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Fokus Nachhilfe

Höhensatz und Kathetensatz

Im rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe die Hypotenuse in zwei Abschnitte p und q. Der Höhensatz sagt h² = p · q, der Kathetensatz a² = c · p und b² = c · q.

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  • 2. Sek - 3. Sek
  • Zyklus 3
  • Lehrplan 21: MA.2.A.3.h
Zwei Jugendliche stehen vor einem alten Holzhaus mit steilem Giebeldach und schauen zum First hinauf.
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Das musst du wissen

Erklärung

Im fällt die Höhe vom rechten Winkel senkrecht auf die und teilt sie in zwei Abschnitte p und q. Der Höhensatz sagt h2=p·q, der Kathetensatz sagt a2=c·p und b2=c·q. Am Schluss ziehst du die Wurzel und hast die gesuchte Strecke.

Die Figur: Höhe und Abschnitte

Der rechte Winkel liegt bei C, also ist c die Hypotenuse. a und b sind die .

Von C aus zeichnest du die Höhe h. Sie steht senkrecht auf c. Ihr Fusspunkt D teilt c in zwei Hypotenusenabschnitte.

Der Abschnitt p liegt bei B, neben der Kathete a. Der Abschnitt q liegt bei A, neben b. Zusammen gilt p+q=c.

Merkep liegt neben a, q liegt neben b. Zusammen gilt p + q = c.

90°ABCh
Rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C. Die gestrichelte Höhe h von C teilt die Hypotenuse c in den Abschnitt q bei A und den Abschnitt p bei B.

Der Höhensatz

Das Quadrat der Höhe ist gleich gross wie das Produkt der beiden Abschnitte.

h2=p·q

Mit p=8 cm und q=2 cm: h2=8·2=16, also cm.

MerkeHöhe hoch zwei gleich p mal q.

90°ABCh
Rechtwinkliges Dreieck mit q = 2 cm bei A und p = 8 cm bei B. Die Höhe h von C auf die Hypotenuse ist 4 cm lang.

Der Kathetensatz

Das Quadrat einer Kathete ist so gross wie Hypotenuse mal Abschnitt, der neben dieser Kathete liegt.

a2=c·p  b2=c·q

Mit c=25 cm, p=16 cm und q=9 cm: a2=25·16=400, also a=20 cm. Und b2=25·9=225, also b=15 cm.

Als Fläche gesehen: Das Quadrat über der Kathete a ist gleich gross wie das Rechteck mit den Seiten c und p.

MerkeKathete hoch zwei gleich Hypotenuse mal Nachbar-Abschnitt.

90°ABCh
Rechtwinkliges Dreieck mit c = 25 cm, q = 9 cm bei A und p = 16 cm bei B. Die Kathete a ist 20 cm, die Kathete b 15 cm lang.

Welcher Abschnitt gehört zu welcher Kathete?

Schau auf die Ecken. Die Kathete a geht von B nach C. Ihr Abschnitt p beginnt ebenfalls bei B. Kathete und Abschnitt stossen also bei derselben Ecke der Hypotenuse zusammen.

Nicht jedes Lehrmittel nennt die Abschnitte gleich, manchmal sind p und q vertauscht. Die Regel mit der gemeinsamen Ecke stimmt immer.

MerkeKathete und ihr Abschnitt treffen sich in derselben Ecke.

Warum die Sätze stimmen

Die Höhe teilt das grosse Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke. Alle drei haben dieselben Winkel. Darum stehen ihre Seiten im gleichen Verhältnis.

Im linken kleinen Dreieck verhält sich h zu q wie im rechten p zu h:

h:q=p:h  ⇒  h2=p·q

Vergleichst du das grosse Dreieck mit einem kleinen, erhältst du so den Kathetensatz.

Die Satzgruppe des Pythagoras

Zählst du die beiden Kathetensätze zusammen, kommt der heraus:

a2+b2=c·p+c·q=c·(p+q)=c·c=c2

Pythagoras, Kathetensatz und Höhensatz gehören darum zusammen. Man nennt sie die Satzgruppe des Pythagoras. Oft brauchst du in einer Aufgabe zwei davon nacheinander.

MerkeDie beiden Kathetensätze zusammen ergeben a² + b² = c².

Höhensatz und Kathetensatz: Merkblatt mit Formel und Beispiel. h² = p · q. Beispiel: h² = 36, also ist die Höhe h = 6 cm lang.
Merkblatt Höhensatz und Kathetensatz: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

  • ✕Den falschen Abschnitt nehmen: a2=c·q.

