Logarithmus einfach erklärt

Der Logarithmus beantwortet die Frage: Mit welcher Hochzahl wird aus der Basis eine bestimmte Zahl? Er rechnet eine Potenz rückwärts, zum Beispiel ist $\log_2(8) = 3$, weil $2^3 = 8$. Damit löst du Gleichungen, bei denen die Unbekannte in der Hochzahl steht.

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3. Sek - 1. Jahr Gymnasium
Zyklus 3, Gymnasium
Lehrplan 21: MA.1.A.3.j

Zwei Jugendliche lernen zusammen an einem Tisch in einer Bibliothek, vor ihnen ein Taschenrechner und offene Hefte, draussen Altstadtdächer.

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Das musst du wissen

Erklärung

Der Logarithmus fragt nach der : Mit welcher Hochzahl wird aus der Basis eine bestimmte Zahl? $lo g_{2} (8) = 3$ , weil 2³=8. Am Schluss machst du immer die Probe mit der .

Die Frage hinter dem Logarithmus

Bei einer Potenz kennst du Basis und Hochzahl und suchst das Ergebnis: $2^{3} = ?$ . Beim Logarithmus kennst du Basis und Ergebnis und suchst die Hochzahl: $2^{?} = 8$ .

Die Antwort schreibst du so: $lo g_{2} (8) = 3$ . Du liest: «Logarithmus von 8 zur Basis 2 ist 3».

Merke $lo g_{b} (x)$ ist die Hochzahl, mit der aus der Basis b die Zahl x wird.

Graph von y = 2ˣ mit den Punkten (0 | 1), (1 | 2), (2 | 4) und (3 | 8): Um 8 zu erhalten, brauchst du die Hochzahl 3.

Zwei Schreibweisen für dieselbe Aussage

Jede Potenz kannst du als Logarithmus schreiben und umgekehrt:

b^{y} = x ⟺ lo g_{b} (x) = y

10³=1000 heisst $lo g_{10} (1000) = 3$ .
5²=25 heisst $lo g_{5} (25) = 2$ .
$2^{- 1} = \frac{1}{2}$ heisst $lo g_{2} (\frac{1}{2}) = - 1$ .

Die Basis steht beim Logarithmus klein unten, die Zahl in der Klammer heisst .

MerkeDie Basis bleibt die Basis. Hochzahl und Ergebnis tauschen den Platz.

Was erlaubt ist und was nicht

Die Basis b muss positiv und nicht 1 sein. Der Numerus x muss positiv sein, denn eine Potenz mit positiver Basis ist immer positiv.

Darum gibt es $lo g_{10} (0)$ und $lo g_{10} (- 100)$ nicht. Der Logarithmus selbst darf aber negativ sein: $lo g_{10} (0.01) = - 2$ , weil $1 0^{- 2} = 0.01$ .

Zwei Werte kennst du immer: $lo g_{b} (1) = 0$ und $lo g_{b} (b) = 1$ .

MerkeVom Numerus 0 und von gibt es keinen Logarithmus.

Der Zehnerlogarithmus

Am häufigsten ist die Basis 10. Man schreibt dann oft nur $lo g (x)$ oder $l g (x)$ . Er sagt dir, die wievielte eine Zahl ist: $lo g (1000) = 3$ und $lo g (0.001) = - 3$ .

Zahlen dazwischen haben krumme Logarithmen. 500 liegt zwischen 100 und 1000, also liegt $lo g (500)$ zwischen 2 und 3. Der Taschenrechner gibt $lo g (500) \approx 2.699$ .

Graph von y = log(x) zur Basis 10: Er geht durch (1 | 0), (10 | 1) und (100 | 2). Zwischen 10 und 100 liegen die Werte zwischen 1 und 2.

Logarithmen mit dem Taschenrechner

Der Taschenrechner hat meist zwei Tasten: log für die Basis 10 und ln für den . Jede andere Basis rechnest du so aus:

lo g_{b} (x) = \frac{lo g ( x )}{lo g ( b )}

Beispiel: $lo g_{2} (20) = \frac{lo g ( 20 )}{lo g ( 2 )} \approx \frac{1.3010}{0.3010} \approx 4.322$ . Probe: $2^{4.322} \approx 20$ .

