Strahlensatz

Zwei Strahlen aus einem Punkt Z werden von zwei Parallelen geschnitten. Die Strahlensätze sagen, dass die Strecken dabei im gleichen Verhältnis stehen, und damit berechnest du fehlende Längen.

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3. Sek
Zyklus 3
Lehrplan 21: MA.2.A.3.k

Zwei Jugendliche auf einer Wiese vor einer hohen Tanne: Eine hält einen geraden Stock senkrecht, der andere rollt ein Messband zur Tanne hin aus.

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Das musst du wissen

Erklärung

Zwei Strahlen aus einem Punkt Z werden von zwei parallelen Geraden geschnitten. Dann stehen die passenden Strecken im gleichen Verhältnis. Du stellst eine mit zwei Brüchen auf und rechnest die fehlende Länge aus.

Die Strahlensatz-Figur

Vom Punkt Z gehen zwei Strahlen aus. Auf dem einen liegen die Punkte A und A', auf dem anderen B und B'. Die Strecken AB und A'B' sind parallel.

Diese Form heisst V-Figur. Z ist der gemeinsame Anfangspunkt, man nennt ihn auch Zentrum. Ohne Parallelen gilt kein Strahlensatz.

Der erste Strahlensatz

Der erste Strahlensatz vergleicht die Strecken auf den beiden Strahlen, immer von Z aus gemessen:

\frac{Z A}{Z A ^{'}} = \frac{Z B}{Z B ^{'}}

Dasselbe gilt mit den Abschnitten zwischen den Parallelen: $\frac{Z A}{A A ^{'}} = \frac{Z B}{B B ^{'}}$ .

Beispiel: Ist ZA' doppelt so lang wie ZA, ist auch ZB' doppelt so lang wie ZB.

MerkeErster Strahlensatz: Die Strecken auf dem einen Strahl stehen im gleichen Verhältnis wie die passenden Strecken auf dem anderen Strahl.

Der zweite Strahlensatz

Der zweite Strahlensatz verbindet die Parallelen mit einem Strahl:

\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{Z A}{Z A ^{'}}

Wichtig: Auf dem Strahl misst du hier immer ab Z, also ZA und ZA'. Mit dem Abschnitt AA' geht es beim zweiten Strahlensatz nicht.

Statt ZA und ZA' darfst du auch die senkrechten Abstände von Z zu den beiden Parallelen nehmen. Das brauchst du beim Peilen, etwa vom Auge zum Turm.

MerkeZweiter Strahlensatz: Die Parallelen stehen im gleichen Verhältnis wie die Strecken ab Z auf einem Strahl.

Warum es stimmt: der Streckfaktor

Das kleine Dreieck ZAB und das grosse Dreieck ZA'B' haben dieselben Winkel. Das grosse ist eine Vergrösserung des kleinen, mit Z als festem Punkt.

Jede Länge wird dabei mit demselben k multipliziert:

k = \frac{Z A ^{'}}{Z A}, Z B^{'} = k \cdot Z B, A^{'} B^{'} = k \cdot A B

Darum stehen alle passenden Strecken im gleichen Verhältnis.

Die X-Figur

Die Strahlensätze gelten auch, wenn sich zwei Geraden in Z kreuzen und die Parallelen auf verschiedenen Seiten von Z liegen. Diese Form heisst X-Figur.

A und B liegen dann auf der einen Seite von Z, A' und B' auf der anderen. Die Formeln bleiben gleich: $\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{Z A}{Z A ^{'}}$ .

So löst du eine Aufgabe

Prüfe zuerst, ob zwei Strecken parallel sind, und finde Z. Schreib dann zu jeder Länge, auf welcher Strecke sie liegt.

Stell die Gleichung auf, die gesuchte Länge möglichst oben im Bruch. Multipliziere mit dem Nenner und rechne aus.

Beispiel: x6=104 ergibt x=6·10:4=15.

MerkeGesuchte Länge oben hinschreiben, dann mal den Nenner rechnen.

