5}$ , denn bei x=5 ist der Nenner 5−5=0
Graph von f(x) = 3 : (x − 5): Bei x = 5 hat er eine Polstelle mit der senkrechten Asymptote x = 5.
1. Der Nenner darf nicht 0 sein: x−5=0 bei x=5, denn 5−5=0.
2. Also fehlt nur die 5: $D = R ∖ {5}$ .
2
Bestimme die Nullstelle von f(x)=2x−6x+1.
Lösung zeigen
Ergebnis: x=3
Graph von f(x) = (2x − 6) : (x + 1): Er schneidet die x-Achse im Punkt (3; 0).
1. Zähler gleich 0: 2x−6=0, also x=3.
2. Der Nenner ist bei x=3 gleich 4, also nicht 0. Die Nullstelle ist x=3.
3
Wo hat f(x)=xx+4 eine Polstelle?
Lösung zeigen
Ergebnis: x=−4
Graph von f(x) = x : (x + 4): Bei x = −4 liegt die Polstelle, die Äste gehen dort nach oben und nach unten.
1. Der Nenner ist 0 bei x=−4.
2. Der Zähler ist dort −4, also nicht 0. Darum ist x=−4 eine Polstelle.
4
Bestimme die waagrechte Asymptote von f(x)=6x+12x−3.
Lösung zeigen
Ergebnis: y=3
Graph von f(x) = (6x + 1) : (2x − 3) mit der waagrechten Asymptote y = 3, der er sich für grosse x nähert.
1. Oben und unten ist der höchste Exponent 1.
2. Teile die Koeffizienten: 62=3, also y=3.

5
f(x)=x²−9x−3 hat bei x=3 eine Definitionslücke. Ist sie hebbar? Wo liegt das Loch?
Lösung zeigen
Ergebnis: Hebbare Lücke, Loch bei (3|6)
1. Zähler zerlegen: x²−9=(x−3)(x+3).
2. Kürzen: Für x≠3 ist f(x)=x+3. Die 3 ist aus dem Nenner verschwunden, also hebbar.
3. Einsetzen: 3+3=6, das Loch liegt bei (3|6).
6
Bestimme Polstellen und Nullstelle von f(x)=x+2x²−4x.
Lösung zeigen
Ergebnis: Polstellen x=0 und x=4, Nullstelle x=−2
1. Nenner ausklammern: x²−4x=x(x−4), null bei x=0 und x=4.
2. Der Zähler ist dort 2 und 6, also sind beides Polstellen.
3. Zähler gleich 0: x=−2, der Nenner ist dort 12. Das ist die Nullstelle.
7
Berechne für f(x)=1(x−2)² die Werte f(1) und f(3). Hat die Polstelle einen Vorzeichenwechsel?
Lösung zeigen
Ergebnis: f(1)=f(3)=1, Polstelle bei x=2 ohne Vorzeichenwechsel
1. f(1)=1(−1)²=1 und f(3)=11²=1.
2. Links und rechts von 2 sind die Werte positiv.
3. Der Faktor (x−2) steht doppelt im Nenner: Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
8
Bestimme die waagrechte Asymptote von f(x)=4xx²+1.
Lösung zeigen
Ergebnis: y=0
1. Oben ist der höchste Exponent 1, unten 2.
2. Unten wächst es schneller, der Bruch geht gegen 0: y=0.
9
Ein E-Bike-Verleih in Interlaken verlangt 30 Franken Grundgebühr und 8 Franken pro Stunde. Der Preis pro Stunde ist p(x)=8x+30x. Bei wie vielen Stunden kostet eine Stunde im Schnitt genau 11 Franken?
Lösung zeigen
Ergebnis: 10 Stunden
1. 8x+30x=11, also 8x+30=11x.
2. 30=3x, also x=10.
3. Bei 10 Stunden kostet eine Stunde im Schnitt 11 Franken. Unter 8 Franken fällt der Preis nie, das ist die Asymptote.

