Exponentialfunktion und e-Funktion

Bei einer Exponentialfunktion $f(x) = a \cdot b^x$ steht x im Exponenten: Geht x um 1 weiter, wird der Funktionswert mit demselben Faktor b multipliziert. Die e-Funktion $f(x) = e^x$ ist die Exponentialfunktion zur Basis $e \approx 2.718$.

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1. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Ein Jugendlicher zeigt im Herbst auf einen Teich im Park, auf dem sich Seerosenblätter dicht ausbreiten.

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Das musst du wissen

Erklärung

Eine Exponentialfunktion hat die Form $f (x) = a \cdot b^{x}$ mit b>0 und b≠1: x steht im . Geht x um 1 weiter, wird der Wert mit b multipliziert. Danach lernst du, , Basis und abzulesen und mit der e-Funktion $e^{x}$ zu rechnen.

x steht im Exponenten

Bei $f (x) = 2^{x}$ ist die Basis fest, x ist die Hochzahl. Negative Exponenten geben :

x	−2	−1	0	1	2	3
$2^{x}$	14	12	1	2	4	8

Jeder Schritt nach rechts verdoppelt den Wert. Bei x² ist es umgekehrt: x ist die Basis. Für grosse x wächst $2^{x}$ viel schneller, etwa 2¹⁰=1024, aber 10²=100.

MerkeExponentialfunktion: x oben im Exponenten, zum Beispiel $2^{x}$ . Bei x² steht x unten, das ist eine .

Graph von f(x) = 2^x mit den Punkten aus der Wertetabelle: Von x = 2 bis x = 3 verdoppelt sich der Wert von 4 auf 8.

Eigenschaften des Graphen

Für jede Basis b>0 mit b≠1 geht der von $y = b^{x}$ durch (0|1) und (1|b). Für b>1 steigt er, für 0<b<1 fällt er.

Alle Werte sind positiv: Die ist y>0, eine gibt es nicht. Die x-Achse ist eine waagrechte Asymptote: Der Graph nähert sich ihr, berührt sie aber nie.

Wegen $(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}$ liegen $y = 2^{x}$ und $y = 0. 5^{x}$ spiegelbildlich zur y-Achse.

MerkeJeder Graph $y = b^{x}$ geht durch (0|1), bleibt über der x-Achse und hat die x-Achse als Asymptote.

y = 2^x steigt, y = 0.5^x fällt. Beide gehen durch (0 | 1) und liegen spiegelbildlich zur y-Achse: (2 | 4) gehört zur einen, (−2 | 4) zur anderen Kurve.

Startwert a und Basis b

In $f (x) = a \cdot b^{x}$ ist a=f(0) der Startwert, also der Schnittpunkt mit der y-Achse. b ist der : Pro Schritt wird mit b multipliziert.

Bei $f (x) = 3 \cdot 2^{x}$ heisst das: 3, 6, 12, 24. Bei $f (x) = 80 \cdot 0.7 5^{x}$ nimmt der Wert pro Schritt um 25 % ab.

Zuerst kommt die , dann das Mal: 3·2²=12, nicht 6².

Merkea ist der Wert bei x = 0, b der Faktor pro Schritt. Wachstum um p % gibt b=1+p100, Abnahme um p % gibt b=1−p100.

Die e-Funktion

Die Basis der e-Funktion $f (x) = e^{x}$ ist die eulersche Zahl e≈2.718.

Ausblick auf die Analysis: Die an den Graphen ist an jeder Stelle so steil, wie der gross ist. Bei x=0 sind beide 1.

Wachstum hat oft die Form $f (x) = a \cdot e^{k x}$ . Für k>0 wächst der Wert, für k<0 nimmt er ab.

Die Umkehrung ist der $ln$ , der zur Basis e.

Merkee⁰=1 und e¹=e≈2.718. Jede Basis lässt sich so schreiben: $b^{x} = e^{x \cdot l n (b)}$ .

y = e^x steigt und geht durch (1 | e), y = e^(−x) fällt und geht durch (−1 | e). Beide schneiden die y-Achse bei 1.

Verschieben, strecken, spiegeln

Die $g (x) = a \cdot b^{x - c} + d$ entsteht aus $y = b^{x}$ :

c verschiebt nach rechts (c>0) oder links (c<0).
d verschiebt nach oben oder unten. Die Asymptote wandert mit, sie liegt bei y=d.
a streckt in y-Richtung, ein negatives a spiegelt an der x-Achse.

Bei $g (x) = 2^{x} - 4$ liegt die Asymptote bei y=−4. Jetzt gibt es eine Nullstelle: $2^{x} = 4$ , also x=2.

