Potenzfunktionen

Bei einer Potenzfunktion steht x in der Basis und eine feste Zahl in der Hochzahl, etwa f(x) = x³ oder f(x) = x⁻². Die Hochzahl entscheidet über Form und Symmetrie des Graphen.

Jetzt üben Zum Ausdrucken

1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Zwei Jugendliche stehen an einem sonnigen Tag vor einem Springbrunnen, dessen Wasserstrahlen in hohen Bögen fallen.

Zum Ausdrucken

Das musst du wissen

Erklärung

Eine Potenzfunktion hat die Form $f (x) = a \cdot x^{n}$ : x steht in der Basis, die n ist fest. Ob n gerade, ungerade oder negativ ist, bestimmt die Form des . Am Schluss liest du am ab, wie der Graph aussieht.

Was ist eine Potenzfunktion?

Bei einer Potenzfunktion ist die Hochzahl fest und x wird potenziert: f(x)=x², f(x)=x³, $f (x) = x^{- 1}$ . Die Zahl a davor ist ebenfalls fest.

Bei $f (x) = 2^{x}$ ist es umgekehrt: Dort steht x in der Hochzahl. Das ist eine , keine Potenzfunktion.

f(x)=3x⁴: f(2)=3·2⁴=3·16=48

MerkePotenzfunktion: x unten, Zahl oben. Exponentialfunktion: Zahl unten, x oben.

Gerade Hochzahl: Parabeln

Bei f(x)=x², x⁴, x⁶ … ist die Hochzahl gerade. Dann gilt $(- x)^{n} = x^{n}$ , also f(−x)=f(x). Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse und liegt nie unter der x-Achse.

Alle diese Graphen gehen durch (−1|1), (0|0) und (1|1). Je grösser n, desto flacher verläuft der Graph zwischen −1 und 1 und desto steiler ausserhalb.

MerkeGerade Hochzahl: symmetrisch zur y-Achse, beide Äste nach oben.

Graphen von f(x) = x² und g(x) = x⁴. Beide gehen durch (−1 | 1), (0 | 0) und (1 | 1); zwischen −1 und 1 liegt x⁴ unter x², ausserhalb darüber.

Positive ungerade Hochzahl: von links unten nach rechts oben

Bei f(x)=x³, x⁵ … ist die Hochzahl positiv und ungerade. Dann gilt $(- x)^{n} = - x^{n}$ , also f(−x)=−f(x). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung: Drehst du ihn um eine halbe Drehung um (0|0), liegt er wieder genau auf sich.

Alle diese Graphen gehen durch (−1|−1), (0|0) und (1|1). Sie steigen überall: Links unten beginnen sie, rechts oben enden sie.

MerkePositive ungerade Hochzahl: punktsymmetrisch zum Ursprung, von links unten nach rechts oben.

Graphen von f(x) = x³ und g(x) = x⁵. Beide gehen durch (−1 | −1), (0 | 0) und (1 | 1) und sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

Negative Hochzahl: Hyperbeln

Eine negative Hochzahl bedeutet : $x^{- 1} = \frac{1}{x}$ und $x^{- 2} = \frac{1}{x ^{2}}$ . Die 0 fehlt darum in der .

Die Graphen heissen . Ihre zwei Äste nähern sich beiden Achsen, ohne sie zu berühren.

Bei $x^{- 1}$ liegen die Äste im 1. und 3. . Bei $x^{- 2}$ liegen beide über der x-Achse, symmetrisch zur y-Achse.

MerkeNegative Hochzahl: Kehrwert. Die 0 darfst du nicht einsetzen.

Hyperbeln von f(x) = 1/x und g(x) = 1/x². f hat Äste im 1. und 3. Quadranten, g hat beide Äste über der x-Achse.

Der Faktor a

Bei $f (x) = a \cdot x^{n}$ werden alle y-Werte mit a multipliziert. Ist a grösser als 1, wird der Graph in y-Richtung gestreckt. Liegt a zwischen 0 und 1, wird er gestaucht. Ist a negativ, wird er zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.