MerkeLogarithmus zur Basis b = log vom Numerus geteilt durch log von b.

Exponentialgleichungen lösen

In einer Exponentialgleichung steht die Unbekannte in der Hochzahl, zum Beispiel $3^{x} = 20$ . Genau hier hilft der Logarithmus. Logarithmieren heisst: Du nimmst auf beiden Seiten den Logarithmus.

3^{x} = 20 ⟹ x = lo g_{3} (20) = \frac{lo g ( 20 )}{lo g ( 3 )} \approx 2.727

Steht vor der Potenz noch ein Faktor, teilst du zuerst durch ihn: Aus $5 \cdot 2^{x} = 40$ wird $2^{x} = 8$ , also x=3.

MerkeErst die Potenz allein auf eine Seite bringen, dann logarithmieren.

Logarithmus: Merkblatt mit Formel und Beispiel. b^y = x _b(x) = y. b(x) ist die Hochzahl, mit der aus der Basis b die Zahl x wird. Beispiel: 3(81) = 4, weil 3^4 = 81. Dazu 10(0.0001) = -4 und 2≤ft(1/8) = -3. — Merkblatt Logarithmus: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕ $lo g_{2} (8) = 4$ , weil 8:2=4.
✓Der Logarithmus fragt nach der Hochzahl, nicht nach einer Division: $lo g_{2} (8) = 3$ , weil 2³=8.
✕ $lo g_{8} (2) = 3$ , weil 2³=8.
✓Die Basis steht unten. $lo g_{8} (2)$ fragt: $8^{?} = 2$ . Die Antwort ist 13, weil $8^{\frac{1}{3}} = 38 = 2$ .
✕ $lo g_{10} (- 1000) = - 3$
✓Von negativen Zahlen gibt es keinen Logarithmus, denn $1 0^{y}$ ist nie negativ. Negativ wird der Logarithmus bei Zahlen zwischen 0 und 1: $lo g_{10} (0.001) = - 3$ .
✕Aus $5 \cdot 2^{x} = 40$ folgt $1 0^{x} = 40$ .
✓Die Potenz bindet stärker als das Mal. Teile zuerst durch 5: $2^{x} = 8$ , also x=3.

Begriffe zum Nachschlagen

Logarithmus: Die Hochzahl, mit der aus der Basis eine bestimmte Zahl wird: $lo g_{2} (8) = 3$ , weil 2³=8.
Basis: Die Zahl, die potenziert wird. Beim Logarithmus steht sie klein unten: In $lo g_{2} (8)$ ist 2 die Basis.
Numerus: Die Zahl, von der du den Logarithmus nimmst. In $lo g_{2} (8)$ ist 8 der Numerus. Er muss positiv sein.
Zehnerlogarithmus: Der Logarithmus zur Basis 10, geschrieben $lo g (x)$ oder $l g (x)$ . Auf dem Taschenrechner die Taste log.
Natürlicher Logarithmus: Der Logarithmus zur Basis e≈2.718, geschrieben $ln (x)$ . Auf dem Taschenrechner die Taste ln.
Exponentialgleichung: Eine Gleichung, bei der die Unbekannte in der Hochzahl steht, zum Beispiel $3^{x} = 20$ .

Noch unsicher? Zuerst lernen:Potenzen und Potenzgesetze

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Logarithmen ohne Taschenrechner

Berechne ohne Taschenrechner: $lo g_{3} (81)$ , $lo g_{10} (0.0001)$ und $lo g_{2} (\frac{1}{8})$ .

Graph von y = log₃(x): Er geht durch (1 | 0), (9 | 2) und (81 | 4), weil 3 hoch 4 gleich 81 ist.