MerkeDie waagrechte Asymptote liegt bei y=d, der Zahl, die du am Schluss addierst.

g(x) = 2^x − 4 ist y = 2^x um 4 nach unten verschoben. Der Graph nähert sich links der Geraden y = −4 und schneidet die x-Achse bei x = 2.

Funktionsgleichung aus zwei Punkten

Kennst du zwei Punkte, findest du a und b. Teile die beiden durcheinander, dann fällt a weg.

Beispiel: Der Graph von $f (x) = a \cdot b^{x}$ geht durch (1|6) und (3|54).

a·b³a·b¹=546 ⇒ b²=9 ⇒ b=3

Dann ist a·3=6, also a=2 und $f (x) = 2 \cdot 3^{x}$ . Die Basis ist immer positiv, darum fällt b=−3 weg.

Steht x in einer Gleichung im Exponenten, zum Beispiel $e^{x} = 20$ , löst du mit dem Logarithmus: $x = ln (20) \approx 3.00$ .

MerkeZwei Punkte durcheinander teilen: a kürzt sich weg, übrig bleibt eine Gleichung für b.

Exponentialfunktion und e-Funktion: Übersicht mit Tabelle x steht im Exponenten. Beispiel: f(x) = 4 · 3^x und f(3) = 108. — Exponentialfunktion und e-Funktion auf einen Blick: x steht im Exponenten als Tabelle.

Häufige Fehler

✕ $2^{x}$ und x² sind dasselbe, nur anders geschrieben.
✓Bei $2^{x}$ steht x im Exponenten, bei x² in der Basis. Für x=3 ist 2³=8, aber 3²=9; für x=10 ist 2¹⁰=1024, aber 10²=100.
✕ $3 \cdot 2^{x} = 6^{x}$
✓Zuerst die Potenz, dann das Mal. Für x=2 ist 3·2²=12, aber 6²=36.
✕e⁰=0, darum geht der Graph von $y = e^{x}$ durch den Ursprung.
✓Jede Basis hoch 0 gibt 1: e⁰=1. Der Graph geht durch (0|1) und schneidet die x-Achse nie.
✕ $y = (- 2)^{x}$ ist eine Exponentialfunktion mit fallendem Graphen.
✓Die Basis muss positiv sein. $(- 2)^{0.5}$ gibt es in den nicht. Eine fallende Exponentialfunktion hat eine Basis zwischen 0 und 1, etwa $y = 0. 5^{x}$ .

Begriffe zum Nachschlagen

Exponentialfunktion: Eine Funktion $f (x) = a \cdot b^{x}$ mit b>0 und b≠1, bei der x im Exponenten steht.
e-Funktion: Die Exponentialfunktion $f (x) = e^{x}$ zur Basis e≈2.718. Auf dem Taschenrechner die Taste $e^{x}$ .
Eulersche Zahl: Die irrationale Zahl e≈2.718, die Basis der e-Funktion.
Natürlicher Logarithmus: Der Logarithmus zur Basis e, geschrieben $ln$ . Er kehrt die e-Funktion um: $ln (e^{x}) = x$ .
Wachstumsfaktor: Die Zahl b, mit der der Funktionswert bei jedem Schritt von x zu x+1 multipliziert wird.
Startwert: Der Funktionswert bei x=0. Bei $f (x) = a \cdot b^{x}$ ist es a.
Asymptote: Eine Gerade, der sich ein Graph beliebig nähert, ohne sie zu erreichen. Bei $y = b^{x}$ ist es die x-Achse.
Wertemenge: Alle y-Werte, die eine Funktion annimmt. Bei $y = b^{x}$ sind das alle positiven Zahlen.
Tangente: Eine Gerade, die einen Graphen in einem Punkt nur berührt und dort gleich steil ist wie der Graph. Genauer kommt sie in der Analysis.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Potenzen und Potenzgesetze Logarithmus Lineares und exponentielles Wachstum Funktionen, Wertetabellen und Graphen

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Wertetabelle und Graph

Gegeben ist $f (x) = 3 \cdot 2^{x}$ . Berechne f(−1), f(0) und f(2) und beschreibe den Graphen.

Graph von f(x) = 3 · 2^x mit den Punkten (−1 | 1.5), (0 | 3) und (2 | 12). Links nähert er sich der x-Achse.

