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Fokus Nachhilfe

Quadratische Ergänzung und Scheitelform

Mit der quadratischen Ergänzung schreibst du y = x² + bx + c als Quadrat einer Klammer plus eine Zahl. So entsteht die Scheitelform, aus der du den Scheitelpunkt der Parabel direkt abliest.

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  • 3. Sek - 1. Jahr Gymnasium
  • Zyklus 3, Gymnasium
  • Lehrplan 21: MA.1.A.4.l
Zwei Jugendliche legen am Tisch Holzplättchen zu einem grösseren Quadrat zusammen; das kleine Eckstück hält das Mädchen noch in der Hand.
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Das musst du wissen

Erklärung

Mit der quadratischen Ergänzung schreibst du y=x2+bx+c als Klammer plus eine Zahl. Du zählst dazu und ziehst es gleich wieder ab. Am Schluss liest du aus der den Scheitelpunkt ab.

Wozu die Scheitelform?

Aus der allgemeinen Form y=x2−4x+1 siehst du nicht, wo der tiefste Punkt der liegt. Aus derselben in Scheitelform siehst du es sofort:

y=(x−2)2−3 ⇒ S(2|−3)

Allgemein heisst die Scheitelform mit dem Scheitelpunkt . Die quadratische Ergänzung ist der Weg von der einen Form zur anderen.

MerkeIn der Klammer steht das umgekehrte : (x−2)2 heisst , (x+2)2 heisst .

-20246-4-2246xyy = x² − 4x + 1 = (x − 2)² − 3S(2 | −3)(0 | 1)
Die Parabel y = x² − 4x + 1 hat den Scheitelpunkt S(2 | −3); die y-Achse schneidet sie im Punkt (0 | 1).

Die Idee: eine binomische Formel rückwärts

Die kennst du so: (x+3)2=x2+6x+9. Die Zahl vor dem x ist doppelt so gross wie die Zahl in der Klammer, und die Zahl am Ende ist ihr Quadrat.

Hast du nur x2+6x, fehlt zum vollständigen Quadrat die 9. Die findest du so: Hälfte von 6 ist 3, und 32=9.

x2+6x+9=(x+3)2

MerkeErgänzt wird immer das Quadrat der halben Zahl vor dem x: .

Schritt für Schritt, wenn vor dem x² nichts steht

So bringst du y=x2−8x+10 in die Scheitelform:

  1. Halbiere die Zahl vor dem x und quadriere: 82=4, 42=16.

  2. Zähle 16 dazu und ziehe 16 gleich wieder ab. So bleibt der Wert gleich: y=x2−8x+16−16+10.

  3. Fasse die ersten drei zur Klammer zusammen: y=(x−4)2−16+10.

  4. Rechne die Zahlen hinten aus: y=(x−4)2−6.

Der Scheitelpunkt ist S(4|−6).

MerkeWas du dazuzählst, ziehst du sofort wieder ab. Sonst ist es eine andere Funktion.

02468-6-4-224xyy = (x − 4)² − 6S(4 | −6)
Die Parabel y = (x − 4)² − 6 hat ihren tiefsten Punkt im Scheitelpunkt S(4 | −6).

Wenn vor dem x² eine Zahl steht

Bei y=2x2+12x+13 klammerst du zuerst die 2 aus den beiden Gliedern mit x aus. Die Zahl 13 bleibt draussen:

y=2(x2+6x)+13

Jetzt ergänzt du in der Klammer wie gewohnt: y=2(x2+6x+9−9)+13. Die abgezogene 9 steht in der Klammer, also wird sie mit 2 multipliziert, wenn du sie herausholst:

y=2(x+3)2−18+13=2(x+3)2−5

Der Scheitelpunkt ist S(−3|−5). Die 2 vorne bleibt stehen, sie bestimmt die Form der Parabel.

MerkeHolst du die abgezogene Zahl aus der Klammer, nimmst du sie mal die Zahl vor der Klammer.

-6-4-20-6-4-2246xyy = 2(x + 3)² − 5S(−3 | −5)
Die schmale Parabel y = 2(x + 3)² − 5 mit dem Scheitelpunkt S(−3 | −5).