Lösung Schritt für Schritt

Frage dich bei jedem Logarithmus: Mit welcher Hochzahl wird aus der Basis die Zahl?
Bei ganzen Hochzahlen hilft Zählen: Multipliziere 3 so lange mit sich selbst, bis 81 herauskommt. $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{4} = 81 \Rightarrow lo g_{3} (81) = 4$
0.0001 ist ein Zehntausendstel. Kleine Zahlen haben negative Hochzahlen. $0.0001 = \frac{1}{1 0 ^{4}} = 1 0^{- 4} \Rightarrow lo g_{10} (0.0001) = - 4$
Ein Bruch mit 1 im Zähler ist eine Potenz mit negativer Hochzahl. $\frac{1}{8} = \frac{1}{2 ^{3}} = 2^{- 3} \Rightarrow lo g_{2} (\frac{1}{8}) = - 3$

$lo g_{3} (81) = 4$ , weil 3⁴=81. Dazu $lo g_{10} (0.0001) = - 4$ und $lo g_{2} (\frac{1}{8}) = - 3$ .

Beispiel 2Zwischen Potenz und Logarithmus wechseln

Löse die beiden : (a) $4^{x} = 64$ und (b) $lo g_{5} (x) = 3$ .

Lösung Schritt für Schritt

(a) Schreibe die Potenzgleichung als Logarithmus. $4^{x} = 64 ⟺ x = lo g_{4} (64)$
Es ist 4·4·4=64.x=3
(b) Schreibe den Logarithmus als Potenz: Die Basis 5 hoch das Ergebnis 3 gibt den Numerus. $lo g_{5} (x) = 3 ⟺ x = 5^{3}$
Rechne die Potenz aus.x=5·5·5=125

(a) x=3, weil 4³=64. (b) x=5³=125.

Beispiel 3Wann hat das Video 64'000 Aufrufe?

Ein Jugendlicher springt mit dem Skateboard in einem Skatepark am See, sein Freund filmt ihn mit dem Handy.

Noah aus Luzern lädt ein Video von seinem Skateboard-Trick hoch. Am ersten Abend hat es 500 Aufrufe. Danach verdoppeln sich die Aufrufe jeden Tag. Nach wie vielen Tagen sind es 64'000 Aufrufe?

Lösung Schritt für Schritt

Jeden Tag wird mit 2 multipliziert. Nach t Tagen sind es $500 \cdot 2^{t}$ Aufrufe. $500 \cdot 2^{t} = 64000$
Bring die Potenz allein auf eine Seite: Teile durch 500. $2^{t} = 128$
Logarithmiere. Ohne Taschenrechner siehst du: 2⁷=128. $t = lo g_{2} (128) = 7$
Probe: 500·2⁷=500·128=64000.

Aus $2^{t} = 128$ folgt $t = lo g_{2} (128) = 7$ . Nach 7 Tagen hat das Video 64'000 Aufrufe.

Beispiel 4Wann ist das E-Bike weniger als 1'000 Franken wert?

Eine Mutter und ihre Tochter stehen mit einem neuen E-Bike vor einem Haus in den Bergen.

Familie Brunner in Chur kauft ein E-Bike für 3'750 Fr. Es verliert jedes Jahr 20 % seines Werts. Nach wie vielen Jahren ist es zum ersten Mal weniger als 1'000 Fr. wert?

Lösung Schritt für Schritt

Nach einem Jahr sind noch 80 % übrig. Jedes Jahr wird also mit 0.8 multipliziert. $3750 \cdot 0. 8^{t} = 1000$
Teile durch 3750 und kürze. $0. 8^{t} = \frac{1000}{3750} = \frac{4}{15}$
Logarithmiere und rechne mit der Taste log. $t = lo g_{0.8} (\frac{4}{15}) = \frac{lo g ( 4 : 15 )}{lo g ( 0.8 )} \approx \frac{- 0.5740}{- 0.0969} \approx 5.92$
Der Wert sinkt jedes Jahr nur einmal. Probe mit ganzen Jahren:3750·0.8⁵=1228.80 3750·0.8⁶=983.04

