Median, Modus und Quartile

Der Median ist der Wert in der Mitte einer der Grösse nach geordneten Liste, der Modus der Wert, der am häufigsten vorkommt. Die Quartile teilen die geordnete Liste in vier gleich grosse Teile.

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1. Sek - 2. Sek
Zyklus 3
Lehrplan 21: MA.3.C.1.g

Jugendliche stehen auf dem Pausenplatz in einer Reihe, der Grösse nach geordnet. Das Mädchen in der Mitte tritt einen Schritt vor.

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Das musst du wissen

Erklärung

Der Median (auch Zentralwert) ist der Wert in der Mitte einer geordneten Liste, der Modus der Wert, der am häufigsten vorkommt. Für den Median ordnest du die Werte und suchst die Mitte. Dann wählst du den Wert, der die Daten am besten beschreibt.

Den Median bestimmen

Sieben Kinder notieren ihren Schulweg in Minuten: 12, 5, 8, 20, 9, 7, 15.

Ordne die Werte der Grösse nach: 5, 7, 8, 9, 12, 15, 20.
Suche den Wert in der Mitte. Links und rechts davon stehen gleich viele Werte.

Der Median ist 9 Minuten. Bei 7 Werten ist es der 4. Wert, denn (7+1):2=4.

MerkeZuerst ordnen, dann die Mitte suchen. Bei einer ungeraden Anzahl Werte ist der Median der Wert in der Mitte.

Die Schulwege 5, 7, 8, 9, 12, 15 und 20 Minuten auf dem Zahlenstrahl. Links und rechts vom Median 9 liegen je drei Werte.

Gerade Anzahl Werte

Bei einer geraden Anzahl gibt es zwei Werte in der Mitte. Der Median liegt genau zwischen ihnen: Du rechnest ihren .

Bei 4, 6, 9, 10, 13, 14 sind 9 und 10 in der Mitte:

(9+10):2=9.5

Der Median muss also nicht in der Liste vorkommen.

MerkeZwei Werte in der Mitte: zusammenzählen und durch 2 teilen.

Die Werte 4, 6, 9, 10, 13 und 14 auf dem Zahlenstrahl. Der Median 9.5 liegt genau zwischen 9 und 10.

Der Modus

Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Du musst nur zählen.

Schuhgrössen von acht Kindern: 36, 38, 37, 38, 39, 38, 37, 40. Die 38 kommt 3-mal vor, öfter als jede andere. Der Modus ist 38.

Zwei Werte gleich oft am häufigsten: zwei Modi.
Jeder Wert nur einmal: kein Modus.
Den Modus gibt es auch bei Wörtern, etwa bei Lieblingsfarben.

MerkeDer Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt, nicht die Anzahl, wie oft er vorkommt.

Schuhgrössen von 8 Kindern: Die Säule bei Grösse 38 ist am höchsten, sie kommt 3-mal vor. Der Modus ist 38.

Median, Modus oder Mittelwert?

Fünf Kinder bekommen pro Woche so viel Sackgeld: 5, 6, 6, 8 und 50 Franken.

Mittelwert: (5+6+6+8+50):5=75:5=15 Franken
Median: 6 Franken
Modus: 6 Franken

Vier von fünf Kindern bekommen höchstens 8 Franken. Der Mittelwert passt schlecht, weil ein Ausreisser ihn nach oben zieht.

Der Median bleibt in der Mitte der Daten.

MerkeEin Ausreisser verschiebt den Mittelwert stark, den Median kaum. Gibt es Ausreisser, beschreibt der Median die Daten meist besser.

Quartile: die Liste in vier Teile

Der Median teilt die geordnete Liste in zwei Hälften. Bei ungerader Anzahl gehört er zu keiner Hälfte.

Unteres Quartil $Q_{1}$ : Median der unteren Hälfte.
Oberes Quartil $Q_{3}$ : Median der oberen Hälfte.

Bei 3, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 16 ist der Median 10. Es folgt $Q_{1} = (5 + 6) : 2 = 5.5$ und $Q_{3} = (13 + 15) : 2 = 14$ .

Unter $Q_{1}$ liegt etwa ein Viertel der Werte, unter $Q_{3}$ etwa drei Viertel.

MerkeUnteres Quartil = Median der unteren Hälfte, oberes Quartil = Median der oberen Hälfte.

Die neun Werte 3, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 15 und 16 mit Median 10, unterem Quartil 5.5 und oberem Quartil 14.

Median, Modus und Quartile: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Zuerst ordnen, dann die Mitte suchen. Bei einer ungeraden Anzahl Werte ist der Median der Wert in der Mitte. Beispiel: Der Median ist 14. — Merkblatt Median, Modus und Quartile: Regel und Beispiel Schritt für Schritt.