Strahlensatz: Merkblatt mit Formel und Beispiel. ZA/ZA' = ZB/ZB'. AB/A'B' = ZA/ZA'. Beispiel: ZB' = 15 cm. — Merkblatt Strahlensatz: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕Beim zweiten Strahlensatz den Abschnitt nehmen: $\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{Z A}{A A ^{'}}$ .
✓Beim zweiten Strahlensatz misst du ab Z: $\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{Z A}{Z A ^{'}}$ .
✕Mit ZA=4 und $A A^{'} = 6$ ist $Z A^{'} = 6$ .
✓ZA' geht von Z bis A', also $Z A^{'} = Z A + A A^{'} = 4 + 6 = 10$ .
✕Längen dazuzählen: Aus ZA=4 wird $Z A^{'} = 6$ , also wird aus ZB=5 die Strecke $Z B^{'} = 7$ .
✓Die Strecken wachsen mit demselben Faktor: k=6:4=1.5, also $Z B^{'} = 1.5 \cdot 5 = 7.5$ .
✕Den Strahlensatz in jeder Figur mit zwei Strahlen brauchen.
✓Er gilt nur, wenn AB und A'B' parallel sind. Fehlt das, darfst du ihn nicht anwenden.

Begriffe zum Nachschlagen

Strahl: Eine gerade Linie mit Anfangspunkt, aber ohne Ende. In der Strahlensatz-Figur beginnen beide Strahlen in Z.
Parallelen: Zwei Geraden, die überall gleich weit voneinander entfernt sind und sich nie schneiden.
Zentrum: Der Punkt Z, in dem die beiden Strahlen beginnen. Von hier aus misst du die Strecken.
V-Figur: Strahlensatz-Figur, bei der beide Parallelen auf derselben Seite von Z liegen.
X-Figur: Strahlensatz-Figur, bei der sich zwei Geraden in Z kreuzen und die Parallelen auf verschiedenen Seiten von Z liegen.
Streckfaktor: Die Zahl k, mit der jede Länge des kleinen Dreiecks multipliziert wird: $k = Z A^{'} : Z A$ .

Noch unsicher? Zuerst lernen:Proportionalität und Dreisatz Lineare Gleichungen lösen

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Erster Strahlensatz: eine Strecke auf dem Strahl

In einer V-Figur sind AB und A'B' parallel. Es ist ZA=4 cm, $Z A^{'} = 10$ cm und ZB=6 cm. Berechne ZB'.

Lösung Schritt für Schritt

Die Strecken liegen alle auf den Strahlen. Das ist der erste Strahlensatz, die gesuchte Länge oben: $\frac{Z B ^{'}}{Z B} = \frac{Z A ^{'}}{Z A}$
Setze die Zahlen ein: $\frac{Z B ^{'}}{6} = \frac{10}{4}$
Multipliziere beide Seiten mit 6: $Z B^{'} = 6 \cdot 10 : 4 = 15$
Kontrolle: ZA' ist 2.5-mal so lang wie ZA, und 15 ist 2.5-mal 6.

$Z B^{'} = 15$ cm

Beispiel 2Zweiter Strahlensatz: die Parallele berechnen

AB und A'B' sind parallel. Es ist ZA=5 cm, $Z A^{'} = 8$ cm und AB=3.5 cm. Wie lang ist A'B'?

Lösung Schritt für Schritt

Gesucht ist eine Parallele. Das ist der zweite Strahlensatz, auf dem Strahl ab Z gemessen: $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{Z A ^{'}}{Z A}$
Setze ein: $\frac{A ^{'} B ^{'}}{3.5} = \frac{8}{5}$
Multipliziere mit 3.5: $A^{'} B^{'} = 3.5 \cdot 8 : 5 = 5.6$

$A^{'} B^{'} = 5.6$ cm

Beispiel 3Rampe beim Schulhaus

Eine lange, gerade Holzrampe steigt vor einem Schulhaus an; darunter stehen senkrechte Stützpfosten, ein Kind im Rollstuhl fährt hinauf.

Beim Schulhaus in Wil wird eine gerade Rampe für Rollstühle gebaut. Sie beginnt am Boden. 2 m nach dem Anfang (waagrecht gemessen) wird sie von einem senkrechten Pfosten gestützt, der 0.3 m hoch ist. Die Rampe ist waagrecht gemessen 6 m lang. Wie hoch ist sie am Ende?