Aus $0. 8^{t} = \frac{4}{15}$ folgt t≈5.92. Nach 5 Jahren ist das E-Bike noch 1'228.80 Fr. wert, nach 6 Jahren 983.04 Fr. Nach 6 Jahren ist es also zum ersten Mal weniger als 1'000 Fr. wert.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Berechne $lo g_{2} (16)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $lo g_{2} (16) = 4$ , weil 2⁴=16
Graph von y = log₂(x): Bei x = 16 ist der Wert 4, weil 2 hoch 4 gleich 16 ist.
1. Frage: $2^{?} = 16$ .
2. 2·2·2·2=16, das sind vier Faktoren.
3. Also ist $lo g_{2} (16) = 4$ .
2
Berechne $lo g_{10} (10000)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 4, weil 10⁴=10000
1. Frage: $1 0^{?} = 10000$ .
2. 10'000 hat vier Nullen, also ist 10⁴=10000.
3. $lo g_{10} (10000) = 4$
3
Berechne $lo g_{5} (25)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $lo g_{5} (25) = 2$ , weil 5²=25
Graph von y = log₅(x): Er geht durch (5 | 1) und (25 | 2). Bei x = 25 ist der Wert 2.
1. Frage: $5^{?} = 25$ .
2. 5·5=25
3. Also ist $lo g_{5} (25) = 2$ .
4
Berechne $lo g_{3} (1)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $lo g_{3} (1) = 0$ , weil 3⁰=1
Graph von y = log₃(x): Er schneidet die x-Achse bei (1 | 0). Der Logarithmus von 1 ist 0.
1. Frage: $3^{?} = 1$ .
2. Jede Zahl ausser 0 hoch 0 gibt 1, also 3⁰=1.
3. $lo g_{3} (1) = 0$
5
Schreibe 2⁶=64 als Logarithmus.
Lösung zeigen
Ergebnis: $lo g_{2} (64) = 6$
1. Die Basis 2 bleibt unten beim log.
2. Das Ergebnis 64 kommt in die Klammer, die Hochzahl 6 auf die andere Seite.
3. $lo g_{2} (64) = 6$

6
Berechne $lo g_{2} (\frac{1}{4})$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: −2, weil $2^{- 2} = \frac{1}{4}$
1. 14=12²
2. $\frac{1}{2 ^{2}} = 2^{- 2}$
3. Also ist $lo g_{2} (\frac{1}{4}) = - 2$ .
7
Berechne $lo g (0.01)$ . Gemeint ist der Zehnerlogarithmus.
Lösung zeigen
Ergebnis: −2, weil $1 0^{- 2} = 0.01$
1. 0.01=1100=110²
2. $\frac{1}{1 0 ^{2}} = 1 0^{- 2}$
3. $lo g (0.01) = - 2$
8
Löse $lo g_{4} (x) = 3$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: x=4³=64
1. Schreibe als Potenz: x=4³.
2. 4·4·4=64
9
Löse $3^{x} = 50$ mit dem Taschenrechner auf drei Stellen nach dem Punkt.
Lösung zeigen
Ergebnis: x≈3.561, also zwischen 3 und 4, denn 3³=27 und 3⁴=81
1. $x = lo g_{3} (50) = \frac{lo g ( 50 )}{lo g ( 3 )}$
2. 1.69900.4771≈3.561
3. Kontrolle: 50 liegt zwischen 3³=27 und 3⁴=81, also muss x zwischen 3 und 4 liegen.
10
Berechne $lo g_{8} (2)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 13, weil $8^{\frac{1}{3}} = 38 = 2$
1. Frage: $8^{?} = 2$ .
2. Die dritte Wurzel aus 8 ist 2, und $38 = 8^{\frac{1}{3}}$ .
3. Also ist $lo g_{8} (2) = \frac{1}{3}$ .