Häufige Fehler

✕Median von 12, 5, 8, 20, 9, 7, 15: Der mittlere Wert der Liste ist 20, also ist der Median 20.
✓Zuerst ordnen: 5, 7, 8, 9, 12, 15, 20. Der Median ist 9.
✕Bei 4, 6, 9, 10, 13, 14 einfach einen der beiden mittleren Werte nehmen, zum Beispiel 9.
✓Bei zwei mittleren Werten rechnest du ihren Mittelwert: (9+10):2=9.5.
✕Bei 37, 38, 38, 38, 40 ist der Modus 3, weil der häufigste Wert 3-mal vorkommt.
✓Der Modus ist der Wert selbst, also 38. Die 3 sagt nur, wie oft er vorkommt.
✕Median und Mittelwert sind dasselbe.
✓Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch die Anzahl, der Median der Wert in der Mitte. Bei 5, 6, 6, 8, 50 ist der Mittelwert 15, der Median 6.

Begriffe zum Nachschlagen

Median: Der Wert in der Mitte der geordneten Liste. Bei zwei mittleren Werten ihr Mittelwert. Auch Zentralwert genannt.
Modus: Der Wert, der in einer Liste am häufigsten vorkommt. Auch Modalwert genannt.
Quartil: Das untere Quartil ist der Median der unteren Hälfte, das obere Quartil der Median der oberen Hälfte der geordneten Liste.
Ausreisser: Ein Wert, der viel grösser oder viel kleiner ist als alle anderen Werte der Liste.
Mittelwert: Alle Werte zusammenzählen und durch ihre Anzahl teilen. Im Alltag sagt man Durchschnitt.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Mittelwert, Minimum und Maximum

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Median bei ungerader Anzahl

Bestimme den Median von 14, 9, 21, 11, 17.

Die Werte 9, 11, 14, 17 und 21 geordnet auf dem Zahlenstrahl. Der Median 14 steht in der Mitte.

Lösung Schritt für Schritt

Ordne die Werte der Grösse nach:9, 11, 14, 17, 21
Es sind 5 Werte, also ist der 3. Wert in der Mitte. Links und rechts davon stehen je zwei Werte.

Der Median ist 14.

Beispiel 2Weitsprung am Sporttag

Ein Kind springt am Sporttag in die Weitsprung-Grube, andere Kinder schauen vom Rand aus zu.

Am Sporttag in Thun springen sechs Kinder so weit: 3.20 m, 2.85 m, 3.45 m, 3.10 m, 2.90 m und 3.60 m. Bestimme den Median der Sprungweiten.

Lösung Schritt für Schritt

Ordne die Weiten der Grösse nach:2.85, 2.90, 3.10, 3.20, 3.45, 3.60
Es sind 6 Werte, also stehen zwei in der Mitte: 3.10 m und 3.20 m.
Rechne ihren Mittelwert:(3.10+3.20):2=6.30:2=3.15

Der Median ist 3.15 m. Drei Kinder springen weniger weit, drei weiter.

Beispiel 3Tore zählen: Modus und Median

Ein Juniorenteam jubelt auf einem Fussballplatz in den Bergen über ein Tor, Eltern schauen am Rand zu.

Ein Juniorenteam aus Chur schiesst in zehn Spielen diese Tore: 2, 0, 3, 3, 1, 4, 3, 2, 0, 5. Bestimme den Modus und den Median.

Wie oft das Team in 10 Spielen 0 bis 5 Tore schiesst: Die Säule bei 3 Toren ist mit 3 Spielen am höchsten. Der Modus ist 3.

Lösung Schritt für Schritt

Modus: Zähle, wie oft jede Torzahl vorkommt. Die 3 kommt 3-mal vor, die 0 und die 2 je 2-mal, alle anderen einmal. Der Modus ist 3.
Median: Ordne die Werte.0, 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5
Bei 10 Werten stehen der 5. und der 6. Wert in der Mitte, also 2 und 3:(2+3):2=2.5

Der Modus ist 3 Tore, der Median 2.5 Tore.

Beispiel 4Median und Quartile

Bestimme den Median, das untere Quartil $Q_{1}$ und das obere Quartil $Q_{3}$ von 2, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 13.

Lösung Schritt für Schritt

Die Liste ist schon geordnet und hat 8 Werte. In der Mitte stehen 7 und 8:Median=(7+8):2=7.5
Die untere Hälfte ist 2, 4, 5, 7. Ihr Median ist das untere Quartil: $Q_{1} = (4 + 5) : 2 = 4.5$
Die obere Hälfte ist 8, 9, 12, 13. Ihr Median ist das obere Quartil: $Q_{3} = (9 + 12) : 2 = 10.5$

Median 7.5, $Q_{1} = 4.5$ und $Q_{3} = 10.5$ .

