Binäre Zahlen und das Binärsystem

Im Binärsystem schreibst du jede Zahl nur mit den Ziffern 0 und 1. Jede Stelle ist doppelt so viel wert wie die Stelle rechts daneben: 1, 2, 4, 8, 16 und so weiter.

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1. Sek - 3. Sek
Zyklus 3
Lehrplan 21: MA.3.A.1.m

Ein Junge und ein Mädchen schalten im Schulzimmer kleine Schalter an einem Holzbrett; vier Lämpchen leuchten, eines ist aus.

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Das musst du wissen

Erklärung

Binäre Zahlen bestehen nur aus den Ziffern 0 und 1. Jede Stelle ist doppelt so viel wert wie die Stelle rechts daneben. Um eine binäre Zahl zu lesen, zählst du die Stellenwerte zusammen, unter denen eine 1 steht.

Zehnersystem und Zweiersystem

Im Zehnersystem bündelst du immer 10 Einer zu einem Zehner und 10 Zehner zu einem Hunderter. Darum gibt es zehn Ziffern, 0 bis 9.

Im Zweiersystem bündelst du schon 2: Zwei Einer sind ein Zweier, zwei Zweier ein Vierer. Mehr als die Ziffern 0 und 1 brauchst du darum nie.

MerkeZehnersystem: Ziffern 0 bis 9, Bündel von 10. Binärsystem: Ziffern 0 und 1, Bündel von 2.

Die Stellenwerte: 1, 2, 4, 8, 16 …

Von rechts nach links verdoppelt sich der Stellenwert: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Das sind die von 2, zum Beispiel 2³=8. Auch der Einer passt dazu: 2⁰=1.

Damit du eine binäre Zahl nicht mit einer Zahl im Zehnersystem verwechselst, schreibst du eine kleine 2 dazu: $101 1_{2}$ .

Zahlenstrahl von 0 bis 16 mit den Stellenwerten 1, 2, 4, 8 und 16: Jeder ist doppelt so gross wie der vorige.

Binär in dezimal umrechnen

Schreib die Stellenwerte über die Ziffern. Dann zählst du die Stellenwerte zusammen, unter denen eine 1 steht. Eine 0 zählt nichts.

101 1_{2} = 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 11

MerkeNur die Stellen mit einer 1 zählen.

Die binäre Zahl 1011 als Säulen: Die 8er-, die 2er- und die 1er-Stelle tragen 8, 2 und 1 bei, die 4er-Stelle nichts. Zusammen 11.

Dezimal in binär: Stellenwerte abziehen

Suche den grössten Stellenwert, der in die Zahl passt, und zieh ihn ab. Mach mit dem Rest weiter, bis 0 übrig bleibt.

Jeder benutzte Stellenwert bekommt eine 1, jeder übersprungene eine 0. So wird 13=8+4+1 zu $110 1_{2}$ .

MerkeÜbersprungene Stellen bekommen eine 0, sonst stimmt die Zahl nicht.

Dezimal in binär: immer durch 2 teilen

Teile die Zahl durch 2 und schreib den Rest auf, 0 oder 1. Teile das Ergebnis wieder durch 2, bis 0 herauskommt.

Die Reste liest du von unten nach oben. Bei 13: 13:2=6 Rest 1, 6:2=3 Rest 0, 3:2=1 Rest 1, 1:2=0 Rest 1. Das gibt $110 1_{2}$ .

MerkeDer erste Rest ist die Einerstelle. Darum von unten nach oben lesen.

Binär addieren

Du rechnest wie bei der schriftlichen Addition, nur gibt es den Übertrag schon bei 2: $1 + 1 = 1 0_{2}$ , also schreibst du 0 und behältst 1. Bei $1 + 1 + 1 = 1 1_{2}$ schreibst du 1 und behältst 1.

So ist $10 1_{2} + 1 1_{2} = 100 0_{2}$ , im Zehnersystem 5+3=8.

Bit und Byte

Ein Computer speichert alles als Folge von 0 und 1. Eine einzelne Stelle heisst Bit, 8 Bit sind ein Byte.