    ✓Zur Kathete a gehört der Abschnitt p, der bei derselben Ecke B liegt: a2=c·p.

  • ✕Beim Höhensatz die Wurzel vergessen: p=9, q=4, also h=36 cm.

    ✓36 ist erst h2. Die Höhe ist cm.

  • ✕Den Höhensatz mit den Katheten rechnen: h2=a·b.

    ✓Im Höhensatz stehen nur die beiden Abschnitte der Hypotenuse: h2=p·q.

  • ✕Die Sätze in einem Dreieck ohne rechten Winkel anwenden.

    ✓Höhensatz und Kathetensatz gelten nur im rechtwinkligen Dreieck, und die Höhe muss vom rechten Winkel aus gezeichnet sein.

Begriffe zum Nachschlagen
Hypotenuse
Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt gegenüber vom rechten Winkel.
Kathete
Eine der beiden kürzeren Seiten. Die zwei Katheten bilden den rechten Winkel.
Hypotenusenabschnitt
Eines der zwei Stücke p und q, in die die Höhe die Hypotenuse teilt. Zusammen gilt p + q = c.
Höhensatz
Im rechtwinkligen Dreieck gilt h2=p·q: Das Quadrat der Höhe ist so gross wie das Produkt der beiden Abschnitte.
Kathetensatz
Im rechtwinkligen Dreieck gilt a2=c·p und b2=c·q: Kathete im Quadrat gleich Hypotenuse mal Nachbar-Abschnitt.
Satzgruppe des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras, der Kathetensatz und der Höhensatz zusammen.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Satz des PythagorasQuadratwurzel und Wurzeln

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Die Höhe mit dem Höhensatz

In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe die Hypotenuse in die Abschnitte p=9 cm und q=4 cm. Wie lang ist die Höhe h?

90°ABCh
Rechter Winkel bei C: Die Höhe h teilt die Hypotenuse in q = 4 cm bei A und p = 9 cm bei B. Die Höhe ist 6 cm lang.
Lösung Schritt für Schritt
  1. Gegeben sind beide Abschnitte, gesucht ist die Höhe. Das ist der Höhensatz:h2=p·q
  2. Setze ein und rechne aus:h2=9·4=36
  3. :

​h2=36, also ist die Höhe h=6 cm lang.

Beispiel 2Eine Kathete mit dem Kathetensatz

Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist c=10 cm lang, der Abschnitt bei A ist q=3.6 cm. Berechne die Kathete b.

90°ABCh
Rechter Winkel bei C: Hypotenuse c = 10 cm, Abschnitt q = 3.6 cm bei A. Die Kathete b von A nach C ist 6 cm lang.
Lösung Schritt für Schritt
  1. Die Kathete b geht von A nach C. Ihr Abschnitt liegt auch bei A, das ist q.
  2. Kathetensatz für b:b2=c·q=10·3.6=36
  3. Ziehe die Wurzel:

​b2=36, also ist die Kathete b=6 cm lang.

Beispiel 3Wie hoch liegt der First?

Ein Grossvater und seine Enkelin stehen vor einem Appenzeller Bauernhaus mit Giebeldach und schauen zum First hinauf.

Ein altes Bauernhaus im Appenzellerland hat ein Giebeldach. Die zwei Dachflächen treffen sich am First im rechten Winkel. Der First liegt nicht über der Mitte: Vom Punkt senkrecht unter dem First sind es 3.2 m bis zur linken und 5 m bis zur rechten Hauswand. Wie hoch liegt der First über dem Dachboden?

Lösung Schritt für Schritt
  1. Die Dachflächen bilden mit dem Dachboden ein rechtwinkliges Dreieck. Der rechte Winkel liegt oben am First.
  2. Der Dachboden ist die Hypotenuse. Die Höhe vom First teilt ihn in die Abschnitte 3.2 m und 5 m.
  3. Höhensatz:h2=3.2·5=16
  4. Ziehe die Wurzel:

​h2=16, also liegt der First h=4 m über dem Dachboden.

Beispiel 4Zwei Sätze nacheinander

In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Kathete a=15 cm und die Hypotenuse c=25 cm bekannt. Berechne die Abschnitte p und q und die Höhe h.

