Polynome und Polynomfunktionen

Ein Polynom ist eine Summe von Potenzen von x mit Zahlen davor, etwa 2x³ − 5x + 1. Du bestimmst Grad, Leitkoeffizient und Nullstellen und liest daraus ab, wie der Graph der Polynomfunktion verläuft.

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1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Zwei Jugendliche fahren mit dem Velo auf einer Landstrasse, die sich über mehrere sanfte Hügel auf und ab schlängelt.

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Das musst du wissen

Erklärung

Ein Polynom ist eine Summe aus von x, jede mit einer Zahl davor, zum Beispiel 2x³−5x+1. Die höchste heisst Grad, sie bestimmt die Form des . Am Schluss liest du aus Grad, Leitkoeffizient und ab, wie der Graph verläuft.

Was ist ein Polynom?

Ein Polynom besteht aus der Form Zahl mal Potenz von x. Die Hochzahlen sind : 0, 1, 2, 3 und so weiter.

a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

Keine Polynome sind 1x, $x$ oder $2^{x}$ . Eine mit einem Polynom als heisst Polynomfunktion oder ganzrationale Funktion.

MerkeNur natürliche Hochzahlen: kein x im Nenner, keine Wurzel aus x, kein x in der Hochzahl.

Grad, Leitkoeffizient und Absolutglied

Ordne die Glieder nach fallenden Hochzahlen. Die höchste Hochzahl ist der Grad, die Zahl davor der Leitkoeffizient. Das Glied ohne x heisst Absolutglied. Es ist f(0), dort schneidet der Graph die y-Achse.

Bei f(x)=−2x³+4x²−x+7 ist der Grad 3, der Leitkoeffizient −2 und f(0)=7.

MerkeGrad 1: Gerade. Grad 2: . Grad 3: kubische Funktion.

Wohin die Enden des Graphen zeigen

Weit links und weit rechts zählt nur das Glied mit der höchsten Potenz. Grad und des Leitkoeffizienten bestimmen darum, wohin die Enden zeigen.

Gerader Grad: Beide Enden zeigen nach oben (positiv) oder beide nach unten (negativ).

Ungerader Grad: Positiv heisst von links unten nach rechts oben, negativ von links oben nach rechts unten.

MerkeGerader Grad: Enden gleich. Ungerader Grad: Enden verschieden.

f(x) = x³ − 3x hat ungeraden Grad und verläuft von links unten nach rechts oben. g(x) = −x⁴ + 4x² hat geraden Grad und einen negativen Leitkoeffizienten: Beide Enden zeigen nach unten.

Symmetrie

Kommen nur gerade Hochzahlen vor, gilt f(−x)=f(x). Der Graph ist dann symmetrisch zur y-Achse. Das Absolutglied zählt als x⁰, also gerade.

Kommen nur ungerade Hochzahlen vor und fehlt das Absolutglied, gilt f(−x)=−f(x). Der Graph ist dann punktsymmetrisch zum Ursprung.

Oben ist g(x)=−x⁴+4x² symmetrisch zur y-Achse und f(x)=x³−3x punktsymmetrisch zum Ursprung.

MerkeNur gerade Hochzahlen: symmetrisch zur y-Achse. Nur ungerade Hochzahlen ohne Absolutglied: punktsymmetrisch zum Ursprung.

Nullstellen und Linearfaktoren

Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Kennst du sie, schreibst du es als Produkt von Linearfaktoren:

x³−4x=x(x²−4)=x(x−2)(x+2)

Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist (). Die Nullstellen sind also −2, 0 und 2.

MerkeGrad n: höchstens n Nullstellen. Bei ungeradem Grad mindestens eine.

Graph von f(x) = x³ − 4x mit den drei Nullstellen (−2 | 0), (0 | 0) und (2 | 0).

Vielfachheit: schneiden oder berühren

Kommt ein Linearfaktor mehrmals vor, ist die Nullstelle mehrfach. Bei f(x)=(x+1)(x−2)² ist x=−1 einfach und x=2 doppelt.

An einer einfachen Nullstelle schneidet der Graph die x-Achse und wechselt das Vorzeichen. An einer doppelten berührt er sie nur. An einer dreifachen schneidet er sie und ist dort ganz flach.