Mit 8 Bit gibt es 2⁸=256 verschiedene Zahlen, von 0 bis 255. Die grösste ist $1111111 1_{2} = 255$ .

Wie viele verschiedene Zahlen mit 1 bis 5 Bit möglich sind: 2, 4, 8, 16 und 32. Jedes Bit mehr verdoppelt die Anzahl.

Binärsystem und Dualzahlen (binäre zahlen): Merkblatt mit Regel und Beispiel. Zehnersystem: Ziffern 0 bis 9, Bündel von 10. Binärsystem: Ziffern 0 und 1, Bündel von 2. Beispiel: 10110_2 = 22. — Merkblatt Binärsystem und Dualzahlen: Regel und Beispiel Schritt für Schritt.

Häufige Fehler

✕ $10 1_{2}$ als «hunderteins» lesen und für 101 halten.
✓Lies Ziffer für Ziffer: «eins null eins». Der Wert ist 4+1=5.
✕Die Stellenwerte von links her vergeben, also bei $11 0_{2}$ die linke 1 als Einer zählen und 3 erhalten.
✓Die Einerstelle steht immer ganz rechts: $11 0_{2} = 4 + 2 = 6$ .
✕Übersprungene Stellen weglassen: 10 als $1 1_{2}$ schreiben, weil 10=8+2.
✓Die 4er- und die 1er-Stelle brauchen eine 0: $10 = 101 0_{2}$ .
✕Beim Teilen durch 2 die Reste von oben nach unten lesen: 6 wird zu $01 1_{2}$ .
✓Von unten nach oben lesen: $6 = 11 0_{2}$ . Probe: 4+2=6.

Begriffe zum Nachschlagen

Binärsystem: Ein Zahlensystem mit nur zwei Ziffern, 0 und 1. Andere Namen: Dualsystem, Zweiersystem.
Binärzahl: Eine Zahl, die im Binärsystem geschrieben ist, zum Beispiel $101 1_{2}$ . Auch Dualzahl oder binäre Zahl.
Dezimalsystem: Unser gewohntes Zahlensystem mit den zehn Ziffern 0 bis 9. Auch Zehnersystem.
Stellenwert: Was eine Ziffer wert ist, je nachdem, wo sie steht. Im Binärsystem: 1, 2, 4, 8, 16 und so weiter.
Bit: Eine einzelne Stelle einer Binärzahl, also eine 0 oder eine 1.
Byte: 8 Bit zusammen. Ein Byte kann die Zahlen von 0 bis 255 speichern.
Übertrag: Was beim schriftlichen Rechnen in die nächste Stelle weitergeht. Im Binärsystem schon bei 2.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Zahlen bis 1000 und Stellenwerte Teilen und Division mit Rest

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Binär in dezimal

Welche Zahl ist $1011 0_{2}$ im Zehnersystem?

Die binäre Zahl 10110: Die 16er-, 4er- und 2er-Stelle tragen 16, 4 und 2 bei, zusammen 22.

Lösung Schritt für Schritt

Schreib die Stellenwerte von rechts nach links über die Ziffern: 1, 2, 4, 8, 16. $16180412110$
Eine 1 steht unter 16, 4 und 2.1·16+0·8+1·4+1·2+0·1
Zusammenzählen:16+4+2=22

$1011 0_{2} = 22$

Beispiel 2Dezimal in binär mit Stellenwerten

Schreibe 37 als binäre Zahl.

Die binäre Zahl 100101: Nur die 32er-, 4er- und 1er-Stelle tragen etwas bei, zusammen 37.

Lösung Schritt für Schritt

Die Stellenwerte bis 37 sind 1, 2, 4, 8, 16 und 32. Der grösste, der passt, ist 32.37−32=5
16 und 8 passen nicht in 5, die nächste Stelle, die passt, ist 4.5−4=1
2 passt nicht in 1, die 1 passt.1−1=0
Eine 1 bei 32, 4 und 1, eine 0 bei 16, 8 und 2. $37 = 10010 1_{2}$
Probe:32+4+1=37

$37 = 10010 1_{2}$

Beispiel 3Dezimal in binär durch Teilen

Schreibe 25 als binäre Zahl. Teile dazu immer durch 2.