Lösung Schritt für Schritt
  1. Kathetensatz für a, nach p aufgelöst:a2=c·p ⇒ p=a2:c=225:25=9
  2. Der andere Abschnitt ist der Rest der Hypotenuse:q=c−p=25−9=16
  3. Jetzt der Höhensatz:h2=p·q=9·16=144
  4. Ziehe die Wurzel:

​p=9 cm, q=16 cm und h2=144, also h=12 cm.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

  1. 1

    Die Abschnitte sind p=8 cm und q=2 cm. Berechne die Höhe h.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​h2=16, also h=4 cm

    90°ABCh
    Rechter Winkel bei C, q = 2 cm bei A und p = 8 cm bei B. Die Höhe h ist 4 cm lang.
    1. Höhensatz: h2=p·q=8·2=16
    2. ​ cm
  2. 2

    Die Abschnitte sind p=12.5 cm und q=2 cm. Wie lang ist die Höhe?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​h2=25, also h=5 cm

    90°ABCh
    Rechter Winkel bei C, q = 2 cm bei A und p = 12.5 cm bei B. Die Höhe h ist 5 cm lang.
    1. ​h2=12.5·2=25
    2. ​ cm
  3. 3

    Die Hypotenuse ist c=9 cm, der Abschnitt bei B ist p=4 cm. Berechne die Kathete a.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​a2=36, also a=6 cm

    90°ABCh
    Rechter Winkel bei C, Hypotenuse c = 9 cm, Abschnitt p = 4 cm bei B. Die Kathete a von B nach C ist 6 cm lang.
    1. Zur Kathete a gehört der Abschnitt p.
    2. ​a2=c·p=9·4=36
    3. ​ cm
  4. 4

    Die Hypotenuse ist c=20 cm, der Abschnitt bei A ist q=5 cm. Berechne die Kathete b.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​b2=100, also b=10 cm

    90°ABCh
    Rechter Winkel bei C, Hypotenuse c = 20 cm, Abschnitt q = 5 cm bei A. Die Kathete b von A nach C ist 10 cm lang.
    1. Zur Kathete b gehört der Abschnitt q.
    2. ​b2=c·q=20·5=100
    3. ​ cm
  5. 5

    Die Abschnitte sind p=4.5 m und q=2 m. Wie lang ist die Höhe?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​h2=9, also h=3 m

    1. ​h2=4.5·2=9
    2. ​ m
  1. 6

    Die Höhe ist h=6 cm, der Abschnitt p=9 cm. Wie lang ist q?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​q=4 cm

    1. Höhensatz: h2=p·q, also 36=9·q
    2. ​q=36:9=4 cm
  2. 7

    Die Kathete ist a=12 cm, die Hypotenuse c=16 cm. Wie lang ist der Abschnitt p?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​p=9 cm

    1. Kathetensatz: a2=c·p, also 144=16·p
    2. ​p=144:16=9 cm
  3. 8

    Die Abschnitte sind p=7 cm und q=3 cm. Berechne die Kathete a. Runde auf .

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​a2=70, also a≈8.4 cm

    1. Zuerst die Hypotenuse: c=p+q=10 cm
    2. ​a2=c·p=10·7=70
    3. ​ cm
  4. 9

    Die Hypotenuse ist c=13 cm, der Abschnitt q=4 cm. Berechne die Höhe h.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​h2=36, also h=6 cm

    1. Der andere Abschnitt: p=13−4=9 cm
    2. ​h2=p·q=9·4=36
    3. ​ cm
  5. 10

    Die Höhe ist h=4.8 cm, der Abschnitt q=3.6 cm. Wie lang ist die Hypotenuse c?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​p=6.4 cm, also c=10 cm

    1. Höhensatz nach p aufgelöst: p=h2:q=23.04:3.6=6.4 cm
    2. ​c=p+q=6.4+3.6=10 cm
  1. 11

    Die Katheten sind a=6 cm und b=8 cm. Berechne p, q und die Höhe h.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​p=3.6 cm, q=6.4 cm, h2=23.04, also h=4.8 cm

    1. Pythagoras: c2=36+64=100, also c=10 cm
    2. Kathetensatz: p=a2:c=3.6 cm und q=b2:c=6.4 cm
    3. Höhensatz: h2=3.6·6.4=23.04, also h=4.8 cm
  2. 12

    Die Hypotenuse ist 25 cm lang, die Höhe 12 cm. Wie lang sind die beiden Abschnitte?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 16 cm und 9 cm, denn 16·9=144 und 16+9=25

    1. Höhensatz: p·q=122=144
    2. Ausserdem gilt p+q=25.
    3. Suche zwei Zahlen mit Produkt 144 und Summe 25: 16 und 9.
  3. 13

    Die Abschnitte sind p=9 cm und q=16 cm. Wie gross ist die Fläche des Dreiecks?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: Die Höhe ist 12 cm, die Fläche 150 cm².