MerkeUngerade Vielfachheit: schneiden. Gerade Vielfachheit: berühren.

Graph von f(x) = (x + 1)(x − 2)²: Bei x = −1 schneidet er die x-Achse, bei x = 2 berührt er sie nur.

Nullstellen finden

Fehlt das Absolutglied, klammerst du x aus.

Kommen nur x⁴, x² und eine Zahl vor, setzt du u=x² und löst eine .

Sonst rätst du eine Nullstelle und teilst durch ihren Linearfaktor (). Sind alle ganz, ist jede ganzzahlige Nullstelle ein Teiler des Absolutglieds.

MerkeErst , dann , sonst raten und dividieren.

Polynomfunktionen: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Nur natürliche Hochzahlen: kein x im Nenner, keine Wurzel aus x, kein x in der Hochzahl. Grad 1: Gerade. Grad 2: Parabel. Grad 3: kubische Funktion. — Merkblatt Polynomfunktionen: Regel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕Der Grad von 3x²+5x⁴−x ist 2, weil 3x² vorne steht.
✓Der Grad ist die höchste Hochzahl, egal wo sie steht: 4. Der Leitkoeffizient ist 5.
✕f(x)=2x³−4x ist ein Polynom vom Grad 3.
✓ $\frac{4}{x} = 4 x^{- 1}$ hat eine negative Hochzahl. Darum ist f kein Polynom.
✕Bei f(x)=(x−3)²(x+1) wechselt der Graph bei x=3 das Vorzeichen.
✓x=3 ist eine doppelte Nullstelle. Der Graph berührt die x-Achse dort nur und bleibt auf derselben Seite.
✕f(x)=x⁴+x²+3 ist nicht symmetrisch zur y-Achse, weil bei der 3 kein x steht.
✓Die 3 ist 3x⁰, und 0 ist gerade. Kommen nur gerade Hochzahlen vor, ist der Graph symmetrisch zur y-Achse.

Begriffe zum Nachschlagen

Polynom: Eine Summe aus Gliedern der Form Zahl mal $x^{k}$ , wobei k eine natürliche Zahl ist, zum Beispiel 4x³−x+2.
Grad (eines Polynoms): Die höchste Hochzahl von x, die im Polynom vorkommt. 4x³−x+2 hat den Grad 3.
Leitkoeffizient: Die Zahl vor der höchsten Potenz von x. Mit dem Grad bestimmt ihr Vorzeichen, wohin die Enden des Graphen zeigen.
Kubische Funktion: Eine Polynomfunktion vom Grad 3, zum Beispiel f(x)=x³−2x+1.
Nullstelle: Eine Stelle x mit f(x)=0. Dort schneidet oder berührt der Graph die x-Achse.
Linearfaktor: Ein Faktor der Form (x−a). Er gehört zur Nullstelle x=a.
Vielfachheit: Wie oft ein Linearfaktor im Produkt vorkommt. Ungerade Vielfachheit: Der Graph schneidet die x-Achse. Gerade: Er berührt sie.
Polynomdivision: Ein Polynom durch ein anderes teilen, Schritt für Schritt wie bei der schriftlichen Division. Damit spaltest du eine bekannte Nullstelle ab.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Quadratische Funktionen und Parabeln Quadratische Gleichungen Potenzfunktionen

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Grad, Leitkoeffizient und Verlauf

Bestimme Grad, Leitkoeffizient und von f(x)=3x²−x⁴+2x−5. Wohin zeigen die Enden des Graphen?

Graph von f(x) = −x⁴ + 3x² + 2x − 5: Er schneidet die y-Achse bei (0 | −5), beide Enden zeigen nach unten.

Lösung Schritt für Schritt

Ordne nach fallenden Hochzahlen:f(x)=−x⁴+3x²+2x−5
Die höchste Hochzahl ist 4, die Zahl davor −1. Grad 4, Leitkoeffizient −1.
Das Absolutglied ist der y-Achsenabschnitt:f(0)=−5
Der Grad ist gerade und der Leitkoeffizient negativ. Darum zeigen beide Enden nach unten.