Lösung Schritt für Schritt

Teile durch 2 und notiere den Rest:25:2=12 Rest 1
Weiter mit dem Ergebnis:12:2=6 Rest 0 6:2=3 Rest 0
Bis 0 herauskommt:3:2=1 Rest 1 1:2=0 Rest 1
Die Reste von unten nach oben gelesen: $25 = 1100 1_{2}$
Probe mit den Stellenwerten:16+8+1=25

$25 = 1100 1_{2}$

Beispiel 4Lämpchen als Bits

Ein Junge steckt im Werkraum sechs Lämpchen in einer Reihe auf ein Holzbrett; vier leuchten. Eine Lehrerin schaut lächelnd zu.

Leon aus Aarau baut im Werken eine Anzeige mit 6 Lämpchen in einer Reihe. Ein leuchtendes Lämpchen bedeutet 1, ein dunkles 0. Welche grösste Zahl kann die Anzeige zeigen?

Lösung Schritt für Schritt

Die grösste Zahl entsteht, wenn alle 6 Lämpchen leuchten. $11111 1_{2}$
Die Stellenwerte von 6 Stellen sind 32, 16, 8, 4, 2 und 1. Alle zählen:32+16+8+4+2+1=63
Kontrolle: Mit 6 Bit gibt es 2⁶=64 Zahlen. Weil die 0 dazugehört, ist die grösste 63.

Die Anzeige kann höchstens 63 zeigen.

Beispiel 5Zwei Binärzahlen addieren

Rechne $101 1_{2} + 11 0_{2}$ binär.

Lösung Schritt für Schritt

Schreib die Zahlen rechtsbündig untereinander, wie bei der schriftlichen Addition. $1011 + 0110$
Einerstelle: 1+0=1. Zweierstelle: $1 + 1 = 1 0_{2}$ , schreib 0, Übertrag 1.
Viererstelle: $0 + 1 + 1 = 1 0_{2}$ , schreib 0, Übertrag 1. Achterstelle: $1 + 0 + 1 = 1 0_{2}$ , schreib 0, Übertrag 1.
Der letzte Übertrag kommt vorne dazu. $101 1_{2} + 11 0_{2} = 1000 1_{2}$
Probe im Zehnersystem:11+6=17=16+1

$101 1_{2} + 11 0_{2} = 1000 1_{2}$ , im Zehnersystem 11+6=17.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Welche Zahl ist $10 1_{2}$ im Zehnersystem?
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Ergebnis: $10 1_{2} = 5$
Die binäre Zahl 101: Die 4er- und die 1er-Stelle tragen 4 und 1 bei, zusammen 5.
1. Stellenwerte von rechts: 1, 2, 4.
2. Eine 1 steht unter 4 und unter 1.
3. 4+1=5
2
Welche Zahl ist $110 0_{2}$ im Zehnersystem?
Lösung zeigen
Ergebnis: $110 0_{2} = 12$
Die binäre Zahl 1100: Die 8er- und die 4er-Stelle tragen 8 und 4 bei, zusammen 12.
1. Stellenwerte von rechts: 1, 2, 4, 8.
2. Eine 1 steht unter 8 und unter 4.
3. 8+4=12
3
Welche Zahl ist $11 1_{2}$ im Zehnersystem?
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Ergebnis: $11 1_{2} = 7$
Die binäre Zahl 111: Alle drei Stellen tragen etwas bei, 4, 2 und 1, zusammen 7.
1. Alle drei Stellen haben eine 1.
2. 4+2+1=7
4
Schreibe 6 als binäre Zahl.
Lösung zeigen
Ergebnis: $6 = 11 0_{2}$
Die Zahl 6 binär: Die 4er- und die 2er-Stelle tragen 4 und 2 bei, die 1er-Stelle ist 0.
1. Der grösste Stellenwert, der in 6 passt, ist 4. Es bleibt 2.
2. Die 2 passt genau, es bleibt 0.
3. 1 bei 4 und 2, 0 bei 1: $11 0_{2}$ . Probe: 4+2=6.
5
Welcher Stellenwert kommt im Binärsystem nach 1, 2, 4, 8, 16?
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Ergebnis: 32
1. Jeder Stellenwert ist doppelt so gross wie der vorige.
2. 16·2=32