    1. Höhensatz: h2=9·16=144, also h=12 cm
    2. Grundseite: c=9+16=25 cm
    3. Fläche: 25·12:2=150 cm²
  4. 14

    In einem Dreieck sind c=10 cm, p=6.4 cm und q=3.6 cm. Zeige mit den beiden Kathetensätzen, dass a2+b2=c2 gilt.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​a2+b2=64+36=100=c2

    1. ​a2=c·p=10·6.4=64
    2. ​b2=c·q=10·3.6=36
    3. ​a2+b2=100, und c2=102=100.
  5. 15

    Die Katheten sind a=9 cm und b=12 cm. Wie lang ist die Höhe h auf die Hypotenuse?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​c=15 cm und h=7.2 cm

    1. Pythagoras: c2=81+144=225, also c=15 cm
    2. Die Fläche ist 9·12:2=54 cm². Sie ist auch c·h:2.
    3. Also h=9·12:15=7.2 cm

Verwechselt dein Kind beim Kathetensatz noch p und q oder vergisst es die Wurzel, übt eine Lehrperson mit ihm die Skizzen Schritt für Schritt. Nachhilfe in Mathematik für die Sek

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Trainer: Höhensatz und Kathetensatz

So funktioniert der Trainer

Fragen zu Höhe, Katheten und Hypotenusenabschnitten mit Rückmeldung und Rechenweg. Stufe 1 übt den Höhensatz, Stufe 2 den Kathetensatz, Stufe 3 Aufgaben, in denen du zwei Sätze verbindest.

p = 4 cm, q = 9 cm. Wie lang ist die Höhe h in cm?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse
2. Sek - 3. Sek
Zyklus
Zyklus 3
Fach
Mathematik

Meist in der 2. oder 3. Sek, vor allem im höheren Niveau, kurz nach dem Satz des Pythagoras. Sonst kommen die beiden Sätze im Gymnasium, zusammen mit Pythagoras als Satzgruppe des Pythagoras.

  • MA.2.A.3.hIm rechtwinkligen Dreieck Höhe, Katheten und Hypotenusenabschnitte mit Höhensatz und Kathetensatz berechnen, als Ergänzung zum Satz des Pythagoras.
  • MA.2.B.2.gHöhensatz und Kathetensatz an Zahlenbeispielen prüfen und nachvollziehen, warum aus den beiden Kathetensätzen der Satz des Pythagoras folgt.
  • MA.2.A.3.kErkennen, dass die Höhe ein rechtwinkliges Dreieck in zwei kleinere Dreiecke mit denselben Winkeln teilt, und daraus gleiche Verhältnisse ablesen.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernt man Höhensatz und Kathetensatz?

Meist in der 2. oder 3. Sek, vor allem im höheren Niveau, kurz nach dem Satz des Pythagoras. An manchen Schulen kommen die beiden Sätze erst im Gymnasium, dort als Satzgruppe des Pythagoras.

Was ist der Unterschied zwischen Höhensatz und Kathetensatz?

Der Höhensatz h2=p·q berechnet die Höhe aus den beiden Abschnitten der Hypotenuse. Der Kathetensatz a2=c·p berechnet eine Kathete aus der Hypotenuse und dem Abschnitt neben dieser Kathete.

Was ist die Satzgruppe des Pythagoras?

So heissen der Satz des Pythagoras, der Kathetensatz und der Höhensatz zusammen. Alle drei gelten im rechtwinkligen Dreieck, und aus den beiden Kathetensätzen folgt der Satz des Pythagoras.

Gelten Höhensatz und Kathetensatz in jedem Dreieck?

Nein, nur im rechtwinkligen Dreieck. Die Höhe muss vom rechten Winkel aus auf die Hypotenuse gezeichnet werden.

Stand 08.11.2026. Alle Erklärungen und Aufgaben hat Fokus Nachhilfe selbst geschrieben, nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz. Trainer und Lösungen rechnet ein Programm, nicht eine KI. Fehler gefunden?