Der Graph geht immer durch (1|a), denn $1^{n} = 1$ . Kennst du einen Punkt, findest du a durch Einsetzen.

Merkea streckt, staucht oder spiegelt. Der Punkt (1 | a) liegt immer auf dem Graphen.

Hochzahl ½: die Wurzelfunktion

Auch Brüche als Hochzahl sind möglich: $x^{\frac{1}{2}} = x$ . Weil du aus keine ziehen kannst, ist die Definitionsmenge x≥0.

Der Graph von $x$ ist der rechte Ast der , gespiegelt an der Geraden y=x. Er geht durch (0|0), (1|1) und (4|2).

Merkex hoch ½ ist die Quadratwurzel. Nur für x ≥ 0.

Potenzfunktionen: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Potenzfunktion: x unten, Zahl oben. Exponentialfunktion: Zahl unten, x oben. Gerade Hochzahl: symmetrisch zur y-Achse, beide Äste nach oben. Beispiel: f(-2) = -16. Der Punkt (-2 | -16) liegt auf dem Graphen. — Merkblatt Potenzfunktionen: Regel und Beispiel Schritt für Schritt.

Häufige Fehler

✕ $f (x) = 2^{x}$ ist eine Potenzfunktion.
✓Bei $2^{x}$ steht x in der Hochzahl. Das ist eine Exponentialfunktion. Eine Potenzfunktion ist zum Beispiel f(x)=x².
✕ $x^{- 2} = - x^{2}$
✓Die negative Hochzahl bedeutet Kehrwert, nicht Minus: $x^{- 2} = \frac{1}{x ^{2}}$ . Zum Beispiel ist $2^{- 2} = \frac{1}{4}$ .
✕f(x)=x⁴ geht durch (−1|−1).
✓(−1)⁴=1, weil die Hochzahl gerade ist. Der Graph geht durch (−1|1).
✕f(x)=(2x)³ ist dasselbe wie 2x³.
✓Die Hochzahl gilt für die ganze Klammer: (2x)³=2³·x³=8x³. Hier ist also a=8.

Begriffe zum Nachschlagen

Potenzfunktion: Eine Funktion $f (x) = a \cdot x^{n}$ mit fester Hochzahl n, zum Beispiel x³ oder 1x.
Hochzahl: Die Zahl oben rechts bei einer Potenz, auch Exponent genannt. Bei x³ ist sie 3.
Parabel: Der Graph von x² und ähnlicher Funktionen mit gerader Hochzahl: eine U-förmige Kurve.
Hyperbel: Der Graph einer Potenzfunktion mit negativer Hochzahl, etwa 1x. Er hat zwei Äste und berührt die Achsen nie.
Asymptote: Eine Gerade, der sich ein Graph immer mehr nähert, ohne sie zu erreichen. Bei 1x sind es die beiden Achsen.
Definitionsmenge: Alle x-Werte, die du einsetzen darfst. Bei 1x sind das alle Zahlen ausser 0.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Potenzen und Potenzgesetze Funktionen, Wertetabellen und Graphen Quadratische Funktionen und Parabeln

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Funktionswert berechnen

Gegeben ist f(x)=2x³. Berechne f(−2).

Graph von f(x) = 2x³ mit dem Punkt (−2 | −16).

Lösung Schritt für Schritt

Setze −2 für x ein. Zuerst die , dann mal 2:f(−2)=2·(−2)³
Die Hochzahl 3 ist ungerade, also bleibt das Minus:(−2)³=−8
Mal 2:2·(−8)=−16

f(−2)=−16. Der Punkt (−2|−16) liegt auf dem Graphen.

Beispiel 2Den Faktor a aus einem Punkt bestimmen

Der Graph von f(x)=a·x⁴ geht durch P(2|−8). Bestimme a.

Graph von f(x) = −½x⁴: nach unten offen, durch den Punkt (2 | −8).

Lösung Schritt für Schritt

Setze die Koordinaten von P ein:−8=a·2⁴
Rechne die Potenz aus:−8=a·16
Teile durch 16:a=−816=−12
a ist negativ: Die ist an der x-Achse gespiegelt und nach unten offen.

a=−12, also f(x)=−12x⁴.