Ungerade Zahl vor dem x

Ist die Zahl vor dem x ungerade, gibt die Hälfte eine Dezimalzahl. Das ist kein Problem. Bei y=x2+3x+1 ist die Hälfte von 3 gleich 1.5 und 1.52=2.25:

y=x2+3x+2.25−2.25+1=(x+1.5)2−1.25

Der Scheitelpunkt ist S(−1.5|−1.25). Wer lieber mit Brüchen rechnet, schreibt .

Gleichungen lösen mit der quadratischen Ergänzung

Auch eine kannst du so lösen. Bei x2+6x−7=0 ergänzt du links und bringst die Zahl auf die rechte Seite:

(x+3)2−9−7=0 ⇒ (x+3)2=16

Eine Zahl im Quadrat gibt 16, wenn sie 4 oder −4 ist. Also ist x+3=4 oder x+3=−4, und die Lösungen sind x=1 und x=−7.

Steht rechts eine , hat die keine Lösung. Aus genau diesem Weg entsteht auch die .

MerkeEin Quadrat ist nie negativ: (x+3)2=−4 hat keine Lösung.

Quadratische Ergänzung und Scheitelform: Merkblatt mit Regel und Beispiel. In der Klammer steht das umgekehrte Vorzeichen: (x - 2)² heisst x_S = 2, (x + 2)² heisst x_S = -2. Ergänzt wird immer das Quadrat der halben Zahl vor dem x: ≤ft(b/2)².
Merkblatt Quadratische Ergänzung und Scheitelform: Regel und Beispiel.

Häufige Fehler

  • ✕​x2+6x+2=(x+3)2+2, die 9 wird nur dazugezählt.

    ✓Die ergänzte 9 muss wieder weg: x2+6x+9−9+2=(x+3)2−7. Probe: (x+3)2−7=x2+6x+2.

  • ✕​x2+6x=(x+6)2−36, die Zahl vor dem x wird nicht halbiert.

    ✓In die Klammer kommt die Hälfte: x2+6x=(x+3)2−9.

  • ✕​y=(x+3)2−7 hat den Scheitelpunkt S(3|−7).

    ✓Die Klammer wird bei x=−3 null, also S(−3|−7). Das Vorzeichen hinten liest du direkt ab.

  • ✕​2(x2+6x+9−9)+13=2(x+3)2−9+13

    ✓Die −9 steht in der Klammer und wird mit 2 multipliziert: 2(x+3)2−18+13=2(x+3)2−5.

Begriffe zum Nachschlagen
Quadratische Ergänzung
Das Quadrat der halben Zahl vor dem x dazuzählen und wieder abziehen, damit eine Klammer im Quadrat entsteht.
Scheitelform
Die Gleichung . Aus ihr liest du den Scheitelpunkt direkt ab. Man sagt auch Scheitelpunktform.
Allgemeine Form
Die ausmultiplizierte Gleichung y=ax2+bx+c einer Parabel.
Scheitelpunkt
Der tiefste Punkt einer nach oben offenen Parabel oder der höchste Punkt einer nach unten offenen.
Binomische Formel
Zum Beispiel (x+d)2=x2+2dx+d2. Die quadratische Ergänzung liest sie von rechts nach links.
Ausklammern
Einen gemeinsamen Faktor vor eine Klammer schreiben: 2x2+12x=2(x2+6x).

Noch unsicher? Zuerst lernen:Binomische FormelnQuadratische Funktionen und Parabeln

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Scheitelform mit gerader Zahl vor dem x

Bringe y=x2+10x+21 in die Scheitelform und gib den Scheitelpunkt an.

-8-6-4-20-4-2246xyy = x² + 10x + 21S(−5 | −4)
Die Parabel y = x² + 10x + 21 mit dem Scheitelpunkt S(−5 | −4).
Lösung Schritt für Schritt
  1. Halbiere die Zahl vor dem x und quadriere:102=5,  52=25
  2. Zähle 25 dazu und ziehe 25 wieder ab:y=x2+10x+25−25+21
  3. Die ersten drei Glieder sind eine binomische Formel:y=(x+5)2−25+21
  4. Zahlen hinten ausrechnen:y=(x+5)2−4
  5. Die Klammer wird bei x=−5 null. Der Scheitelpunkt ist also S(−5|−4).

​y=(x+5)2−4, Scheitelpunkt S(−5|−4).

Beispiel 2Ungerade Zahl vor dem x

Bringe y=x2−5x+4 in die Scheitelform.