Grad 4, Leitkoeffizient −1, y-Achsenabschnitt f(0)=−5. Beide Enden des Graphen zeigen nach unten.

Beispiel 2Nullstellen durch Ausklammern

Bestimme die Nullstellen von f(x)=x³−2x²−8x und schreibe f als Produkt von Linearfaktoren.

Graph von f(x) = x³ − 2x² − 8x mit den Nullstellen (−2 | 0), (0 | 0) und (4 | 0).

Lösung Schritt für Schritt

Es gibt kein Absolutglied. Klammere x aus:f(x)=x(x²−2x−8)
Der erste Faktor gibt die Nullstelle x=0.
Löse die quadratische Gleichung mit der : $x = \frac{2 \pm 4 + 32}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$
Das gibt x=4 und x=−2. Als Produkt:f(x)=x(x−4)(x+2)

Nullstellen −2, 0 und 4, also f(x)=x(x−4)(x+2).

Beispiel 3Graph aus der Produktform skizzieren

Skizziere den Graphen von f(x)=(x−1)²(x+3). Gib Nullstellen mit Vielfachheit, den y-Achsenabschnitt und den Verlauf an.

Graph von f(x) = (x − 1)²(x + 3): Er schneidet die x-Achse bei x = −3, berührt sie bei x = 1 und geht durch (0 | 3).

Lösung Schritt für Schritt

Aus den Linearfaktoren: x=1 ist doppelt, x=−3 ist einfach.
Bei x=−3 schneidet der Graph die x-Achse, bei x=1 berührt er sie.
Setze 0 ein:f(0)=(0−1)²·(0+3)=1·3=3
beginnt f mit x³: Grad 3, Leitkoeffizient 1. Der Graph kommt von links unten und geht nach rechts oben.

Nullstellen −3 (einfach, schneiden) und 1 (doppelt, berühren), f(0)=3, Verlauf von links unten nach rechts oben.

Beispiel 4Volumen einer Schachtel

Ein Mädchen faltet am Küchentisch aus einem flachen Karton eine offene Schachtel, die ausgeschnittenen Ecken liegen daneben.

Livia aus Thun bastelt aus einem Karton von 30 cm mal 20 cm eine offene Schachtel. An jeder Ecke schneidet sie ein Quadrat mit der Seite x cm weg und faltet die Ränder hoch. Stelle das Volumen V(x) als Polynom auf. Für welche x ist es sinnvoll? Wie viel fasst die Schachtel bei x=5?

Volumen V(x) der Schachtel für 0 < x < 10: Bei x = 5 cm sind es 1'000 cm³.

Lösung Schritt für Schritt

Der Boden ist 30−2x lang und 20−2x breit, die Höhe ist x:V(x)=x(30−2x)(20−2x)
Ausmultiplizieren gibt ein Polynom vom Grad 3:V(x)=4x³−100x²+600x
Die Nullstellen sind 0, 10 und 15. Die Seiten müssen positiv sein, darum ist nur 0<x<10 sinnvoll.
Setze x=5 ein:V(5)=5·20·10=1000

