Ungleichungen lösen

Eine Ungleichung vergleicht zwei Terme mit <, >, ≤ oder ≥ und hat meist unendlich viele Lösungen. Du löst sie fast wie eine Gleichung, nur kehrt das Zeichen, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch sie teilst.

Jetzt üben Zum Ausdrucken

2. Sek - 3. Sek
Zyklus 3
Lehrplan 21: MA.1.A.4.j

Eine Jugendliche schaut nachdenklich auf eine Balkenwaage, deren eine Schale tiefer hängt als die andere.

Zum Ausdrucken

Das musst du wissen

Erklärung

Eine Ungleichung vergleicht zwei mit <, >, ≤ oder ≥, zum Beispiel 2x+3<11. Du löst sie wie eine , bis x allein steht. Multiplizierst oder teilst du mit einer , drehst du das Zeichen um.

Die vier Zeichen

< heisst «kleiner als», > heisst «grösser als». Mit einem Strich darunter gehört die Grenze dazu: ≤ heisst «kleiner oder gleich», ≥ heisst «grösser oder gleich».

x<4 sind alle Zahlen kleiner als 4, ohne die 4. Bei x≤4 gehört die 4 dazu.

MerkeDie Spitze des Zeichens zeigt immer zur kleineren Seite.

Viele Lösungen statt einer

Die Gleichung x+2=5 hat genau eine Lösung, nämlich 3. Die Ungleichung x+2>5 hat unendlich viele: jede Zahl grösser als 3, also auch 3.1 oder 100.

Alle Lösungen zusammen bilden die . Du schreibst sie als $L = {x ∣ x > 3}$ oder zeichnest sie am Zahlenstrahl ein.

Die Lösungen von x + 2 > 5 sind alle Zahlen rechts von 3. Die 3 selbst gehört nicht dazu.

Umformen wie bei Gleichungen

Du darfst auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren. Du darfst auch beide Seiten mit derselben positiven Zahl multiplizieren oder durch sie teilen. Das Zeichen bleibt dabei gleich.

3 x - 4 3 x x < 11 < 15 < 5 ∣ + 4 ∣ : 3

Steht x rechts, lies von rechts: 5>x heisst dasselbe wie x<5.

MerkePlus, minus und lassen das Zeichen, wie es ist.

Die Lösungen von 3x − 4 < 11 sind alle Zahlen links von 5, auch die negativen. Die 5 gehört nicht dazu.

Negative Zahl: Zeichen umdrehen

Multiplizierst du beide Seiten mit einer negativen Zahl oder teilst du durch sie, drehst du das Zeichen um. Aus < wird >, aus ≤ wird ≥.

Warum? 2<5 stimmt. Mal (−1) gibt −2 und −5, und es gilt −2>−5.

- 2 x x < 6 > - 3 ∣ : (- 2)

MerkeMal oder geteilt durch eine negative Zahl: Zeichen umdrehen.

2 liegt links von 5. Nach mal (−1) liegt −2 rechts von −5. Die Reihenfolge kehrt, darum kehrt auch das Zeichen.

Die Probe mit zwei Zahlen

Setze eine Zahl aus der Lösungsmenge in die Ungleichung vom Anfang ein: Die Aussage muss stimmen. Setze auch eine Zahl ausserhalb ein: Sie muss falsch werden.

Bei −2x<6 kam x>−3 heraus. Für x=0 gilt 0<6, wahr. Für x=−4 gilt 8<6, falsch. Die Lösung passt.

MerkeEine Zahl drinnen, eine draussen: Erst dann ist die Probe fertig.

Bruchungleichungen: x im Nenner (oft erst im Gymnasium)

Steht x im , darfst du nicht einfach mit dem Nenner multiplizieren. Du weisst ja nicht, ob er positiv oder negativ ist. Und x darf den Nenner nie 0 machen.

Darum rechnest du zwei Fälle: Nenner positiv, das Zeichen bleibt. Nenner negativ, das Zeichen kehrt. Am Schluss legst du beide Teile zusammen.

Merkex im Nenner: zwei Fälle rechnen, positiv und negativ.

Ungleichungen lösen: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Die Spitze des Zeichens zeigt immer zur kleineren Seite. Beispiel: x ≤ 4, also L = x | x ≤ 4. — Merkblatt Ungleichungen lösen: Regel und Beispiel Schritt für Schritt.