Lösung Schritt für Schritt
  1. Hälfte von 5 ist 2.5, und das Quadrat davon:2.52=6.25
  2. Ergänzen und wieder abziehen:y=x2−5x+6.25−6.25+4
  3. Zur Klammer zusammenfassen. Weil vor dem x ein Minus steht, steht auch in der Klammer ein Minus:y=(x−2.5)2−2.25
  4. Probe mit x=0: (0−2.5)2−2.25=6.25−2.25=4. Das stimmt mit der 4 in der allgemeinen Form überein.

​y=(x−2.5)2−2.25, Scheitelpunkt S(2.5|−2.25).

Beispiel 3Mit einer negativen Zahl vor dem x²

Bringe y=−2x2+8x−3 in die Scheitelform. Hat die Parabel einen tiefsten oder einen höchsten Punkt?

-1012345-4-2246xyy = −2x² + 8x − 3S(2 | 5)(0 | −3)
Die nach unten offene Parabel y = −2x² + 8x − 3 mit dem höchsten Punkt S(2 | 5); sie schneidet die y-Achse im Punkt (0 | −3).
Lösung Schritt für Schritt
  1. Klammere −2 aus den Gliedern mit x aus. Achte auf das Vorzeichen: 8x:(−2)=−4x.y=−2(x2−4x)−3
  2. In der Klammer ergänzen: Hälfte von 4 ist 2, und 22=4.y=−2(x2−4x+4−4)−3
  3. Die −4 aus der Klammer holen, mal −2 gibt +8:y=−2(x−2)2+8−3
  4. Zusammenfassen:y=−2(x−2)2+5
  5. Vor der Klammer steht −2, also ist die Parabel nach unten offen. S(2|5) ist ihr höchster Punkt.

​y=−2(x−2)2+5. Die Parabel hat den höchsten Punkt S(2|5).

Beispiel 4Der beste Preis am Weihnachtsmarkt

Jugendliche verkaufen an einem Holzstand auf einem verschneiten Weihnachtsmarkt Lebkuchen an eine Familie.

Eine Klasse aus Winterthur verkauft am Weihnachtsmarkt Lebkuchen. Verlangt sie x Franken pro Stück, schätzt sie den Gewinn auf G=−5x2+40x−35 Franken. Bei welchem Preis ist der Gewinn am grössten, und wie gross ist er?

02468-40-202040xyG = −5x² + 40x − 35S(4 | 45)
Der Gewinn G = −5x² + 40x − 35 ist im Scheitelpunkt S(4 | 45) am grössten: bei 4 Franken pro Stück.
Lösung Schritt für Schritt
  1. Der grösste Gewinn ist der Scheitelpunkt der nach unten offenen Parabel. Klammere −5 aus den Gliedern mit x aus:G=−5(x2−8x)−35
  2. Ergänzen: Hälfte von 8 ist 4, und 42=16.G=−5(x2−8x+16−16)−35
  3. Die −16 herausholen, mal −5 gibt +80:G=−5(x−4)2+80−35=−5(x−4)2+45
  4. Scheitelpunkt S(4|45): beim Preis von 4 Franken ist der Gewinn am grössten.

Bei 4 Franken pro Lebkuchen ist der Gewinn am grössten, nämlich 45 Franken.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

  1. 1

    Welche Zahl musst du ergänzen, damit x2+8x+□ eine Klammer im Quadrat wird?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​16, denn x2+8x+16=(x+4)2.

    -8-6-4-20246810xyy = x² + 8x + 16 = (x + 4)²S(−4 | 0)
    Die Parabel y = (x + 4)² hat ihren Scheitelpunkt S(−4 | 0) genau auf der x-Achse.
    1. Hälfte von 8: 4
    2. Quadrat: 42=16
    3. Probe: (x+4)2=x2+8x+16
  2. 2

    Bringe y=x2+4x+1 in die Scheitelform und gib den Scheitelpunkt an.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​y=(x+2)2−3, S(−2|−3)

    -5-4-3-2-101-4-2246xyy = (x + 2)² − 3S(−2 | −3)
    Die Parabel y = x² + 4x + 1 = (x + 2)² − 3 mit dem Scheitelpunkt S(−2 | −3).
    1. Hälfte von 4 ist 2, 22=4
    2. ​y=x2+4x+4−4+1
    3. ​y=(x+2)2−3, also S(−2|−3)
  3. 3