Lösung Schritt für Schritt

Ein negativer Exponent gibt den Kehrwert. $f (- 1) = 3 \cdot 2^{- 1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5$
Bei x=0 steht der Startwert, denn 2⁰=1.f(0)=3·1=3
Rechne zuerst die Potenz, dann das Mal.f(2)=3·2²=3·4=12
Die Basis 2 ist grösser als 1, also steigt der Graph. Er schneidet die y-Achse bei 3 und hat die x-Achse als Asymptote.

f(−1)=1.5, f(0)=3 und f(2)=12. Der Graph steigt, startet bei (0|3) und verdoppelt sich mit jedem Schritt nach rechts.

Beispiel 2Funktionsgleichung aus zwei Punkten

Der Graph von $f (x) = a \cdot b^{x}$ geht durch (0|4) und (2|36). Bestimme die und berechne f(3).

Graph von f(x) = 4 · 3^x durch die gegebenen Punkte (0 | 4) und (2 | 36). Bei x = 3 liegt er schon bei 108.

Lösung Schritt für Schritt

Der Punkt auf der y-Achse liefert den Startwert direkt.f(0)=a·b⁰=a=4
Setze den zweiten Punkt ein.4·b²=36 ⇒ b²=9
Die Basis ist positiv.b=3
Jetzt kannst du jeden Wert ausrechnen.f(3)=4·3³=4·27=108

$f (x) = 4 \cdot 3^{x}$ und f(3)=108.

Beispiel 3Der Tee kühlt ab

Eine Jugendliche sitzt mit einer dampfenden Tasse Tee am Küchentisch, draussen sieht man Dächer und einen See.

Lara stellt in ihrer Wohnung in Luzern eine Tasse Tee mit 80 °C auf den Tisch. Die Zimmertemperatur ist 20 °C. Der Unterschied zur Zimmertemperatur halbiert sich alle 15 Minuten. Das Modell ist $T (t) = 20 + 60 \cdot 0. 5^{\frac{t}{15}}$ , t in Minuten. Wie warm ist der Tee nach 30 Minuten, und welche Temperatur erreicht er nie ganz?

Lösung Schritt für Schritt

Setze t=30 ein. Der Exponent ist 3015=2.T(30)=20+60·0.5²
Rechne zuerst die Potenz, dann das Mal.0.5²=0.25 60·0.25=15
Zähle die Zimmertemperatur dazu.T(30)=20+15=35
Der Teil $60 \cdot 0. 5^{\frac{t}{15}}$ wird immer kleiner, aber nie 0. Die Asymptote liegt bei T=20.

Nach 30 Minuten hat der Tee 35 °C. Er nähert sich den 20 °C im Zimmer, erreicht sie aber im Modell nie ganz.

Beispiel 4Bakterien im Labor

Zwei Gymnasiasten mit Schutzbrillen schauen im Biologielabor auf eine Petrischale neben einem Mikroskop.

Im Biologielabor einer Kantonsschule in Chur wächst eine Bakterienkultur nach $N (t) = 500 \cdot e^{0.2 t}$ , t in Stunden. Wie viele Bakterien sind es nach 5 Stunden? Verwende e≈2.718.

Lösung Schritt für Schritt

Setze t=5 ein und rechne den Exponenten aus.0.2·5=1
Der Exponent ist 1, also bleibt nur e übrig.N(5)=500·e¹=500·e
Setze den Näherungswert für e ein.N(5)≈500·2.718=1359

Nach 5 Stunden sind es etwa 1359 Bakterien, also fast dreimal so viele wie am Anfang.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Berechne f(4) für $f (x) = 2^{x}$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: f(4)=16
Graph von f(x) = 2^x: Bei x = 4 hat er den Wert 16.
1. Setze x=4 ein: f(4)=2⁴.
2. 2·2·2·2=16
2
Gegeben ist $f (x) = 5 \cdot 3^{x}$ . Gib den Schnittpunkt mit der y-Achse an und berechne f(2).
Lösung zeigen
Ergebnis: Schnittpunkt (0|5), f(2)=45.
Graph von f(x) = 5 · 3^x: Er schneidet die y-Achse bei 5 und erreicht bei x = 2 den Wert 45.
1. f(0)=5·3⁰=5·1=5
2. f(2)=5·3²=5·9=45
3
Berechne f(−3) für $f (x) = 0. 5^{x}$ . Steigt oder fällt der Graph?
Lösung zeigen
Ergebnis: f(−3)=8. Der Graph fällt, weil die Basis zwischen 0 und 1 liegt.
Graph von f(x) = 0.5^x: Er fällt von links nach rechts und liegt bei x = −3 auf der Höhe 8.
1. 0.5=12, und ein negativer Exponent gibt den Kehrwert: $(\frac{1}{2})^{- 3} = 2^{3}$ .
2. 2³=8
3. Basis 0.5<1: Der Graph fällt.
4
Gib die waagrechte Asymptote und den Schnittpunkt mit der y-Achse von $g (x) = 2^{x} + 3$ an.
Lösung zeigen
Ergebnis: Asymptote y=3, Schnittpunkt (0|4).
1. Der Graph von $y = 2^{x}$ ist um 3 nach oben verschoben, also auch die Asymptote: y=3.
2. g(0)=2⁰+3=1+3=4
5
Berechne für $f (x) = e^{x}$ die Werte f(0) und f(1) und für $g (x) = 5 \cdot e^{x}$ den Wert g(1). Verwende e≈2.718.
Lösung zeigen
Ergebnis: f(0)=1, f(1)=e≈2.718 und g(1)≈5·2.718=13.59.
Graph der e-Funktion f(x) = e^x mit den Punkten (0 | 1) und (1 | 2.718).
1. Jede Basis hoch 0 gibt 1: e⁰=1.
2. e¹=e≈2.718 (Taste $e^{x}$ mit 1).
3. g(1)=5·e¹≈5·2.718=13.59