Beispiel 3Negative Hochzahl

Gegeben ist $f (x) = x^{- 2}$ . Berechne $f (\frac{1}{2})$ und gib die Definitionsmenge an.

Hyperbel von f(x) = 1/x² mit dem Punkt (0.5 | 4); beide Äste liegen über der x-Achse.

Lösung Schritt für Schritt

Schreibe die negative Hochzahl als Kehrwert:f(x)=1x²
Setze 12 ein: $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{( \frac{1}{2} ) ^{2}} = \frac{1}{\frac{1}{4}}$
Durch 14 teilen heisst mal 4: $\frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$
Für x=0 wäre der Nenner 0. Alle anderen Zahlen darfst du einsetzen.

$f (\frac{1}{2}) = 4$ . Definitionsmenge: alle ausser 0.

Beispiel 4Ein Stein fällt von der Brücke

Ein Junge lehnt sich über die Mauer einer Steinbrücke und lässt einen Stein in den Fluss fallen, ein Mädchen schaut zu.

Jonas lässt in Bern einen Stein von einer Brücke in die Aare fallen. Ohne Luftwiderstand ist der Stein nach t Sekunden etwa s(t)=4.9 t² Meter gefallen. Wie weit ist er nach 2 Sekunden gefallen? Wie ändert sich der Weg, wenn die Zeit doppelt so lang ist?

Fallweg s(t) = 4.9t²: nach 1 Sekunde 4.9 m, nach 2 Sekunden 19.6 m, also viermal so viel.

Lösung Schritt für Schritt

s(t)=4.9 t² ist eine Potenzfunktion mit a=4.9 und n=2. Setze t=2 ein:s(2)=4.9·2²=4.9·4=19.6
Doppelte Zeit heisst 2t statt t:s(2t)=4.9·(2t)²=4·4.9 t²=4·s(t)
Kontrolle: Vergleiche t=1 mit der doppelten Zeit t=2:s(1)=4.9 s(2)=19.6=4·4.9

Nach 2 Sekunden ist der Stein etwa 19.6 m gefallen. Bei doppelter Zeit fällt er viermal so weit.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
f(x)=x³. Berechne f(−2).
Lösung zeigen
Ergebnis: f(−2)=−8
Graph von f(x) = x³ mit dem Punkt (−2 | −8).
1. Einsetzen: f(−2)=(−2)³
2. (−2)·(−2)·(−2)=−8
3. Ungerade Hochzahl: Das Minus bleibt.
2
f(x)=x⁴. Berechne f(2).
Lösung zeigen
Ergebnis: f(2)=16
Graph von f(x) = x⁴ mit den Punkten (2 | 16) und (−2 | 16), symmetrisch zur y-Achse.
1. Einsetzen: f(2)=2⁴
2. 2·2·2·2=16
3
$f (x) = x^{- 1}$ . Berechne f(4).
Lösung zeigen
Ergebnis: f(4)=14
Hyperbel von f(x) = 1/x mit dem Punkt (4 | 0.25).
1. Negative Hochzahl heisst Kehrwert: $x^{- 1} = \frac{1}{x}$
2. f(4)=14
4
f(x)=3x². Berechne f(−2).
Lösung zeigen
Ergebnis: f(−2)=12
Parabel von f(x) = 3x² mit dem Punkt (−2 | 12).
1. Zuerst die Potenz: (−2)²=4
2. Dann mal 3: 3·4=12
5
Ist der Graph von f(x)=x⁵ symmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung? Begründe mit der Hochzahl und prüfe mit f(−1) und f(1).
Lösung zeigen
Ergebnis: Punktsymmetrisch zum Ursprung, denn die Hochzahl 5 ist ungerade. Probe: f(−1)=−1=−f(1).
1. Die Hochzahl 5 ist ungerade, also gilt (−x)⁵=−x⁵ und damit f(−x)=−f(x) für jedes x.
2. Das heisst: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
3. Probe: f(−1)=(−1)⁵=−1 und f(1)=1, also f(−1)=−f(1).