    Bringe y=x2−6x+7 in die Scheitelform und gib den Scheitelpunkt an.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​y=(x−3)2−2, S(3|−2)

    0123456-2246xyy = (x − 3)² − 2S(3 | −2)
    Die Parabel y = x² − 6x + 7 = (x − 3)² − 2 mit dem Scheitelpunkt S(3 | −2).
    1. Hälfte von 6 ist 3, 32=9
    2. ​y=x2−6x+9−9+7
    3. ​y=(x−3)2−2, also S(3|−2)
  4. 4

    Bringe y=x2+2x−8 in die Scheitelform und gib den Scheitelpunkt an.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​y=(x+1)2−9, S(−1|−9)

    -4-202-10-5xyy = (x + 1)² − 9S(−1 | −9)
    Die Parabel y = x² + 2x − 8 = (x + 1)² − 9 mit dem Scheitelpunkt S(−1 | −9).
    1. Hälfte von 2 ist 1, 12=1
    2. ​y=x2+2x+1−1−8
    3. ​y=(x+1)2−9, also S(−1|−9)
  5. 5

    Rückweg: Schreibe y=(x−5)2−3 in der allgemeinen Form y=x2+bx+c.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​y=x2−10x+22

    1. Binomische Formel: (x−5)2=x2−10x+25
    2. ​y=x2−10x+25−3
    3. ​y=x2−10x+22
  1. 6

    Bringe y=x2−3x+4 in die Scheitelform.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​y=(x−1.5)2+1.75, S(1.5|1.75)

    1. Hälfte von 3 ist 1.5, 1.52=2.25
    2. ​y=x2−3x+2.25−2.25+4
    3. ​y=(x−1.5)2+1.75
  2. 7

    Bringe y=3x2−12x+7 in die Scheitelform.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​y=3(x−2)2−5, S(2|−5)

    1. 3 ausklammern: y=3(x2−4x)+7
    2. Ergänzen: y=3(x2−4x+4−4)+7
    3. ​−4 herausholen, mal 3: y=3(x−2)2−12+7=3(x−2)2−5
  3. 8

    Bringe y=x2+7x in die Scheitelform.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​y=(x+3.5)2−12.25, S(−3.5|−12.25)

    1. Hälfte von 7 ist 3.5, 3.52=12.25
    2. ​y=x2+7x+12.25−12.25
    3. ​y=(x+3.5)2−12.25
  4. 9

    Löse x2+4x−12=0 mit der quadratischen Ergänzung.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​x=2 oder x=−6

    1. Ergänzen: (x+2)2−4−12=0
    2. Umstellen: (x+2)2=16
    3. ​x+2=4 oder x+2=−4, also x=2 oder x=−6
  5. 10

    Bringe y=−x2+6x−4 in die Scheitelform. Ist der Scheitelpunkt ein tiefster oder ein höchster Punkt?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​y=−(x−3)2+5, höchster Punkt S(3|5)

    1. ​−1 ausklammern: y=−(x2−6x)−4
    2. Ergänzen: y=−(x2−6x+9−9)−4
    3. ​−9 herausholen, mal −1 gibt +9: y=−(x−3)2+5
    4. Das Minus vorne öffnet die Parabel nach unten, also höchster Punkt.
  1. 11

    Bringe y=2x2+6x+1 in die Scheitelform.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​y=2(x+1.5)2−3.5, S(−1.5|−3.5)

    1. 2 ausklammern: y=2(x2+3x)+1
    2. Ergänzen mit 1.52=2.25: y=2(x2+3x+2.25−2.25)+1
    3. ​−2.25 herausholen, mal 2: y=2(x+1.5)2−4.5+1=2(x+1.5)2−3.5
  2. 12

    Bringe y=0.5x2−2x+5 in die Scheitelform.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​y=0.5(x−2)2+3, S(2|3)

    1. 0.5 ausklammern: −2x:0.5=−4x, also y=0.5(x2−4x)+5
    2. Ergänzen: y=0.5(x2−4x+4−4)+5
    3. ​−4 herausholen, mal 0.5: y=0.5(x−2)2−2+5=0.5(x−2)2+3
  3. 13

    Für welche Zahl c hat die Parabel y=x2−10x+c den Scheitelpunkt S(5|3)?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​c=28

    1. Ergänzen: y=(x−5)2−25+c
    2. Hinten muss 3 stehen: −25+c=3
    3. Also c=28. Probe: (x−5)2+3=x2−10x+28
  4. 14

    Beim Abstoss fliegt ein Fussball auf einem Sportplatz in Aarau auf der Bahn h=−0.05x2+1.2x. Dabei ist x die Entfernung vom Abstosspunkt und h die Höhe, beides in Metern. Wie hoch fliegt der Ball höchstens, und in welcher Entfernung?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Höchstens 7.2 m hoch, 12 m vom Abstosspunkt entfernt.