6
Der Graph von $f (x) = a \cdot b^{x}$ geht durch (0|2) und (1|10). Bestimme die Funktionsgleichung.
Lösung zeigen
Ergebnis: a=2, b=5, also $f (x) = 2 \cdot 5^{x}$ .
1. Bei x=0 steht der Startwert: a=2.
2. 2·b¹=10, also b=10:2=5.
7
Eine Exponentialfunktion hat den Startwert 80 und nimmt pro Schritt um 25 % ab. Gib die Funktionsgleichung an und berechne f(2).
Lösung zeigen
Ergebnis: $f (x) = 80 \cdot 0.7 5^{x}$ und f(2)=45.
1. Abnahme um 25 % heisst: Es bleiben 75 %, also b=0.75.
2. f(2)=80·0.75²=80·0.5625=45
8
Schreibe $f (x) = 2^{- x}$ als Exponentialfunktion mit einer Basis zwischen 0 und 1 und berechne f(2).
Lösung zeigen
Ergebnis: $f (x) = (\frac{1}{2})^{x}$ und f(2)=14.
1. $2^{- x} = (2^{- 1})^{x} = (\frac{1}{2})^{x}$
2. $f (2) = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$
9
Gegeben ist $g (x) = 3^{x - 2} + 1$ . Gib die Asymptote an und berechne den Schnittpunkt mit der y-Achse.
Lösung zeigen
Ergebnis: Asymptote y=1, Schnittpunkt $(0 ∣ \frac{10}{9})$ .
1. Der Graph ist um 2 nach rechts und um 1 nach oben verschoben. Die Asymptote liegt bei y=1.
2. $g (0) = 3^{- 2} + 1 = \frac{1}{9} + 1 = \frac{10}{9}$
10
Der Graph von $f (x) = a \cdot b^{x}$ geht durch (1|6) und (3|24). Bestimme a und b.
Lösung zeigen
Ergebnis: b=2 und a=3, also $f (x) = 3 \cdot 2^{x}$ .
1. Teile die Gleichungen: a·b³a·b=246, also b²=4.
2. Die Basis ist positiv: b=2.
3. a·2=6, also a=3.

11
Löse die Gleichung $3 \cdot 2^{x} = 96$ ohne Taschenrechner.
Lösung zeigen
Ergebnis: x=5, denn 2⁵=32.
1. Teile durch 3: $2^{x} = 32$ .
2. 32=2·2·2·2·2=2⁵
3. Also x=5.
12
Löse $e^{2 x} = 20$ . Verwende $ln (20) \approx 3.00$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $x = \frac{ln ( 20 )}{2} \approx 1.5$
1. Wende auf beiden Seiten ln an, den Logarithmus zur Basis e: $2 x = ln (20)$ .
2. Teile durch 2: $x = \frac{ln ( 20 )}{2}$ .
3. x≈3.00:2=1.5
13
Eine Exponentialfunktion $f (x) = a \cdot b^{x}$ geht durch (2|12) und (5|96). Bestimme b und den Startwert a.
Lösung zeigen
Ergebnis: b=2 und a=3, also $f (x) = 3 \cdot 2^{x}$ .
1. Teile die Gleichungen: a·b⁵a·b²=9612, also b³=8.
2. 2³=8, also b=2.
3. a·2²=12, also a=12:4=3.
14
Gegeben ist $f (x) = 4000 \cdot 0. 5^{x}$ . Ab welcher ganzen Zahl x ist f(x) kleiner als 1?
Lösung zeigen
Ergebnis: Ab x=12, denn 2¹¹=2048 ist noch kleiner als 4000, aber 2¹²=4096 ist grösser.
1. $0. 5^{x} = \frac{1}{2 ^{x}}$ , also $f (x) = \frac{4000}{2 ^{x}}$ .
2. f(x)<1 heisst $2^{x} > 4000$ .
3. 2¹¹=2048 ist zu klein, 2¹²=4096 reicht. Also ab x=12, mit f(12)=40004096≈0.98.
15
Von einem radioaktiven Stoff sind 200 mg da. Die Menge halbiert sich alle 8 Tage. Stelle die Funktionsgleichung auf und berechne, wie viel nach 24 Tagen übrig ist.
Lösung zeigen
Ergebnis: $m (t) = 200 \cdot 0. 5^{\frac{t}{8}}$ , nach 24 Tagen sind 25 mg übrig.
1. Startwert 200, alle 8 Tage Faktor 0.5: $m (t) = 200 \cdot 0. 5^{\frac{t}{8}}$ .
2. t=24 gibt den Exponenten 248=3.
3. m(24)=200·0.5³=200·0.125=25