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Bestimme den Median von 3, 8, 5, 9, 4.
Lösung zeigen
Ergebnis: 5
Die Werte 3, 4, 5, 8 und 9 geordnet: Der Median 5 steht in der Mitte.
1. Ordnen: 3, 4, 5, 8, 9.
2. 5 Werte, der 3. steht in der Mitte: 5.
2
Bestimme den Median von 2, 6, 7, 10.
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Ergebnis: 6.5
Die Werte 2, 6, 7 und 10: Der Median 6.5 liegt genau zwischen 6 und 7.
1. Die Liste ist geordnet und hat 4 Werte.
2. In der Mitte stehen 6 und 7.
3. (6+7):2=6.5
3
Bestimme den Modus von 4, 7, 4, 2, 7, 4, 5.
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Ergebnis: 4
Wie oft die Werte 2, 4, 5 und 7 vorkommen: Die Säule bei 4 ist mit 3 am höchsten. Der Modus ist 4.
1. Zählen: Die 4 kommt 3-mal vor, die 7 2-mal, die 2 und die 5 je einmal.
2. Am häufigsten kommt die 4 vor. Der Modus ist 4.
4
Bestimme den Median von 15, 11, 19, 13, 12, 20, 17.
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Ergebnis: 15
1. Ordnen: 11, 12, 13, 15, 17, 19, 20.
2. 7 Werte, der 4. steht in der Mitte: 15.
5
Mia hat diese Noten: 5, 4.5, 5.5, 4.5, 6, 4.5, 5. Welche Note ist der Modus?
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Ergebnis: 4.5
1. Die 4.5 kommt 3-mal vor, die 5 2-mal, die 5.5 und die 6 je einmal.
2. Der Modus ist die Note 4.5.

6
Bestimme den Median von 8, 3, 12, 5, 10, 7.
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Ergebnis: 7.5
1. Ordnen: 3, 5, 7, 8, 10, 12.
2. In der Mitte stehen 7 und 8.
3. (7+8):2=7.5
7
In Chur wird eine Woche lang um 7 Uhr die Temperatur gemessen: −2, 1, 3, −4, 0, 2, 1 °C. Bestimme Median und Modus.
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Ergebnis: Median 1 °C, Modus 1 °C
1. Ordnen: −4, −2, 0, 1, 1, 2, 3.
2. 7 Werte, der 4. steht in der Mitte: Median 1 °C.
3. Die 1 kommt als einziger Wert zweimal vor: Modus 1 °C.
8
Bestimme Modus und Median von 3, 5, 5, 6, 8, 8, 9.
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Ergebnis: Zwei Modi: 5 und 8. Median 6.
1. Die 5 und die 8 kommen je 2-mal vor, alle anderen einmal. Es gibt zwei Modi.
2. 7 Werte, der 4. steht in der Mitte: Median 6.
9
Berechne Mittelwert und Median von 4, 5, 5, 6, 30. Welcher Wert beschreibt die Daten besser?
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Ergebnis: Mittelwert 10, Median 5. Der Median passt besser, weil die 30 ein Ausreisser ist.
1. Mittelwert: (4+5+5+6+30):5=50:5=10.
2. Median: Die Liste ist geordnet, der 3. Wert ist 5.
3. Vier von fünf Werten liegen bei höchstens 6. Die 30 zieht den Mittelwert hoch, den Median nicht.
10
Bestimme den Median und die Quartile $Q_{1}$ und $Q_{3}$ von 1, 3, 4, 6, 7, 9, 11.
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Ergebnis: Median 6, $Q_{1} = 3$ , $Q_{3} = 9$
1. 7 Werte, der 4. steht in der Mitte: Median 6.
2. Untere Hälfte ohne den Median: 1, 3, 4. Ihr Median ist $Q_{1} = 3$ .
3. Obere Hälfte: 7, 9, 11. Ihr Median ist $Q_{3} = 9$ .