Lösung Schritt für Schritt

Der Boden und die Rampe sind zwei Strahlen aus dem Anfangspunkt Z. Der Pfosten und die Höhe am Ende stehen beide senkrecht, also sind sie parallel.
Gesucht ist eine Parallele, also der zweite Strahlensatz mit den Strecken am Boden ab Z:h0.3=62
Multipliziere mit 0.3:h=0.3·6:2=0.9

Die Rampe ist am Ende 0.9 m hoch.

Beispiel 4Wie lang ist der Weiher?

Eine Schulklasse steckt mit Messband und Holzpflöcken an einem Weiher Punkte ab; die Lehrerin zeigt über das Wasser.

Eine Klasse will wissen, wie lang ein Weiher bei Frauenfeld ist. An den Enden stecken Pflöcke A' und B'. Vom Punkt Z am Ufer peilen sie über A' und B' und stecken hinter Z die Pflöcke A und B so, dass AB parallel zu A'B' ist (X-Figur). Sie messen ZA=6 m, $Z A^{'} = 24$ m und AB=9.5 m. Wie lang ist der Weiher?

Lösung Schritt für Schritt

Die Peillinien kreuzen sich in Z, AB und A'B' sind parallel. Das ist eine X-Figur, die Strahlensätze gelten.
Gesucht ist die Parallele A'B'. Zweiter Strahlensatz mit den Strecken ab Z: $\frac{A ^{'} B ^{'}}{9.5} = \frac{24}{6}$
Der Streckfaktor ist k=24:6=4. Rechne: $A^{'} B^{'} = 4 \cdot 9.5 = 38$

Der Weiher ist 38 m lang.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
AB und A'B' sind parallel. ZA=2 cm, $Z A^{'} = 6$ cm, ZB=3 cm. Berechne ZB'.
Lösung zeigen
Ergebnis: $Z B^{'} = 9$ cm
1. Erster Strahlensatz: $\frac{Z B ^{'}}{Z B} = \frac{Z A ^{'}}{Z A}$
2. $\frac{Z B ^{'}}{3} = \frac{6}{2}$
3. $Z B^{'} = 3 \cdot 6 : 2 = 9$ cm
2
AB und A'B' sind parallel. ZA=5 cm, $Z A^{'} = 10$ cm, AB=4 cm. Berechne A'B'.
Lösung zeigen
Ergebnis: $A^{'} B^{'} = 8$ cm
1. Zweiter Strahlensatz: $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{Z A ^{'}}{Z A}$
2. $\frac{A ^{'} B ^{'}}{4} = \frac{10}{5}$
3. $A^{'} B^{'} = 4 \cdot 10 : 5 = 8$ cm
3
In einer Strahlensatz-Figur ist ZA=4 cm und $Z A^{'} = 12$ cm. Wie gross ist der Streckfaktor k?
Lösung zeigen
Ergebnis: k=3
1. $k = \frac{Z A ^{'}}{Z A}$
2. k=12:4=3
4
AB und A'B' sind parallel. ZA=3 cm, ZB=4 cm, $Z B^{'} = 10$ cm. Berechne ZA'.
Lösung zeigen
Ergebnis: $Z A^{'} = 7.5$ cm
1. Erster Strahlensatz: $\frac{Z A ^{'}}{Z A} = \frac{Z B ^{'}}{Z B}$
2. $\frac{Z A ^{'}}{3} = \frac{10}{4}$
3. $Z A^{'} = 3 \cdot 10 : 4 = 7.5$ cm
5
AB und A'B' sind parallel. ZA=6 cm, $Z A^{'} = 9$ cm, $A^{'} B^{'} = 12$ cm. Berechne die kürzere Parallele AB.
Lösung zeigen
Ergebnis: AB=8 cm
1. Zweiter Strahlensatz: $\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{Z A}{Z A ^{'}}$
2. AB12=69
3. AB=12·6:9=8 cm