6
Welche Zahl ist $1101 0_{2}$ im Zehnersystem?
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Ergebnis: $1101 0_{2} = 26$
1. Stellenwerte von rechts: 1, 2, 4, 8, 16.
2. Eine 1 steht unter 16, 8 und 2.
3. 16+8+2=26
7
Schreibe 19 als binäre Zahl.
Lösung zeigen
Ergebnis: $19 = 1001 1_{2}$
1. 19−16=3, 8 und 4 passen nicht in 3.
2. 3−2=1, 1−1=0.
3. 1 bei 16, 2 und 1: $1001 1_{2}$ . Probe: 16+2+1=19.
8
Schreibe 40 als binäre Zahl.
Lösung zeigen
Ergebnis: $40 = 10100 0_{2}$
1. 40−32=8, die 16 passt nicht in 8.
2. 8−8=0, alle kleineren Stellen sind 0.
3. $10100 0_{2}$ . Probe: 32+8=40.
9
Rechne $10 1_{2} + 11 0_{2}$ binär.
Lösung zeigen
Ergebnis: $101 1_{2}$ , im Zehnersystem 5+6=11
1. Einer: 1+0=1. Zweier: 0+1=1.
2. Vierer: $1 + 1 = 1 0_{2}$ , schreib 0, Übertrag 1 nach vorne.
3. Ergebnis $101 1_{2}$ . Probe: 8+2+1=11.
10
Wie viele verschiedene Zahlen kannst du mit 4 Bit schreiben?
Lösung zeigen
Ergebnis: 16 Zahlen, von 0 bis 15
1. Jedes Bit kann 0 oder 1 sein, jedes Bit mehr verdoppelt die Anzahl.
2. 2·2·2·2=16
3. Die kleinste ist $000 0_{2} = 0$ , die grösste $111 1_{2} = 15$ .

11
Schreibe 100 als binäre Zahl.
Lösung zeigen
Ergebnis: $100 = 110010 0_{2}$
1. 100−64=36, 36−32=4.
2. 16 und 8 passen nicht in 4, 4−4=0.
3. 1 bei 64, 32 und 4, sonst 0: $110010 0_{2}$ . Probe: 64+32+4=100.
12
Welche Zahl ist $1111111 1_{2}$ im Zehnersystem?
Lösung zeigen
Ergebnis: $1111111 1_{2} = 255$
1. Alle acht Stellen haben eine 1.
2. 128+64+32+16+8+4+2+1=255
3. Schneller: $10000000 0_{2} = 256$ , und das ist genau 1 mehr.
13
Rechne $101 1_{2} + 111 1_{2}$ binär.
Lösung zeigen
Ergebnis: $1101 0_{2}$ , im Zehnersystem 11+15=26
1. Einer: $1 + 1 = 1 0_{2}$ , schreib 0, Übertrag 1. Zweier: $1 + 1 + 1 = 1 1_{2}$ , schreib 1, Übertrag 1.
2. Vierer: $0 + 1 + 1 = 1 0_{2}$ , schreib 0, Übertrag 1. Achter: $1 + 1 + 1 = 1 1_{2}$ , schreib 1, Übertrag 1.
3. Der Übertrag kommt vorne dazu: $1101 0_{2}$ . Probe: 16+8+2=26.
14
Die binäre Zahl $1110 0_{2}$ endet auf 0. Ist sie gerade oder ungerade? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis: Gerade: $1110 0_{2} = 28$
1. 16+8+4=28, also gerade.
2. Alle Stellenwerte ausser dem Einer sind gerade.
3. Darum entscheidet nur die letzte Ziffer: 0 heisst gerade, 1 heisst ungerade.
15
Hängst du an eine binäre Zahl rechts eine 0 an, was passiert mit ihrem Wert? Prüfe mit $10 1_{2}$ und $101 0_{2}$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: Der Wert verdoppelt sich: $10 1_{2} = 5$ , $101 0_{2} = 10$
1. $10 1_{2} = 4 + 1 = 5$
2. $101 0_{2} = 8 + 2 = 10$ , also 5·2.
3. Jede Ziffer rutscht eine Stelle nach links und ist dort doppelt so viel wert.