11
Zu den Werten 3, 6, 10, 12 kommt ein fünfter Wert x dazu. Jetzt ist der Median 8. Wie gross ist x?
Lösung zeigen
Ergebnis: x=8
1. Bei 5 Werten ist der Median einer der Werte selbst.
2. Ist x kleiner als 6, wäre der Median 6. Ist x grösser als 10, wäre er 10.
3. Also liegt x zwischen 6 und 10 und ist selbst der Median: x=8.
12
Die geordnete Liste 2, 5, x, 11 hat den Median 7. Bestimme x.
Lösung zeigen
Ergebnis: x=9
1. Die mittleren Werte sind 5 und x, also (5+x):2=7.
2. Dann ist 5+x=14, also x=9.
3. Probe: (5+9):2=7, und 9 liegt zwischen 5 und 11.
13
Die Liste 4, 6, 7, 9, 12 hat den Median 7. Nun kommt der Wert 15 dazu. Wie gross ist der neue Median?
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Ergebnis: 8
1. Neue Liste: 4, 6, 7, 9, 12, 15. Das sind 6 Werte.
2. In der Mitte stehen 7 und 9.
3. (7+9):2=8
14
Am Skilift in Davos warten 12 Gäste so viele Minuten: 2, 5, 3, 8, 5, 4, 15, 5, 6, 3, 7, 5. Bestimme Modus, Median und die Quartile.
Lösung zeigen
Ergebnis: Modus 5, Median 5, $Q_{1} = 3.5$ , $Q_{3} = 6.5$
1. Ordnen: 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 15. Die 5 kommt 4-mal vor: Modus 5.
2. In der Mitte stehen der 6. und 7. Wert, beide 5: Median 5.
3. Untere Hälfte 2, 3, 3, 4, 5, 5: $Q_{1} = (3 + 4) : 2 = 3.5$ .
4. Obere Hälfte 5, 5, 6, 7, 8, 15: $Q_{3} = (6 + 7) : 2 = 6.5$ .
15
Finde fünf Werte mit dem Modus 4, dem Median 6 und dem Mittelwert 7.
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Ergebnis: zum Beispiel 4, 4, 6, 9, 12
1. Mittelwert 7 bei 5 Werten heisst: Die Summe ist 5·7=35.
2. Modus 4 und Median 6: Die Liste beginnt mit 4, 4, 6.
3. Die zwei letzten Werte sind grösser als 6, verschieden und ergeben zusammen 35−14=21, zum Beispiel 9 und 12.
4. Probe: 4, 4, 6, 9, 12 hat Modus 4, Median 6 und Mittelwert 35:5=7.

Verwechselt dein Kind Median, Modus und Mittelwert noch, klärt eine Lehrperson die Begriffe mit ihm an eigenen Zahlen aus dem Alltag. Nachhilfe in Mathematik für die Sek

Üben ohne Ende

Trainer: Median, Modus und Quartile

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Neue Fragen zu Median, Modus und Quartilen, mit Erklärung nach jeder Antwort. Stufe 1 übt Median und Modus mit wenigen Werten, Stufe 2 gerade Anzahlen, Dezimalzahlen und Quartile, Stufe 3 fehlende Werte und Veränderungen.

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Lehrplan 21

Typische Klasse: 1. Sek - 2. Sek
Zyklus: Zyklus 3
Fach: Mathematik

Meist in der 1. und 2. Sek: Median und Modus kommen als Ergänzung zum Mittelwert dazu, danach die Quartile. Am Gymnasium kommen sie in der Statistik wieder.

MA.3.C.1.gDaten zu Längen, Zeitdauern, Anzahlen und Preisen darstellen und interpretieren, hier mit Median, Modus und Quartilen.
MA.3.C.1.fDatensätze auswerten und darin Mittelwert, Maximum und Minimum bestimmen, als Grundlage für den Vergleich mit Median und Modus.
MA.3.C.1.jFragen aus dem Alltag mit Daten bearbeiten und Zahlenangaben vergleichen, etwa zwei Gruppen über ihren Median.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Median und Mittelwert?

Für den Mittelwert zählst du alle Werte zusammen und teilst durch die Anzahl. Der Median ist der Wert in der Mitte der geordneten Liste. Ein einzelner sehr grosser oder sehr kleiner Wert verschiebt den Mittelwert stark, den Median kaum.

Wie berechnet man den Median bei einer geraden Anzahl Werte?

Ordne die Werte und nimm die zwei Werte in der Mitte. Zähle sie zusammen und teile durch 2. Bei 4, 6, 9, 10, 13, 14 ist der Median also 9.5.

Kann es mehrere Modi geben?

Ja. Kommen zwei Werte gleich oft am häufigsten vor, hat die Liste zwei Modi. Kommt jeder Wert nur einmal vor, gibt es keinen Modus.

In welcher Klasse lernt man Median und Modus?

Meist in der 1. oder 2. Sek, nach dem Mittelwert. Je nach Kanton, Niveau und Lehrmittel kommt es auch etwas früher oder später.

Was sind Quantile, und warum gibt mein Taschenrechner andere Quartile?

Quantile sind Werte, die eine geordnete Liste in Anteile teilen. Die Quartile sind die Quantile bei einem Viertel, der Hälfte und drei Vierteln. Taschenrechner und Tabellenprogramme rechnen sie teils mit einer anderen Methode und können leicht andere Werte geben; in der Prüfung gilt die Methode aus dem Unterricht.