6
AB und A'B' sind parallel. ZA=4 cm, $A A^{'} = 6$ cm, ZB=5 cm. Berechne BB'.
Lösung zeigen
Ergebnis: $B B^{'} = 7.5$ cm
1. Erster Strahlensatz mit den Abschnitten: $\frac{B B ^{'}}{Z B} = \frac{A A ^{'}}{Z A}$
2. $\frac{B B ^{'}}{5} = \frac{6}{4}$
3. $B B^{'} = 5 \cdot 6 : 4 = 7.5$ cm
7
AB und A'B' sind parallel. ZA=4 cm, $A A^{'} = 6$ cm, AB=3.2 cm. Berechne A'B'.
Lösung zeigen
Ergebnis: $A^{'} B^{'} = 8$ cm
1. Zuerst $Z A^{'} = 4 + 6 = 10$ cm, denn der zweite Strahlensatz braucht Strecken ab Z.
2. $\frac{A ^{'} B ^{'}}{3.2} = \frac{10}{4}$
3. $A^{'} B^{'} = 3.2 \cdot 10 : 4 = 8$ cm
8
X-Figur: Zwei Geraden kreuzen sich in Z, AB und A'B' sind parallel. ZA=3 cm, $Z A^{'} = 7.5$ cm, AB=4 cm. Berechne A'B'.
Lösung zeigen
Ergebnis: $A^{'} B^{'} = 10$ cm
1. In der X-Figur gilt derselbe zweite Strahlensatz: $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{Z A ^{'}}{Z A}$
2. $\frac{A ^{'} B ^{'}}{4} = \frac{7.5}{3}$
3. $A^{'} B^{'} = 4 \cdot 7.5 : 3 = 10$ cm
9
AB und A'B' sind parallel. ZB=6 cm, $B B^{'} = 4$ cm, $Z A^{'} = 15$ cm. Berechne ZA.
Lösung zeigen
Ergebnis: ZA=9 cm
1. $Z B^{'} = 6 + 4 = 10$ cm
2. Erster Strahlensatz: $\frac{Z A}{Z A ^{'}} = \frac{Z B}{Z B ^{'}}$ , also ZA15=610
3. ZA=15·6:10=9 cm
10
Zwei Strahlen gehen von Z aus. ZA=4 cm, $Z A^{'} = 10$ cm, ZB=5 cm, $Z B^{'} = 12$ cm. Sind AB und A'B' parallel? Wie lang müsste ZB' sein, damit sie parallel sind?
Lösung zeigen
Ergebnis: Nein. Parallel wären sie erst mit $Z B^{'} = 12.5$ cm.
1. Vergleiche: $\frac{Z A ^{'}}{Z A} = 10 : 4 = 2.5$ , aber $\frac{Z B ^{'}}{Z B} = 12 : 5 = 2.4$ .
2. Die Verhältnisse sind verschieden, also sind AB und A'B' nicht parallel.
3. Für parallele Strecken bräuchte es $Z B^{'} = 5 \cdot 10 : 4 = 12.5$ cm.

11
Mira steht auf einer Wiese, ihr Auge ist 1.5 m über dem Boden. 3 m vor ihr steht ein senkrechter Stab, der 2.5 m hoch ist. Sie peilt über die Spitze des Stabs genau die Spitze einer Tanne, die 24 m von ihr entfernt steht. Wie hoch ist die Tanne?
Lösung zeigen
Ergebnis: Die Tanne ist 9.5 m hoch.
1. Miras Auge ist Z. Ein Strahl geht waagrecht auf Augenhöhe, der andere über die Stabspitze. Stab und Tanne stehen senkrecht, also parallel.
2. Über Augenhöhe ist der Stab 2.5−1.5=1 m hoch. Zweiter Strahlensatz: x1=243, also x=8 m.
3. Dazu kommt die Augenhöhe: 8+1.5=9.5 m.
12
AB und A'B' sind parallel. $A A^{'} = 6$ cm, AB=4 cm, $A^{'} B^{'} = 7$ cm. Wie lang ist ZA?
Lösung zeigen
Ergebnis: ZA=8 cm
1. Setze ZA=x, dann ist $Z A^{'} = x + 6$ .
2. Zweiter Strahlensatz: xx+6=47, also 7x=4x+24.
3. 3x=24, also x=8 cm.
13
Ein Beamer steht im Schulzimmer 2 m vor der Wand und wirft dort ein Bild, das 1.2 m breit ist. An der Wand hängt eine Leinwand, die 3 m breit ist. Um wie viele Meter muss der Beamer nach hinten rücken, damit das Bild die Leinwand genau füllt?
Lösung zeigen
Ergebnis: Der Beamer muss 3 m nach hinten rücken.
1. Der Beamer ist Z. Das Bild mit 1.2 m Breite und das Bild mit 3 m Breite sind parallel. Statt Strecken auf dem Strahl nimmst du den Abstand vom Beamer zur Wand.
2. Zweiter Strahlensatz: d2=31.2, also d=2·3:1.2=5 m.
3. Der Beamer muss 5−2=3 m nach hinten rücken.
14
AB und A'B' sind parallel. ZA=6 cm, $A A^{'} = 4$ cm, ZB=7.5 cm, AB=4.5 cm. Berechne A'B' und BB'.
Lösung zeigen
Ergebnis: $A^{'} B^{'} = 7.5$ cm und $B B^{'} = 5$ cm
1. $Z A^{'} = 6 + 4 = 10$ cm
2. Zweiter Strahlensatz: $A^{'} B^{'} = 4.5 \cdot 10 : 6 = 7.5$ cm
3. Erster Strahlensatz mit Abschnitten: $B B^{'} = 7.5 \cdot 4 : 6 = 5$ cm