6
f(x)=−12x³. Berechne f(4).
Lösung zeigen
Ergebnis: f(4)=−32
1. Potenz: 4³=64
2. Mal −12: −12·64=−32
7
Der Graph von f(x)=a·x² geht durch P(3|18). Bestimme a.
Lösung zeigen
Ergebnis: a=2
1. Einsetzen: 18=a·3²=9a
2. Durch 9 teilen: a=2
3. Also f(x)=2x².
8
$f (x) = x^{- 2}$ . Berechne $f (\frac{1}{3})$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $f (\frac{1}{3}) = 9$
1. f(x)=1x²
2. $(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$
3. $\frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$
9
Für welches x gilt x³=−27?
Lösung zeigen
Ergebnis: x=−3, denn (−3)³=−27.
1. Gesucht ist die Zahl, die hoch 3 genau −27 gibt.
2. 3³=27, und bei ungerader Hochzahl bleibt das Minus.
3. Probe: (−3)³=−27. Es gibt nur diese eine Lösung.
10
Ein Holzwürfel aus einer Schreinerei in Brienz hat das Volumen V(s)=s³. Seine Kante wird verdoppelt. Wie viel Mal grösser wird das Volumen?
Lösung zeigen
Ergebnis: 8-mal so gross
1. Neue Kante: 2s
2. V(2s)=(2s)³=2³·s³=8s³
3. Das Volumen wird 8-mal so gross.

11
Der Graph von $f (x) = a \cdot x^{n}$ geht durch (1|3) und (2|24). Bestimme a und n.
Lösung zeigen
Ergebnis: a=3 und n=3, denn $2^{n} = 8$ .
1. Aus (1|3): $a \cdot 1^{n} = a = 3$
2. Aus (2|24): $3 \cdot 2^{n} = 24$ , also $2^{n} = 8$
3. 2³=8, also n=3 und f(x)=3x³.
12
Die Helligkeit einer Lampe nimmt mit dem Abstand d (in m) ab wie H(d)=cd². Leonie liest 2 m von der Lampe entfernt, dort misst sie die Helligkeit 36. Dann setzt sie sich 3 m weg. Bestimme zuerst c und dann die Helligkeit bei 3 m.
Lösung zeigen
Ergebnis: c=144 und H(3)=16
1. Aus H(2)=36: c2²=36, also c=36·4=144
2. H(3)=1443²=1449=16
3. Probe: 1444=36 stimmt.
13
Löse $x^{- 2} = 4$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: x²=14, also x=12 oder x=−12.
1. 1x²=4, also x²=14
2. Gerade Hochzahl: Es gibt zwei Lösungen.
3. x=12 oder x=−12
14
$f (x) = 3 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ . Für welches x ist f(x)=21?
Lösung zeigen
Ergebnis: x=49
1. Durch 3 teilen: $x^{\frac{1}{2}} = x = 7$
2. Quadrieren: x=7²=49
3. Probe: $3 \cdot 49 = 3 \cdot 7 = 21$
15
Für welche positiven x liegt der Graph von x⁴ unter dem Graphen von x²? Prüfe deine Antwort mit x=12.
Lösung zeigen
Ergebnis: Für 0<x<1. Bei x=12 ist x⁴=116 kleiner als x²=14.
1. Beide Graphen schneiden sich bei x=1, denn 1⁴=1²=1.
2. Für 0<x<1 wird eine Zahl beim Malnehmen mit sich selbst kleiner, also ist x⁴<x².
3. Probe: $(\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{16} < \frac{1}{4}$ . Für x>1 ist es umgekehrt.

Verwechselst du noch Kehrwert und Minus bei negativen Hochzahlen, übt eine Lehrperson die Potenzgesetze und Graphen mit dir an eigenen Aufgaben. Mathematik-Nachhilfe für das Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Potenzfunktionen

So funktioniert der Trainer

Neue Fragen zu Potenzfunktionen mit Erklärung nach jeder Antwort. Stufe 1 übt Einsetzen und Erkennen, Stufe 2 Graphen und Symmetrie, Stufe 3 negative Hochzahlen und Parameter bestimmen.

f(x) = 2x⁴. Was ist f(1)?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

Für dein Heft

Zum Ausdrucken

Nimm ein fertiges Paket oder stell selbst zusammen, was du brauchst. Alles als PDF, gratis und ohne Anmeldung.