Häufige Fehler

✕−3x>12 wird zu x>−4.
✓Du teilst durch −3, also dreht das Zeichen: x<−4.
✕x−5<2 wird mit |+5 zu x>7.
✓Plus und minus ändern das Zeichen nie: x<7.
✕Bei x≥4 gehört die 4 nicht zur Lösung.
✓Der Strich unter dem Zeichen heisst «oder gleich»: Bei x≥4 ist die 4 eine Lösung.
✕6x>2 mal x gibt 6>2x, also x<3.
✓Das gilt nur für positive x. Für negative x ist 6x negativ und nie grösser als 2. Richtig ist 0<x<3.

Begriffe zum Nachschlagen

Ungleichung: Zwei Terme, die mit <, >, ≤ oder ≥ verglichen werden, zum Beispiel 2x+3<11.
Lösungsmenge: Alle Zahlen, die die Ungleichung wahr machen, zusammen. Man schreibt sie als L, zum Beispiel $L = {x ∣ x > 3}$ .
Äquivalenzumformung: Ein Schritt, den du auf beiden Seiten gleich machst. Die Lösungsmenge bleibt dabei dieselbe.
Doppelungleichung: Zwei Zeichen in einer Zeile, zum Beispiel −1<x≤3: x liegt zwischen zwei Grenzen.
Bruchungleichung: Eine Ungleichung, bei der x im Nenner steht, zum Beispiel 12x>3.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Lineare Gleichungen lösen Negative Zahlen

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Ungleichung in zwei Schritten

Löse 4x+5≤21.

Die Lösungen von 4x + 5 ≤ 21 sind die 4 und alle Zahlen links davon.

Lösung Schritt für Schritt

Die 5 soll weg. Ziehe auf beiden Seiten 5 ab. Das Zeichen bleibt:4x+5≤21 |−5
Teile beide Seiten durch 4. Das ist eine positive Zahl, das Zeichen bleibt:4x≤16 |:4
Die Lösung:x≤4
Probe: Für x=0 gilt 5≤21, wahr. Für x=5 gilt 25≤21, falsch. Es passt.

x≤4, also $L = {x ∣ x \leq 4}$

Beispiel 2Durch eine negative Zahl teilen

Löse 7−3x>19.

Die Lösungen von 7 − 3x > 19 sind alle Zahlen links von −4. Die −4 gehört nicht dazu.

Lösung Schritt für Schritt

Die 7 soll weg. Ziehe auf beiden Seiten 7 ab:7−3x>19 |−7
Vor x steht −3. Teile durch −3 und drehe das Zeichen um:−3x>12 |:(−3)
Die Lösung:x<−4
Probe: Für x=−5 gilt 7+15=22>19, wahr. Für x=0 gilt 7>19, falsch. Es passt.

x<−4, also $L = {x ∣ x < - 4}$

Beispiel 3Textaufgabe: das Mietvelo

Ein Mädchen fährt mit einem Mietvelo am Seeufer in Luzern, im Hintergrund eine alte Holzbrücke und Berge.

In Luzern kostet ein Mietvelo 5 Franken Grundgebühr und 4 Franken pro Stunde. Nina hat 30 Franken dabei. Wie viele ganze Stunden kann sie höchstens fahren?

Lösung Schritt für Schritt

Die Anzahl Stunden ist gesucht, nenne sie x. Die Kosten dürfen höchstens 30 Franken sein, also ≤. Ziehe dann 5 ab:5+4x≤30 |−5
Teile beide Seiten durch 4:4x≤25 |:4
Die Lösung der Ungleichung:x≤6.25
Gefragt sind ganze Stunden. Die grösste ganze Zahl bis 6.25 ist 6.
Probe: 6 Stunden kosten 5+24=29 Franken, das reicht. 7 Stunden kosten 33 Franken, das reicht nicht.

x≤6.25: Nina kann höchstens 6 ganze Stunden fahren.

Beispiel 4Bruchungleichung mit zwei Fällen

Löse 12x>3 mit $x \neq = 0$ .

Die Lösungen von 12/x > 3 liegen zwischen 0 und 4. Die beiden Grenzen gehören nicht dazu.

Lösung Schritt für Schritt

Fall 1: x>0. Du multiplizierst mit einer positiven Zahl, das Zeichen bleibt:12>3x |:3
Das gibt 4>x, also x<4. Zusammen mit x>0:0<x<4
Fall 2: x<0. Du multiplizierst mit einer negativen Zahl, das Zeichen dreht:12<3x |:3
Das gibt x>4. Das passt nicht zu x<0, dieser Fall liefert keine Lösung.
Probe: Für x=2 gilt 6>3, wahr. Für x=6 gilt 2>3, falsch. Für x=−2 gilt −6>3, falsch.