V(x)=4x³−100x²+600x, sinnvoll für 0<x<10. Bei x=5 cm fasst die Schachtel 1'000 cm³, also genau 1 Liter.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
Gib Grad und Leitkoeffizient von f(x)=5x³−2x+1 an. Wie verläuft der Graph?
Lösung zeigen
Ergebnis: Grad 3, Leitkoeffizient 5, von links unten nach rechts oben
Graph von f(x) = 5x³ − 2x + 1: Er kommt von links unten und geht nach rechts oben.
1. Die höchste Hochzahl ist 3: Grad 3.
2. Davor steht 5: Leitkoeffizient 5.
3. Ungerader Grad, positiver Leitkoeffizient: von links unten nach rechts oben.
2
Berechne f(−1) für f(x)=2x³+x²−4.
Lösung zeigen
Ergebnis: f(−1)=−5
1. Einsetzen: 2·(−1)³+(−1)²−4
2. (−1)³=−1 und (−1)²=1: −2+1−4=−5
3
Welchen Grad hat f(x)=(x−2)(x+3)(x−1)? Wo schneidet der Graph die y-Achse?
Lösung zeigen
Ergebnis: Grad 3, y-Achsenabschnitt 6
Graph von f(x) = (x − 2)(x + 3)(x − 1): Er schneidet die y-Achse im Punkt (0 | 6).
1. Drei Linearfaktoren mit je einem x: Ausmultipliziert entsteht x³, also Grad 3.
2. f(0)=(−2)·3·(−1)=6
4
Bestimme die Nullstellen von f(x)=(x−3)(x+1)(x−5).
Lösung zeigen
Ergebnis: x=−1, x=3 und x=5
Graph von f(x) = (x − 3)(x + 1)(x − 5) mit den Nullstellen (−1 | 0), (3 | 0) und (5 | 0).
1. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.
2. x−3=0, x+1=0 oder x−5=0.
3. Also x=3, x=−1 oder x=5.
5
Wie verläuft der Graph von f(x)=−2x³+x ganz links und ganz rechts?
Lösung zeigen
Ergebnis: Leitkoeffizient −2, ungerader Grad: von links oben nach rechts unten
1. Höchste Potenz: −2x³, also Grad 3 und Leitkoeffizient −2.
2. Ungerader Grad mit negativem Leitkoeffizienten: von links oben nach rechts unten.

6
Bestimme die Nullstellen von f(x)=x³−9x.
Lösung zeigen
Ergebnis: x=−3, x=0 und x=3
1. x ausklammern: x(x²−9)
2. Dritte binomische Formel: x(x−3)(x+3)
3. Nullstellen −3, 0 und 3. Probe: 3³−9·3=0.
7
Gib die Nullstellen von f(x)=(x+2)²(x−1) mit Vielfachheit an. Wo schneidet, wo berührt der Graph die x-Achse? Berechne f(0).
Lösung zeigen
Ergebnis: x=−2 doppelt (berühren), x=1 einfach (schneiden), f(0)=−4
1. (x+2) kommt zweimal vor: x=−2 ist doppelt, der Graph berührt die x-Achse.
2. (x−1) kommt einmal vor: x=1 ist einfach, der Graph schneidet.
3. f(0)=2²·(−1)=−4
8
Löse x⁴−5x²+4=0.
Lösung zeigen
Ergebnis: u=1 oder u=4, also x=−2, x=−1, x=1 und x=2
1. Setze u=x²: u²−5u+4=0
2. u=5±32, also u=4 oder u=1.
3. x²=4 gibt ±2, x²=1 gibt ±1.
9
Welchen Grad und welchen Leitkoeffizienten hat f(x)=(2x²+1)(3x³−x)? Du musst nicht alles ausmultiplizieren.
Lösung zeigen
Ergebnis: Grad 5, Leitkoeffizient 6
1. Die höchste Potenz entsteht aus den höchsten Gliedern: 2x²·3x³=6x⁵.
2. Also Grad 2+3=5 und Leitkoeffizient 6.
10
Berechne f(2) und f(−2) für f(x)=x⁴−3x²+2. Was fällt dir auf?
Lösung zeigen
Ergebnis: f(2)=f(−2)=6. Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
1. f(2)=16−12+2=6
2. f(−2)=16−12+2=6, weil gerade Potenzen das Vorzeichen schlucken.
3. Nur gerade Hochzahlen: Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.

