Binomialverteilung und Bernoulli-Kette

Die Binomialverteilung gibt an, wie wahrscheinlich genau k Treffer sind, wenn du ein Zufallsexperiment mit zwei Ausgängen n-mal unabhängig wiederholst. Du rechnest sie mit der Bernoulli-Formel aus Binomialkoeffizient und Pfadwahrscheinlichkeit.

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2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Jugendliche werfen auf einem Pausenplatz Münzen und lassen sie auf einen Holztisch fallen.

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Das musst du wissen

Erklärung

Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl Treffer, wenn du ein Zufallsexperiment mit zwei Ausgängen n-mal unabhängig wiederholst. Die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer ist $P (X = k) = (k n) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}$ . Prüf am Schluss, ob «genau», «höchstens» oder «mindestens» gefragt ist.

Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette

Ein Bernoulli-Experiment hat zwei Ausgänge: Treffer mit Wahrscheinlichkeit p und Niete mit 1−p. Beim Würfeln etwa: Treffer «6», p=16.

Wiederholst du es n-mal unabhängig mit gleichem p, ist das eine Bernoulli-Kette der Länge n. Beispiele: Münzwürfe, Ziehen mit Zurücklegen.

Ohne Zurücklegen ändert sich p nach jedem Zug: keine Bernoulli-Kette.

MerkeBernoulli-Kette: zwei Ausgänge, n Versuche, p bleibt immer gleich.

Die Bernoulli-Formel

Du würfelst dreimal. Wie wahrscheinlich sind genau zwei Sechsen? Treffer T ist «6», Niete N ist «keine 6».

Günstig sind die Pfade TTN, TNT und NTT. Nach der Pfadregel hat jeder davon 16·16·56=5216.

Die Anzahl Pfade ist $(2 3) = 3$ . Also:

P(X=2)=3·5216=15216=572

Allgemein zählt X die Treffer, und es gilt:

P (X = k) = (k n) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

MerkeAnzahl Pfade mal Wahrscheinlichkeit eines Pfades.

Säulen für drei Würfe mit p = 1/6, Wahrscheinlichkeiten in Prozent für k = 0 bis 3: 57.9, 34.7, 6.9 und 0.5.

Die ganze Verteilung

Rechnest du P(X=k) für jedes k von 0 bis n aus, erhältst du die Binomialverteilung, kurz $B (n; p)$ .

Vier Münzwürfe, X = Anzahl Kopf: Die Pfadzahlen sind 1, 4, 6, 4, 1, jeder Pfad hat 116. Alle Wahrscheinlichkeiten geben zusammen 1.

Bei p=12 ist die Verteilung symmetrisch. Bei kleinem p liegen die hohen Säulen links, bei grossem p rechts.

Säulen für vier Münzwürfe, Wahrscheinlichkeiten in Prozent für k = 0 bis 4: 6.25, 25, 37.5, 25 und 6.25. Die Verteilung ist symmetrisch.

Höchstens und mindestens

«Höchstens 2» heisst X≤2: Du addierst P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).

«Mindestens 1» geht schneller mit dem Gegenereignis «kein Treffer»: P(X≥1)=1−P(X=0).

Sechsmal würfeln, mindestens eine 6:

P (X \geq 1) = 1 - (\frac{5}{6})^{6} \approx 1 - 0.335 = 0.665

Auch nach sechs Würfen ist eine 6 also nicht sicher.

MerkeMindestens k heisst 1 minus höchstens k − 1.

Erwartungswert und Standardabweichung

Der Erwartungswert sagt, wie viele Treffer du im Mittel erwartest:

μ = E (X) = n \cdot p

Bei 60 Würfen erwartest du 60·16=10 Sechsen. Die höchste Säule liegt beim Erwartungswert oder direkt daneben.

Die Standardabweichung misst, wie stark die Trefferzahl um $μ$ schwankt. Sie ist die Wurzel aus der Varianz n·p·(1−p):

σ = n \cdot p \cdot (1 - p) = 60 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \approx 2.89

Merkeμ = n · p und σ = √(n · p · (1 − p)).