Verwechselt dein Kind beim Strahlensatz noch ZA' und AA', rechnet eine Lehrperson mit ihm die Figuren Schritt für Schritt durch. Nachhilfe in Mathematik für die Sek

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Trainer: Strahlensatz

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Immer neue Fragen zu den Strahlensätzen mit Rückmeldung und Rechenweg. Stufe 1 übt die beiden Sätze direkt, Stufe 2 Abschnitte, X-Figur und Parallelität, Stufe 3 Gleichungen und Aufgaben aus dem Alltag.

Welcher Strahlensatz verbindet die Parallelen AB und A'B' mit einem Strahl?

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Nächstes ThemaÄhnlichkeit, Kongruenz und Satz des ThalesÄhnliche Figuren haben die gleiche Form in anderer Grösse: Jede Seite wird mit dem Streckfaktor k multipliziert, kongruente Figuren sind sogar deckungsgleich. Der Satz des Thales sagt, dass ein Dreieck im Halbkreis über dem Durchmesser einen rechten Winkel hat.3. Sek

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Lehrplan 21

Typische Klasse: 3. Sek
Zyklus: Zyklus 3
Fach: Mathematik

Meist in der 3. Sek, oft zusammen mit Streckfaktor und ähnlichen Figuren. Im Gymnasium brauchst du die Strahlensätze wieder, etwa in der Trigonometrie.

MA.2.A.3.kIn einer Strahlensatz-Figur oder bei ähnlichen Dreiecken fehlende Längen über gleiche Verhältnisse oder den Streckfaktor ausrechnen.
MA.2.A.2.jEine Figur von einem festen Punkt aus mit einem Streckfaktor vergrössern oder verkleinern.
MA.2.A.1.lFachwörter wie Ähnlichkeit kennen und Figuren über parallele Strecken und gleiche Winkel beschreiben.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse kommt der Strahlensatz?

Meist in der 3. Sek, im Zyklus 3 des Lehrplans 21, oft zusammen mit dem Streckfaktor und ähnlichen Figuren. Im Gymnasium brauchst du ihn wieder.

Was ist der Unterschied zwischen dem ersten und dem zweiten Strahlensatz?

Der erste vergleicht nur Strecken auf den beiden Strahlen. Der zweite vergleicht die Parallelen mit den Strecken ab Z auf einem Strahl.

Gilt der Strahlensatz auch ohne Parallelen?

Nein. Nur wenn AB und A'B' parallel sind, stehen die Strecken im gleichen Verhältnis. Umgekehrt gilt: Stimmen die Verhältnisse auf den Strahlen überein, sind AB und A'B' parallel.

Was hat der Strahlensatz mit Ähnlichkeit zu tun?

Das kleine Dreieck ZAB und das grosse Dreieck ZA'B' sind ähnlich. Der Strahlensatz ist darum dasselbe wie das Rechnen mit dem Streckfaktor.