11
f(x)=x³−6x²+11x−6 hat die Nullstelle x=1. Bestimme die anderen.
Lösung zeigen
Ergebnis: x=2 und x=3
1. Polynomdivision durch (x−1): (x³−6x²+11x−6):(x−1)=x²−5x+6
2. x=5±12, also x=3 oder x=2.
3. Damit f(x)=(x−1)(x−2)(x−3).
12
Ein Polynom vom Grad 3 hat die Nullstellen −1, 2 und 4 und schneidet die y-Achse bei 16. Wie heisst es?
Lösung zeigen
Ergebnis: f(x)=2(x+1)(x−2)(x−4)
1. Ansatz: f(x)=a(x+1)(x−2)(x−4)
2. f(0)=a·1·(−2)·(−4)=8a
3. 8a=16, also a=2.
13
Das Höhenprofil eines Bike-Trails bei Lenzerheide wird für 0≤x≤6 beschrieben durch h(x)=−5x³+30x². Dabei ist x die Strecke in km und h die Höhe über dem Start in m. Wo ist der Trail wieder auf Starthöhe? Wie hoch über dem Start ist er nach 4 km?
Lösung zeigen
Ergebnis: Nach 6 km ist er wieder auf Starthöhe, nach 4 km liegt er 160 m über dem Start.
1. Ausklammern: h(x)=5x²(6−x)
2. Nullstellen: x=0 (doppelt, der Start) und x=6.
3. h(4)=−5·64+30·16=−320+480=160
14
Für welches a hat f(x)=x³+ax²−4x+4 die Nullstelle x=2? Bestimme dann die anderen Nullstellen.
Lösung zeigen
Ergebnis: a=−1, die anderen Nullstellen sind 1 und −2.
1. f(2)=8+4a−8+4=4a+4
2. 4a+4=0 gibt a=−1.
3. x³−x²−4x+4=x²(x−1)−4(x−1)=(x−1)(x−2)(x+2)

Hakt es beim Nullstellen-Finden oder beim Skizzieren des Graphen, übt eine Lehrperson mit dir Schritt für Schritt an eigenen Beispielen. Nachhilfe in Mathematik für das 1. und 2. Jahr am Gymnasium

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Trainer: Polynome und Polynomfunktionen

So funktioniert der Trainer

Neue Fragen zu Polynomen mit Erklärung nach jeder Antwort. Stufe 1 übt Grad, Leitkoeffizient und Einsetzen, Stufe 2 den Verlauf und die Nullstellen, Stufe 3 Nullstellen berechnen, Symmetrie und Funktionsterme.

Wie heisst der Leitkoeffizient von f(x) = 2x⁴ − 7x + 1?

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Einordnung

Typische Klasse: 1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Meist im 1. oder 2. Jahr am Gymnasium, nach den quadratischen Funktionen und den Potenzfunktionen. In der Differentialrechnung und der Kurvendiskussion kommen Polynome laufend wieder.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist ein Polynom?

Ein Polynom ist eine Summe aus Potenzen von x, jede mit einer Zahl davor, zum Beispiel 2x³ − 5x + 1. Die Hochzahlen sind natürliche Zahlen. Terme mit x im Nenner, einer Wurzel aus x oder x in der Hochzahl sind keine Polynome.

Was ist der Unterschied zwischen Polynom und Polynomfunktion?

Das Polynom ist der Term, zum Beispiel x³ − 4x. Die Polynomfunktion ordnet jedem x den Wert dieses Terms zu: f(x) = x³ − 4x. Statt Polynomfunktion sagt man auch ganzrationale Funktion.

Was ist eine kubische Funktion?

Eine Polynomfunktion vom Grad 3, zum Beispiel f(x) = x³ − 2x + 1. Ihr Graph kommt von links unten und geht nach rechts oben, wenn der Leitkoeffizient positiv ist. Sie hat mindestens eine und höchstens drei Nullstellen.

Wann kommen Polynomfunktionen am Gymnasium?

Meist im 1. oder 2. Jahr, nach den quadratischen Funktionen. Je nach Schule und Schwerpunktfach kann es früher oder später sein. In der Differentialrechnung und der Kurvendiskussion brauchst du Polynome dann laufend.

Polynome und Polynomfunktionen

Erklärung

Was ist ein Polynom?

Grad, Leitkoeffizient und Absolutglied

Wohin die Enden des Graphen zeigen

Symmetrie

Nullstellen und Linearfaktoren

Vielfachheit: schneiden oder berühren

Nullstellen finden

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Grad, Leitkoeffizient und Verlauf

Beispiel 2Nullstellen durch Ausklammern

Beispiel 3Graph aus der Produktform skizzieren

Beispiel 4Volumen einer Schachtel

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Einordnung

Häufige Fragen

Nullstelle

Hochzahl

Potenz

Graph

Natürliche Zahlen

Funktion

Glied

Term

Parabel

Vorzeichen

Nullproduktsatz

Quadratische Gleichung

Polynomdivision

Koeffizient

ausklammern

Substitution

y-Achsenabschnitt

Lösungsformel

ausmultiplizieren