11
Löse $4 \cdot 3^{x} = 100$ mit dem Taschenrechner auf drei Stellen nach dem Punkt.
Lösung zeigen
Ergebnis: $3^{x} = 25$ , also x≈2.930
1. Teile durch 4: $3^{x} = 25$ .
2. Logarithmiere: $x = \frac{lo g ( 25 )}{lo g ( 3 )} \approx \frac{1.3979}{0.4771} \approx 2.930$ .
3. Kontrolle: 25 liegt knapp unter 3³=27, also liegt x knapp unter 3.
12
Berechne $lo g_{2} (lo g_{3} (81))$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $lo g_{3} (81) = 4$ , dann $lo g_{2} (4) = 2$
1. Innen zuerst: $lo g_{3} (81) = 4$ , weil 3⁴=81.
2. Dann aussen: $lo g_{2} (4) = 2$ , weil 2²=4.
13
Löse $1 0^{x - 1} = 1000$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: x−1=3, also x=4
1. Logarithmiere mit Basis 10: $x - 1 = lo g (1000) = 3$ .
2. Addiere 1: x=4.
3. Probe: $1 0^{4 - 1} = 1 0^{3} = 1000$ .
14
Im Blut von Mia sind 400 mg eines Medikaments. Alle 6 Stunden halbiert sich die Menge. Nach wie vielen Stunden sind es noch 25 mg?
Lösung zeigen
Ergebnis: Nach 24 Stunden
1. Nach n Halbierungen: $400 \cdot (\frac{1}{2})^{n} = 25$ .
2. Teile durch 400: $(\frac{1}{2})^{n} = \frac{1}{16}$ , also n=4.
3. Vier Halbierungen zu je 6 Stunden: 4·6=24 Stunden.
15
Ab welcher ganzen Hochzahl n ist $2^{n}$ zum ersten Mal grösser als eine Million?
Lösung zeigen
Ergebnis: n=20, denn 2²⁰=1'048'576
1. Löse $2^{n} = 1000000$ : $n = \frac{lo g ( 1000000 )}{lo g ( 2 )} = \frac{6}{0.3010} \approx 19.93$ .
2. n muss ganz sein, also n=20.
3. Kontrolle: 2²⁰=1024·1024=1'048'576, und 2¹⁹=524'288 ist noch zu klein.

Hängst du beim Logarithmus oder bei Exponentialgleichungen fest? Eine Lehrperson erklärt dir den Stoff an deinen eigenen Aufgaben aus der Sek oder dem Gymnasium. Mathematik-Nachhilfe für Sek und Gymnasium

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Berechne log₂(64).

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Nächstes ThemaLogarithmusgesetzeDie Logarithmusgesetze sind die Rechenregeln für Logarithmen: Ein Produkt im Logarithmus wird zu einer Summe, ein Quotient zu einer Differenz und eine Potenz zu einem Faktor. Mit dem Basiswechsel rechnest du jeden Logarithmus mit ln oder log aus.1. Jahr Gymnasium

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 3. Sek - 1. Jahr Gymnasium
Stufe: Zyklus 3, Gymnasium
Fach: Mathematik

Im höheren Niveau der 3. Sek manchmal als Ausblick beim exponentiellen Wachstum, sonst am Gymnasium, je nach Schule im 1. oder 2. Jahr, direkt nach den Potenzen mit rationalen Hochzahlen.

MA.1.A.3.jBei einer Potenz die fehlende Hochzahl bestimmen, also eine Potenz rückwärts rechnen, im Kopf und mit der Taste log auf dem Taschenrechner.
MA.1.A.1.jPotenzen und Zehnerpotenzen sicher lesen und schreiben, denn jeder Logarithmus ist die Hochzahl einer Potenz.
MA.3.A.1.nBei exponentiellem Wachstum ausrechnen, nach wie vielen Schritten ein bestimmter Wert erreicht ist.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernt man den Logarithmus?

Am Gymnasium, je nach Schule im 1. oder 2. Jahr, direkt nach den Potenzen. Im höheren Niveau der 3. Sek kommt er manchmal als Ausblick beim exponentiellen Wachstum vor.

Was ist der Unterschied zwischen log und ln?

Beide sind Logarithmen, nur mit verschiedener Basis. log meint meist die Basis 10, ln die Basis e≈2.718. Für Exponentialgleichungen kannst du beide Tasten brauchen, solange du oben und unten dieselbe nimmst.

Warum gibt es keinen Logarithmus von 0 oder von negativen Zahlen?

Der Logarithmus sucht eine Hochzahl y mit $b^{y} = x$ . Eine positive Basis hoch irgendeine Zahl gibt immer eine positive Zahl. Darum gibt es kein y, das 0 oder eine negative Zahl ergibt.

Wozu braucht man den Logarithmus?

Immer dann, wenn die Unbekannte in der Hochzahl steht: bei Zinseszins, Wachstum, Zerfall oder der Halbwertszeit. Auch die Erdbeben-Skala und der pH-Wert in der Chemie rechnen mit dem Zehnerlogarithmus.