    1. ​−0.05 ausklammern: 1.2x:(−0.05)=−24x, also h=−0.05(x2−24x)
    2. Ergänzen mit 122=144: h=−0.05(x2−24x+144−144)
    3. ​−144 herausholen, mal −0.05 gibt +7.2: h=−0.05(x−12)2+7.2
    4. Scheitelpunkt S(12|7.2)

Vergisst dein Kind beim Ergänzen das Abziehen oder stolpert es über den Faktor vor dem x², übt eine Lehrperson die Schritte mit ihm an eigenen Aufgaben. Nachhilfe in Mathematik für die Sek und das Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Quadratische Ergänzung und Scheitelform

So funktioniert der Trainer

Wähle die richtige Antwort und lies die Erklärung. Stufe 1 übt die Ergänzungszahl und das Ablesen, Stufe 2 die Scheitelform ohne Zahl vor dem x², Stufe 3 die Scheitelform mit Faktor und das Lösen von Gleichungen.

Wie schreibst du x² − 12x + 36 als Quadrat?

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Nächstes ThemaQuadratische GleichungenIn einer quadratischen Gleichung kommt x im Quadrat vor, zum Beispiel x² + 2x − 15 = 0. Sie hat zwei, eine oder keine Lösung, und du findest sie mit Wurzelziehen, Zerlegen in Faktoren oder der Lösungsformel.3. Sek

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse
3. Sek - 1. Jahr Gymnasium
Stufe
Zyklus 3, Gymnasium
Fach
Mathematik

Je nach Kanton und Niveau gegen Ende der 3. Sek, meist aber im 1. Jahr am Gymnasium, direkt nach den Parabeln und vor der Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

  • MA.1.A.4.lQuadratische Terme mit den binomischen Formeln umformen, hier rückwärts: aus x² + bx eine Klammer im Quadrat machen und die Ergänzung wieder abziehen.
  • MA.3.C.2.hGleichung und Graph einer Parabel verbinden: aus der Scheitelform Scheitelpunkt und Öffnung ablesen und die Parabel skizzieren.
  • MA.1.B.2.kEine Umformung kontrollieren, indem man die Scheitelform wieder ausmultipliziert oder eine Zahl einsetzt.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist die quadratische Ergänzung?

Ein Rechentrick für Terme wie x2+bx+c: Du zählst das Quadrat der halben Zahl vor dem x dazu und ziehst es gleich wieder ab. So entsteht eine Klammer im Quadrat, zum Beispiel x2+6x+2=(x+3)2−7.

Wofür braucht man die quadratische Ergänzung?

Vor allem, um eine Parabel in die Scheitelform zu bringen und den Scheitelpunkt abzulesen, etwa für die grösste Höhe oder den grössten Gewinn. Ausserdem löst du damit quadratische Gleichungen, und die Lösungsformel wird genau so hergeleitet.

Geht es auch ohne quadratische Ergänzung?

Für den Scheitelpunkt allein ja: , und bekommst du durch Einsetzen. Die vollständige Scheitelform wird an Prüfungen aber oft mit Rechenweg verlangt, also mit der quadratischen Ergänzung. Mit der Formel kannst du dein Ergebnis gut kontrollieren.

In welcher Klasse lernt man die quadratische Ergänzung?

Je nach Kanton und Niveau gegen Ende der 3. Sek, meist im 1. Jahr am Gymnasium. Sie kommt nach den binomischen Formeln und den Parabeln und vor der Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Stand 08.11.2026. Alle Erklärungen und Aufgaben hat Fokus Nachhilfe selbst geschrieben, nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz. Trainer und Lösungen rechnet ein Programm, nicht eine KI. Fehler gefunden?