0<x<4, also $L = {x ∣ 0 < x < 4}$

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
x+7>12
Lösung zeigen
Ergebnis: x>5
Die Lösungen sind alle Zahlen rechts von 5, ohne die 5.
1. |−7 auf beiden Seiten, das Zeichen bleibt
2. x>12−7=5
3. Probe: 6+7=13>12, stimmt
2
x−4≤6
Lösung zeigen
Ergebnis: x≤10
Die Lösungen sind die 10 und alle Zahlen links davon.
1. |+4 auf beiden Seiten, das Zeichen bleibt
2. x≤6+4=10
3. Probe: 10−4=6≤6, stimmt
3
5x<35
Lösung zeigen
Ergebnis: x<7
Die Lösungen sind alle Zahlen links von 7, auch 0 und die negativen Zahlen.
1. |:5, eine positive Zahl, das Zeichen bleibt
2. x<35:5=7
4
3x+2≥17
Lösung zeigen
Ergebnis: x≥5
1. |−2: 3x≥15
2. |:3: x≥5
3. Probe: 3·5+2=17≥17, stimmt
5
Ist x=3 eine Lösung von 2x+1<7?
Lösung zeigen
Ergebnis: Nein: 2·3+1=7, und 7<7 ist falsch.
1. Setze 3 für x ein: 2·3+1=7
2. Die Frage ist nun: Ist 7<7?
3. 7 ist nicht kleiner als 7. Also ist 3 keine Lösung.

6
−4x>20
Lösung zeigen
Ergebnis: x<−5
1. |:(−4), eine negative Zahl: Zeichen umdrehen
2. x<20:(−4)=−5
3. Probe: Für x=−6 gilt 24>20, stimmt
7
9−2x≤1
Lösung zeigen
Ergebnis: x≥4
1. |−9: −2x≤−8
2. |:(−2), Zeichen umdrehen: x≥4
3. Probe: Für x=4 gilt 9−8=1≤1, stimmt
8
6x−5>2x+11
Lösung zeigen
Ergebnis: x>4
1. |−2x: 4x−5>11
2. |+5: 4x>16
3. |:4: x>4
9
2(x+3)<5x−9
Lösung zeigen
Ergebnis: x>5
1. Klammer auflösen: 2x+6<5x−9
2. |−2x und |+9: 15<3x
3. |:3: 5<x, also x>5
10
Ein Kinoeintritt in Chur kostet 16 Franken. Mit einer Jahreskarte für 60 Franken kostet jeder Eintritt nur noch 10 Franken. Ab wie vielen Besuchen lohnt sich die Karte?
Lösung zeigen
Ergebnis: x>10, also ab 11 Besuchen.
1. Anzahl Besuche =x. Mit Karte soll es günstiger sein: 60+10x<16x
2. |−10x: 60<6x
3. |:6: x>10. Bei genau 10 Besuchen kostet es gleich viel, ab 11 lohnt sich die Karte.

11
x3−2≥x4
Lösung zeigen
Ergebnis: x≥24
1. Mal 12, eine positive Zahl: 4x−24≥3x
2. |−3x: x−24≥0
3. |+24: x≥24
4. Probe: Für x=24 gilt 8−2=6≥6, stimmt
12
3−(2x−5)>4x+2
Lösung zeigen
Ergebnis: x<1
1. Minus vor der Klammer: 3−2x+5>4x+2, also 8−2x>4x+2
2. |+2x und |−2: 6>6x
3. |:6: 1>x, also x<1
13
−1<2x+3≤9
Lösung zeigen
Ergebnis: −2<x≤3
1. Rechne in allen drei Teilen gleich. |−3: −4<2x≤6
2. |:2: −2<x≤3
14
8x<2 mit $x \neq = 0$
Lösung zeigen
Ergebnis: x<0 oder x>4
1. Fall x>0: mal x, Zeichen bleibt: 8<2x, also x>4
2. Fall x<0: mal x, Zeichen dreht: 8>2x, also x<4. Zusammen mit x<0 gilt das für alle x<0
3. Probe: x=−1 gibt −8<2, wahr. x=2 gibt 4<2, falsch. x=5 gibt 1.6<2, wahr
15
Für welche ganzen Zahlen gilt −3≤1−2x<7?
Lösung zeigen
Ergebnis: −3<x≤2, also x=−2,−1,0,1,2
1. |−1 in allen drei Teilen: −4≤−2x<6
2. |:(−2), beide Zeichen drehen: 2≥x>−3
3. Von links gelesen: −3<x≤2. Die ganzen Zahlen darin sind −2,−1,0,1,2.