10
Bestimme die schiefe Asymptote von f(x)=2x²+3x+1x.
Lösung zeigen
Ergebnis: y=2x+3
1. Jeden Summanden durch x teilen: f(x)=2x+3+1x.
2. 1x geht für grosse x gegen 0.
3. Es bleibt die schiefe Asymptote y=2x+3.
11
Bestimme mit Polynomdivision die schiefe Asymptote von f(x)=x²−3x+5x−1.
Lösung zeigen
Ergebnis: y=x−2
1. (x²−3x+5):(x−1)=x−2 Rest 3.
2. Kontrolle: (x−1)(x−2)=x²−3x+2, plus 3 gibt den Zähler.
3. Also f(x)=x−2+3x−1, die schiefe Asymptote ist y=x−2.
12
Für welches a hat f(x)=x−ax²−5x+6 bei x=2 eine hebbare Lücke?
Lösung zeigen
Ergebnis: a=2
1. Nenner zerlegen: x²−5x+6=(x−2)(x−3).
2. Damit sich (x−2) kürzt, muss der Zähler bei x=2 null sein: a=2.
3. Dann ist f(x)=1x−3 für x≠2, mit dem Loch bei (2|−1).
13
Gib eine gebrochenrationale Funktion an mit der Polstelle x=3, der Nullstelle x=−1 und der waagrechten Asymptote y=2. Berechne zur Kontrolle f(0).
Lösung zeigen
Ergebnis: f(x)=2x+2x−3, f(0)=−23
1. Nullstelle −1: Faktor (x+1) in den Zähler. Polstelle 3: Faktor (x−3) in den Nenner.
2. Für y=2 muss der Koeffizient oben 2 sein: f(x)=2(x+1)x−3=2x+2x−3.
3. f(0)=2−3=−23.

Verwechselst du noch Polstelle und hebbare Lücke oder hakt die Polynomdivision, geht eine Lehrperson die Funktionen Schritt für Schritt mit dir durch. Mathematik-Nachhilfe für das Gymnasium und die Matur

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Trainer: Gebrochenrationale Funktionen

So funktioniert der Trainer

Neue Aufgaben zu Definitionslücken und Asymptoten, mit Rückmeldung und Erklärung. Stufe 1 übt Nullstellen und Polstellen, Stufe 2 hebbare Lücken und waagrechte Asymptoten, Stufe 3 schiefe Asymptoten und Parameter.

Ist f(x) = (x² + 1)/(x − 2) eine gebrochenrationale Funktion?

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Einordnung

Typische Klasse: 2. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Meist im 2. oder 3. Jahr am Gymnasium, nach den Polynomfunktionen und vor oder zusammen mit den Grenzwerten. In der Kurvendiskussion kommen sie wieder.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist eine gebrochenrationale Funktion?

Eine Funktion, die ein Bruch aus zwei Polynomen ist, wobei im Nenner x vorkommt. Beispiele sind 1/x oder (x + 3)/(x − 1). Steht x nur im Zähler, ist es eine gewöhnliche Polynomfunktion.

Wie unterscheide ich eine Polstelle von einer hebbaren Lücke?

Setze die Nennernullstelle in den Zähler ein. Ist der Zähler nicht 0, ist es eine Polstelle. Ist er auch 0, zerlegst du und kürzt: Verschwindet die Stelle aus dem Nenner, ist die Lücke hebbar.

Wie bestimme ich die Asymptote für grosse x?

Vergleiche die höchsten Exponenten im Zähler und im Nenner. Ist der höchste Exponent oben kleiner, ist die Asymptote y = 0. Sind beide gleich, teilst du die Koeffizienten der höchsten Potenzen. Ist er oben um 1 grösser, findest du mit Polynomdivision eine schiefe Asymptote. Ist er oben um 2 oder mehr grösser, gibt es keine waagrechte und keine schiefe Asymptote.

Wann kommen gebrochenrationale Funktionen am Gymnasium?

Meist im 2. oder 3. Jahr, nach den Polynomfunktionen. Je nach Schule kommen sie vor den Grenzwerten oder zusammen mit ihnen. In der Kurvendiskussion braucht man sie wieder.