ArbeitsblattArbeitsblatt mit LösungsblattLernpaket komplettTheorie, Beispiele, Übungen, Arbeitsblatt und alle LösungenSelbst zusammenstellenTeile unten an- und abwählen

Teile im PDFTheorieblattErklärung, Merksätze, Bilder und häufige FehlerBeispieleAufgaben Schritt für Schritt vorgerechnetÜbungenIn drei Stufen, mit Platz zum RechnenArbeitsblattZum Ausfüllen, mit Name und Datum

Lösungen beilegen Lösungsblätter am Schluss

PDF herunterladenDarf für den Unterricht kopiert werden.

Geschafft? So geht es weiter

Weiter lernen

Nächstes ThemaPolynomfunktionenEin Polynom ist eine Summe von Potenzen von x mit Zahlen davor, etwa 2x³ − 5x + 1. Du bestimmst Grad, Leitkoeffizient und Nullstellen und liest daraus ab, wie der Graph der Polynomfunktion verläuft.1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium

Mehr zu Proportionalität und Funktionen

Umkehrfunktion1. Jahr Gymnasium
Gebrochenrationale Funktionen2. Jahr Gymnasium
Proportionalität und Dreisatz5. Klasse - 1. Sek
Umgekehrte Proportionalität1. Sek

Noch nicht sicher? Übe das Thema als Spiel mit Fox.

Jetzt üben

Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Meist im 1. oder 2. Jahr am Gymnasium, nach den quadratischen Funktionen und vor den Polynomfunktionen. Die Potenzgesetze aus der Sek brauchst du dafür ständig.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist eine Potenzfunktion?

Eine Funktion der Form f(x) = a · xⁿ, bei der x in der Basis steht und die Hochzahl n fest ist. Beispiele sind x², x³, 1/x oder √x. Steht x dagegen in der Hochzahl, wie bei 2ˣ, ist es eine Exponentialfunktion.

Was ist der Unterschied zwischen gerader und ungerader Hochzahl?

Bei gerader Hochzahl ist der Graph symmetrisch zur y-Achse, beide Äste zeigen in dieselbe Richtung. Bei positiver ungerader Hochzahl ist er punktsymmetrisch zum Ursprung und verläuft bei positivem a von links unten nach rechts oben. Negative Hochzahlen wie bei 1/x geben Hyperbeln.

Wie sieht eine Potenzfunktion mit negativem Exponenten aus?

Ihr Graph ist eine Hyperbel mit zwei Ästen, denn x⁻ⁿ = 1/xⁿ. Die Stelle x = 0 fehlt, und die Äste nähern sich beiden Achsen, ohne sie zu berühren.

Wann kommen Potenzfunktionen am Gymnasium?

Meist im 1. oder 2. Jahr, nach den quadratischen Funktionen. Das hängt von der Schule und vom Schwerpunktfach ab. Danach folgen Polynomfunktionen und Exponentialfunktionen.

Potenzfunktionen

Erklärung

Was ist eine Potenzfunktion?

Gerade Hochzahl: Parabeln

Positive ungerade Hochzahl: von links unten nach rechts oben

Negative Hochzahl: Hyperbeln

Der Faktor a

Hochzahl ½: die Wurzelfunktion

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Funktionswert berechnen

Beispiel 2Den Faktor a aus einem Punkt bestimmen

Beispiel 3Negative Hochzahl

Beispiel 4Ein Stein fällt von der Brücke

Übungen mit Lösungen

Trainer: Potenzfunktionen

Zum Ausdrucken

Weiter lernen

Einordnung

Häufige Fragen

Hochzahl

Graph

Term

Exponentialfunktion

Definitionsmenge

Kehrwert

Quadrant

Hyperbel

Negative Zahl

Normalparabel

Quadratwurzel

Potenz

Parabel

Reelle Zahlen