Binomialverteilung: Merkblatt mit Formel und Beispiel. P(X = k) = nk · p^k · (1-p)^n-k. = E(X) = n · p. Beispiel: P(X = 2) = 625/3888 ≈ 0.161, also etwa 16.1 %. — Merkblatt Binomialverteilung: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕Dreimal würfeln, genau zwei Sechsen: $(\frac{1}{6})^{2} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{216}$
✓Das ist nur ein Pfad. Es gibt $(2 3) = 3$ solche Pfade: 3·5216=572.
✕P(X≥2)=1−P(X≤2)
✓Das Gegenereignis von «mindestens 2» ist «höchstens 1»: P(X≥2)=1−P(X≤1).
✕ $P (X = k) = (k n) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n}$
✓Es gibt nur n−k Nieten, also $(1 - p)^{n - k}$ .
✕Aus 20 Losen mit 5 Gewinnen ziehst du 3 ohne Zurücklegen. Die Anzahl Gewinne ist binomialverteilt.
✓Ohne Zurücklegen ändert sich p nach jedem Zug. Das ist keine Bernoulli-Kette, rechne mit dem Baumdiagramm.

Begriffe zum Nachschlagen

Bernoulli-Experiment: Zufallsexperiment mit genau zwei Ausgängen, Treffer und Niete.
Bernoulli-Kette: n unabhängige Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments, bei denen die Trefferwahrscheinlichkeit p gleich bleibt.
Trefferwahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer bei einem einzelnen Versuch.
Binomialverteilung: Verteilung der Trefferzahl X in einer Bernoulli-Kette: $P (X = k) = (k n) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}$ .
Erwartungswert: Mittlere Trefferzahl auf lange Sicht, bei der Binomialverteilung $μ = n \cdot p$ .
Standardabweichung: Mass für die Streuung um den Erwartungswert, bei der Binomialverteilung $σ = n \cdot p \cdot (1 - p)$ .

Noch unsicher? Zuerst lernen:Wahrscheinlichkeit und Baumdiagramm Binomialkoeffizient und pascalsches Dreieck

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Genau zwei Sechsen in fünf Würfen

Du würfelst fünfmal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Sechsen?

Säulen für fünf Würfe mit p = 1/6, Wahrscheinlichkeiten in Prozent für k = 0 bis 5: 40.2, 40.2, 16.1, 3.2, 0.3 und fast 0.

Lösung Schritt für Schritt

Treffer ist «6». Also ist n=5, p=16 und k=2.
Anzahl Pfade mit genau zwei Treffern: $(2 5) = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$
Wahrscheinlichkeit eines Pfades: zwei Treffer, drei Nieten. $(\frac{1}{6})^{2} \cdot (\frac{5}{6})^{3} = \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{125}{7776}$
Beides multiplizieren und kürzen:10·1257776=12507776=6253888≈0.161

P(X=2)=6253888≈0.161, also etwa 16.1 %

Beispiel 2Raten beim Quiz im Klassenlager

Jugendliche sitzen in einem Lagerhaus aus Holz am Tisch und lösen ein Quiz, ein Knabe kratzt sich ratlos am Kopf.

Beim Quiz im Klassenlager in Engelberg gibt es 6 Fragen mit je 4 Antworten, genau eine ist richtig. Nico weiss nichts und rät bei jeder Frage. Wie wahrscheinlich hat er genau 2 Fragen richtig?

Lösung Schritt für Schritt

Jede Frage ist ein Versuch mit Treffer «richtig geraten». Also n=6, p=14, k=2.
Anzahl Pfade: $(2 6) = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$
Ein Pfad hat zwei Treffer und vier Nieten: $(\frac{1}{4})^{2} \cdot (\frac{3}{4})^{4} = \frac{1}{16} \cdot \frac{81}{256} = \frac{81}{4096}$
Multiplizieren:15·814096=12154096≈0.297

P(X=2)=12154096≈0.297, also knapp 30 %

Beispiel 3Höchstens zweimal Kopf

Du wirfst eine Münze sechsmal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zweimal Kopf kommt?

Lösung Schritt für Schritt

n=6, p=12. «Höchstens 2» heisst X=0, X=1 oder X=2.
Bei p=12 hat jeder Pfad dieselbe Wahrscheinlichkeit: $(\frac{1}{2})^{6} = \frac{1}{64}$
Pfade zählen: $(0 6) + (1 6) + (2 6) = 1 + 6 + 15 = 22$
Multiplizieren und kürzen:P(X≤2)=2264=1132≈0.344

P(X≤2)=1132≈0.344

Beispiel 4Sonnenblumen auf dem Balkon

Ein Mädchen drückt auf einem Balkon Samen in Blumentöpfe, daneben stehen kleine Keimlinge.