Dreht dein Kind das Zeichen beim Teilen durch eine negative Zahl nicht um oder verliert bei Klammern den Überblick, übt eine Lehrperson jeden Umformungsschritt mit ihm. Nachhilfe in Mathematik für die Sek

Üben ohne Ende

Trainer: Ungleichungen lösen

So funktioniert der Trainer

Wähle die richtige Lösung. Stufe 1 übt die Zeichen und Ungleichungen in einem oder zwei Schritten, Stufe 2 das Umdrehen bei negativen Zahlen und x auf beiden Seiten, Stufe 3 Brüche, Doppel- und Bruchungleichungen.

Löse: 4x < 28

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

Für dein Heft

Zum Ausdrucken

Nimm ein fertiges Paket oder stell selbst zusammen, was du brauchst. Alles als PDF, gratis und ohne Anmeldung.

ArbeitsblattArbeitsblatt mit LösungsblattLernpaket komplettTheorie, Beispiele, Übungen, Arbeitsblatt und alle LösungenSelbst zusammenstellenTeile unten an- und abwählen

Teile im PDFTheorieblattErklärung, Merksätze, Bilder und häufige FehlerBeispieleAufgaben Schritt für Schritt vorgerechnetÜbungenIn drei Stufen, mit Platz zum RechnenArbeitsblattZum Ausfüllen, mit Name und Datum

Lösungen beilegen Lösungsblätter am Schluss

PDF herunterladenDarf für den Unterricht kopiert werden.

Geschafft? So geht es weiter

Weiter lernen

Nächstes ThemaLineare Funktionen und SteigungEine lineare Funktion hat die Gleichung y = mx + q, ihr Graph ist eine Gerade. Die Steigung m sagt, wie steil die Gerade ist, und q, wo sie die y-Achse schneidet.2. Sek - 3. Sek

Mehr zu Terme und Gleichungen

Quadratische Gleichungen3. Sek
Terme mit Variablen vereinfachen1. Sek - 2. Sek
Ausmultiplizieren und Ausklammern1. Sek - 2. Sek
Textaufgaben mit Gleichungen1. Sek - 3. Sek

Noch nicht sicher? Übe das Thema als Spiel mit Fox.

Jetzt üben

Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 2. Sek - 3. Sek
Zyklus: Zyklus 3
Fach: Mathematik

Ungleichungen kommen meist in der 2. oder 3. Sek, wenn lineare Gleichungen sicher sitzen, oft im Niveau mit erweiterten Anforderungen. Bruchungleichungen folgen später, häufig erst im Gymnasium.

MA.1.A.4.jEine lineare Ungleichung mit einer Variablen Schritt für Schritt wie eine Gleichung umformen und dabei auf die Richtung des Zeichens achten.
MA.1.B.2.kUmformungen kontrollieren, indem du eine Zahl aus der Lösungsmenge und eine Zahl ausserhalb in die Ungleichung vom Anfang einsetzt.
MA.1.A.2.jPositive und negative Zahlen auf dem Zahlenstrahl ordnen, um die Lösungen einer Ungleichung als Bereich einzuzeichnen.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernt man Ungleichungen lösen?

Meist in der 2. oder 3. Sek, wenn lineare Gleichungen sicher sitzen. Je nach Kanton, Niveau und Lehrmittel kommt es etwas früher oder später. Im Gymnasium tauchen Ungleichungen wieder auf, zum Beispiel mit x im Nenner.

Wann muss man das Ungleichheitszeichen umdrehen?

Wenn du beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl teilst. Addieren und Subtrahieren ändern das Zeichen nie. Tauschst du die beiden Seiten, kehrt das Zeichen ebenfalls: 5 > x heisst dasselbe wie x < 5.

Was ist der Unterschied zwischen < und ≤?

Bei < gehört die Grenze nicht zur Lösung, bei ≤ schon. x < 4 erlaubt 3.9, aber nicht 4. x ≤ 4 erlaubt auch die 4.

Wie löst man Bruchungleichungen?

Steht x im Nenner, rechnest du zwei Fälle: Nenner positiv und Nenner negativ. Im zweiten Fall dreht das Zeichen, wenn du mit dem Nenner multiplizierst. Am Schluss legst du die Lösungen beider Fälle zusammen, ohne die Zahl, die den Nenner 0 macht.