Verwechselst du $2^{x}$ und x² oder findest du die Funktionsgleichung aus zwei Punkten nicht? Eine Lehrperson geht die Exponentialfunktion mit dir an deinen eigenen Aufgaben durch. Mathematik-Nachhilfe für das Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Exponentialfunktion und e-Funktion

So funktioniert der Trainer

Neue Aufgaben zur Exponentialfunktion mit Rückmeldung und Erklärung. Stufe 1 übt Funktionswerte, Stufe 2 den Graphen, Stufe 3 Funktionsgleichungen und Gleichungen.

Berechne f(−1) für f(x) = 4ˣ. Gib einen Bruch an.

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Nächstes ThemaLogarithmusfunktion und lnDie Logarithmusfunktion $f(x) = \log_b(x)$ gibt zu jeder positiven Zahl x den Exponenten an, mit dem du die Basis b potenzieren musst, um x zu erhalten. Sie ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, und ln ist der Logarithmus zur Basis e.1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium

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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 1. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im 1. Jahr, nach den Potenzen und dem exponentiellen Wachstum aus der Sek. Die e-Funktion kommt dazu, sobald die Logarithmen oder die Analysis drankommen.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Exponentialfunktion und e-Funktion?

Die e-Funktion ist eine bestimmte Exponentialfunktion, nämlich die mit der Basis e ≈ 2.718. Eine Exponentialfunktion allgemein hat irgendeine positive Basis ausser 1, zum Beispiel 2ˣ oder 0.5ˣ.

Warum hat eine Exponentialfunktion y = bˣ keine Nullstelle?

Eine positive Basis hoch irgendeine Zahl ist immer positiv, also nie 0. Der Graph nähert sich der x-Achse nur an. Erst eine Verschiebung nach unten, etwa y = 2ˣ − 4, erzeugt eine Nullstelle.

In welcher Klasse kommt die Exponentialfunktion dran?

Exponentielles Wachstum mit Tabellen und Prozenten kommt oft schon in der Sek. Die Exponentialfunktion mit Graph, Parametern und e-Funktion ist Stoff des Gymnasiums, meist im 1. Jahr.

Was ist der Unterschied zwischen exponentiellem und linearem Wachstum?

Bei linearem Wachstum kommt pro Schritt immer derselbe Betrag dazu, bei exponentiellem wird immer mit demselben Faktor multipliziert. Darum wächst eine Exponentialfunktion mit Basis über 1 auf lange Sicht schneller als jede lineare Funktion.

Exponentialfunktion und e-Funktion

Erklärung

x steht im Exponenten

Eigenschaften des Graphen

Startwert a und Basis b

Die e-Funktion

Verschieben, strecken, spiegeln

Funktionsgleichung aus zwei Punkten

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Wertetabelle und Graph

Beispiel 2Funktionsgleichung aus zwei Punkten

Beispiel 3Der Tee kühlt ab

Beispiel 4Bakterien im Labor

Übungen mit Lösungen

Trainer: Exponentialfunktion und e-Funktion

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Einordnung

Häufige Fragen

Asymptote

Hochzahl

Startwert

Kehrwert

Quadratische Funktion

Nullstelle

Wertemenge

Graph

Wachstumsfaktor

Potenz

Natürlicher Logarithmus

Funktionswert

Logarithmus

Tangente

Funktion

Gleichung

Reelle Zahlen

Funktionsgleichung