Auf der Samenpackung steht: 80 % der Kerne keimen. Elena aus Biel sät 10 Kerne. Wie viele Kerne keimen im Mittel, und wie wahrscheinlich keimen mindestens 9?

Lösung Schritt für Schritt

Treffer ist «Kern keimt»: n=10, p=0.8.
Erwartungswert: $μ = n \cdot p = 10 \cdot 0.8 = 8$
Mindestens 9 heisst 9 oder 10 Treffer: $P (X = 9) = (9 10) \cdot 0. 8^{9} \cdot 0.2 \approx 0.2684$
Dazu alle 10:P(X=10)=0.8¹⁰≈0.1074
Addieren:P(X≥9)≈0.2684+0.1074≈0.376

Im Mittel keimen 8 Kerne. Mindestens 9 keimen mit P(X≥9)=3'670'0169'765'625≈0.376, also etwa 37.6 %.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
In einem Säckli liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Du ziehst viermal mit Zurücklegen und zählst die roten. Ist das eine Bernoulli-Kette? Gib n und p an.
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Ergebnis: Ja, n=4 und p=35
1. Zwei Ausgänge: rot (Treffer) oder blau (Niete).
2. Mit Zurücklegen bleibt die Wahrscheinlichkeit bei jedem Zug gleich.
3. p=35, vier Züge: n=4.
2
Du wirfst eine Münze dreimal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für genau zweimal Kopf?
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Ergebnis: 38
Säulen für drei Münzwürfe, Wahrscheinlichkeiten in Prozent für k = 0 bis 3: 12.5, 37.5, 37.5 und 12.5. Bei k = 2 steht 37.5.
1. Günstige Pfade: KKZ, KZK, ZKK, also $(2 3) = 3$ .
2. Jeder Pfad: $(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$
3. 3·18=38
3
Du würfelst viermal. Wie wahrscheinlich ist es, dass keine 6 kommt?
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Ergebnis: 6251296≈0.482
Säulen für vier Würfe mit p = 1/6, Wahrscheinlichkeiten in Prozent für k = 0 bis 4: 48.2, 38.6, 11.6, 1.5 und 0.1. Bei k = 0 steht 48.2.
1. Kein Treffer heisst k=0: Es gibt nur einen Pfad, NNNN.
2. $(\frac{5}{6})^{4} = \frac{625}{1296}$
3. Das sind etwa 48.2 %.
4
Du würfelst 120-mal. Wie viele Sechsen erwartest du?
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Ergebnis: 20 Sechsen
1. $μ = n \cdot p$
2. 120·16=20
5
Du wirfst eine Münze viermal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Mal Kopf kommt?
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Ergebnis: 116
Säulen für vier Münzwürfe, Wahrscheinlichkeiten in Prozent für k = 0 bis 4: 6.25, 25, 37.5, 25 und 6.25. Bei k = 4 steht 6.25.
1. Es gibt nur einen Pfad: KKKK.
2. $(\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{16}$ , also 6.25 %.

6
Du wirfst eine Münze achtmal. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau dreimal Kopf.
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Ergebnis: 732≈0.219
1. $(3 8) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$
2. Jeder Pfad: $(\frac{1}{2})^{8} = \frac{1}{256}$
3. 56256=732
7
Am Glücksrad der Chilbi gewinnst du bei jedem Dreh mit Wahrscheinlichkeit 14. Du drehst fünfmal. Wie wahrscheinlich gewinnst du mindestens einmal?
Lösung zeigen
Ergebnis: 7811024≈0.763
1. Gegenereignis: fünfmal kein Gewinn.
2. $(\frac{3}{4})^{5} = \frac{243}{1024}$
3. 1−2431024=7811024
8
Eine Bernoulli-Kette hat n=100 und p=0.2. Berechne Erwartungswert und Standardabweichung.
Lösung zeigen
Ergebnis: $μ = 20$ , Varianz 16, $σ = 4$
1. $μ = 100 \cdot 0.2 = 20$
2. n·p·(1−p)=100·0.2·0.8=16
3. $σ = 16 = 4$
9
Du wirfst eine Münze viermal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens zweimal Kopf?
Lösung zeigen
Ergebnis: 1116
1. Gegenereignis von X≥2 ist X≤1.
2. P(X=0)=116 und P(X=1)=416
3. 1−116−416=1116
10
In einer Schachtel liegen 10 Lose, 3 davon gewinnen. Du ziehst 2 Lose ohne Zurücklegen. Ist das eine Bernoulli-Kette? Wie wahrscheinlich ziehst du zwei Gewinne?
Lösung zeigen
Ergebnis: Nein; P=115
1. Ohne Zurücklegen ändert sich die Gewinnwahrscheinlichkeit nach dem ersten Zug. Also keine Bernoulli-Kette.
2. Pfadregel: 310·29=690
3. 690=115