Vergisst dein Kind beim Umrechnen die Nullen oder liest es die Reste falsch herum, übt eine Lehrperson beide Wege mit ihm Schritt für Schritt. Nachhilfe in Mathematik für die Sek

Üben ohne Ende

Trainer: Binäre Zahlen

So funktioniert der Trainer

Viele Fragen zum Umrechnen zwischen Binärsystem und Zehnersystem. Stufe 1 hat kleine Zahlen, Stufe 2 grössere Zahlen und einfache Additionen, Stufe 3 Zahlen bis 255, Bytes und schwierige Additionen.

Schreibe 2 als binäre Zahl.

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Zahlensystem-Umrechner

Binär, dezimal und hexadezimal umrechnen

Binär101101

Rechenweg

Schreib die Stellenwerte auf, das sind Potenzen von 2. Beginne beim grössten, der noch in 45 passt.
32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1
Nimm jeden Stellenwert, wenn er noch Platz hat (1), sonst nicht (0).
45=1·32+0·16+1·8+1·4+0·2+1·1
Wie oft du jeden Stellenwert nimmst, sind die Ziffern.
32: 1 | 16: 0 | 8: 1 | 4: 1 | 2: 0 | 1: 1
Lies die Ziffern von links nach rechts.
45=101101₂

Beispiele

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Lehrplan 21

Typische Klasse: 1. Sek - 3. Sek
Zyklus: Zyklus 3
Fach: Mathematik

Meist in der Sek, in Mathematik bei Stellenwerten und Potenzen oder in Medien und Informatik bei Bit und Byte. Am Gymnasium kommt es im Fach Informatik wieder.

MA.3.A.1.mDie Begriffe Bit und Byte kennen und erklären, dass ein Computer Zahlen als Folgen von Nullen und Einsen speichert.
MA.1.A.1.iPotenzen wie zwei hoch drei lesen und ausrechnen; im Binärsystem sind die Stellenwerte genau die Zweierpotenzen.
MA.1.C.2.eZeigen, dass der Wert einer Ziffer von ihrer Stelle abhängt, so wie im Zehnersystem mit Einern, Zehnern und Hundertern.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was sind binäre Zahlen?

Binäre Zahlen sind Zahlen, die nur mit den Ziffern 0 und 1 geschrieben werden. Jede Stelle ist doppelt so viel wert wie die rechts daneben: 1, 2, 4, 8 und so weiter. So ist $101 1_{2} = 8 + 2 + 1 = 11$ .

Was ist der Unterschied zwischen Binärsystem und Dualsystem?

Es gibt keinen. Binärsystem, Dualsystem und Zweiersystem sind drei Namen für dasselbe Zahlensystem mit den Ziffern 0 und 1.

Warum rechnen Computer mit binären Zahlen?

Die Schaltungen in einem Computer unterscheiden nur zwei Zustände, zum Beispiel Spannung an oder aus. Diese zwei Zustände passen genau zu den Ziffern 1 und 0. Mit 8 Bit lassen sich so die ganzen Zahlen von 0 bis 255 speichern, mit mehr Bits auch grössere.

In welcher Klasse lernt man das Binärsystem?

Meist in der Sek, in Mathematik bei Stellenwerten und Potenzen oder in Medien und Informatik. Je nach Kanton und Lehrmittel kommt es früher oder später. Am Gymnasium wird es im Fach Informatik wieder gebraucht.