11
Wie oft musst du mindestens würfeln, damit du mit mehr als 50 % Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 bekommst?
Lösung zeigen
Ergebnis: 4-mal, denn $1 - (\frac{5}{6})^{4} = \frac{671}{1296} \approx 0.518$
1. Gesucht ist das kleinste n mit $1 - (\frac{5}{6})^{n} > 0.5$ , also $(\frac{5}{6})^{n} < 0.5$ .
2. n=3: $(\frac{5}{6})^{3} \approx 0.579$ , zu gross.
3. n=4: $(\frac{5}{6})^{4} \approx 0.482$ , das reicht.
4. Mit Logarithmus: $n > \frac{ln 0.5}{ln \frac{5}{6}} \approx 3.8$
12
Eine Bernoulli-Kette hat n=10 und p=0.3. Welche Trefferzahl k ist am wahrscheinlichsten? Begründe mit zwei Nachbarwerten.
Lösung zeigen
Ergebnis: k=3
1. Der Erwartungswert ist 10·0.3=3, die höchste Säule liegt dort oder daneben.
2. P(X=2)≈0.233, P(X=3)≈0.267, P(X=4)≈0.200
3. Also ist k=3 am wahrscheinlichsten.
13
Ein Test hat 8 Fragen, jede mit den Antworten «richtig» oder «falsch». Bestanden hat, wer mindestens 6 richtig hat. Wie wahrscheinlich besteht jemand, der nur rät?
Lösung zeigen
Ergebnis: 37256≈0.145
1. n=8, p=12, gesucht P(X≥6).
2. Pfade: $(6 8) + (7 8) + (8 8) = 28 + 8 + 1 = 37$
3. Jeder Pfad hat 1256, also 37256.
14
Bei zwei Versuchen ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer 0.64. Wie gross ist p?
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Ergebnis: p=0.4
1. P(X≥1)=1−(1−p)²=0.64
2. (1−p)²=0.36, also 1−p=0.6
3. p=1−0.6=0.4

Hängt es bei «mindestens» und «höchstens» oder beim Aufstellen der Bernoulli-Kette, rechnet eine Lehrperson mit dir Aufgaben aus deinen Prüfungen durch. Nachhilfe in Mathematik für das Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Binomialverteilung

So funktioniert der Trainer

Neue Fragen zur Binomialverteilung mit Rückmeldung und Erklärung. Stufe 1 übt Bernoulli-Ketten erkennen und Erwartungswert, Stufe 2 rechnet mit der Bernoulli-Formel, Stufe 3 bringt Gegenereignis, Mindest-Anzahl und Rückwärtsrechnen.

Eine Bernoulli-Kette hat n = 50 und p = 0.2. Wie gross ist der Erwartungswert?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im 2. oder 3. Jahr in der Stochastik, nach Baumdiagramm und Binomialkoeffizient. Danach folgt oft die Normalverteilung.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Wann ist eine Zufallsgrösse binomialverteilt?

Wenn ein Versuch nur zwei Ausgänge hat, er n-mal unabhängig wiederholt wird und die Trefferwahrscheinlichkeit p bei jedem Versuch gleich bleibt. X zählt dann die Treffer. Ziehen ohne Zurücklegen erfüllt das nicht.

Wie rechne ich die Binomialverteilung mit dem Taschenrechner?

Viele Schulrechner haben zwei Funktionen: eine für «genau k» (oft PD oder binompdf) und eine für «höchstens k» (oft CD oder binomcdf). Du gibst n, p und k ein. Für «mindestens k» rechnest du 1 minus «höchstens k − 1».

Was ist der Unterschied zwischen Bernoulli-Verteilung und Binomialverteilung?

Die Bernoulli-Verteilung beschreibt einen einzigen Versuch mit Treffer oder Niete. Die Binomialverteilung zählt die Treffer in n solchen Versuchen. Für n = 1 sind beide gleich.

In welcher Klasse kommt die Binomialverteilung?

Meist im 2. oder 3. Jahr am Gymnasium, nach dem Baumdiagramm und dem Binomialkoeffizienten. Sie ist die Grundlage für die Normalverteilung und für Tests in der Statistik.