Oktaeder und die fünf platonischen Körper

Ein platonischer Körper besteht aus lauter gleich grossen regelmässigen Vielecken, und an jeder Ecke treffen gleich viele davon zusammen. Es gibt genau fünf: Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder.

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Zyklus 3
Lehrplan 21: MA.2.A.1.l

Zwei Jugendliche bauen am Schultisch Körper aus Papier und Holzstäbchen, darunter ein Oktaeder und ein Ikosaeder.

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Das musst du wissen

Erklärung

Ein platonischer Körper besteht aus lauter gleichen . Es gibt genau fünf, darunter das Oktaeder aus 8 gleichseitigen Dreiecken. Am Schluss berechnest du Ecken, Kanten und , statt sie zu zählen.

Was ist ein platonischer Körper?

Ein Polyeder ist ein Körper, der nur von ebenen Vielecken begrenzt ist, etwa ein Würfel oder eine Pyramide. Kugel und Zylinder sind keine Polyeder.

Ein platonischer Körper ist ein Polyeder mit lauter gleich grossen regelmässigen Vielecken als Flächen. An jeder Ecke treffen gleich viele Flächen zusammen, und der Körper hat keine Einbuchtung.

MerkePlatonischer Körper: lauter gleiche regelmässige Vielecke, an jeder Ecke gleich viele.

Ein gleichseitiges Dreieck: alle Seiten gleich lang, alle Winkel 60°. Es ist die Fläche von Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder.

Die fünf platonischen Körper

Die griechischen Namen zählen die Flächen: tetra 4, hexa 6, okta 8, dodeka 12, ikosa 20.

Körper	Flächen	Kanten	Ecken
Tetraeder	4 Dreiecke	6	4
Würfel	6 Quadrate	12	8
Oktaeder	8 Dreiecke	12	6
Dodekaeder	12 Fünfecke	30	20
Ikosaeder	20 Dreiecke	30	12

Anzahl Flächen der fünf platonischen Körper: 4, 6, 8, 12 und 20.

Das Oktaeder genau angeschaut

Ein Oktaeder hat 8 gleichseitige Dreiecke, 12 Kanten und 6 Ecken. An jeder Ecke treffen 4 Dreiecke zusammen.

Stell es dir als zwei Pyramiden mit quadratischer Grundfläche vor, Grundfläche an Grundfläche. Alle Kanten sind gleich lang.

Spielwürfel mit 8 Flächen haben diese Form, und Kristalle von Alaun wachsen oft so.

MerkeOktaeder: 8 Flächen, 12 Kanten, 6 Ecken, an jeder Ecke 4 Dreiecke.

Das Quadrat in der Mitte des Oktaeders: Darüber liegt eine Pyramide mit der oberen Spitze, darunter eine gleiche mit der unteren Spitze.

Oberfläche und Volumen des Oktaeders

Die besteht aus 8 gleichseitigen Dreiecken mit Kantenlänge a: $O = 8 \cdot \frac{3}{4} a^{2} = 23 a^{2} \approx 3.46 \cdot a^{2}$ .

Fürs nimmst du die zwei Pyramiden. Mit der Raumdiagonale d von Spitze zu Spitze hat das Quadrat in der Mitte die Fläche d²2, jede Pyramide die Höhe d2.

V=2·13·d²2·d2=d³6

Mit $d = a 2$ gilt $V = \frac{2}{3} a^{3} \approx 0.47 \cdot a^{3}$ .

MerkeOktaeder: $O = 23 a^{2}$ , $V = \frac{2}{3} a^{3} = \frac{d ^{3}}{6}$ .

Warum es nur fünf gibt

An einer Ecke treffen mindestens 3 Flächen zusammen. Ihre Winkel müssen zusammen unter 360° bleiben, sonst liegen sie flach.

Dreiecke (60°): 3, 4 oder 5 pro Ecke
Quadrate (90°): 3 pro Ecke
Fünfecke (108°): 3 pro Ecke
Sechsecke (120°): schon 3 ergeben 360°

Das sind genau fünf Fälle, und jeder ergibt genau einen Körper.

MerkeWinkel an einer Ecke zusammen unter 360°: das lassen nur fünf Fälle zu.

Winkelsumme an einer Ecke in Grad: Tetraeder 180, Oktaeder 240, Ikosaeder 300, Würfel 270, Dodekaeder 324. Alle bleiben unter 360.

Kanten, Ecken und Raumdiagonalen berechnen

Jede Fläche hat n Seiten. Jede Kante gehört zu 2 Flächen, jede Ecke zu so vielen, wie dort zusammentreffen (q):

Kanten=F·n2 Ecken=F·nq

Eine Raumdiagonale verbindet zwei Ecken durch das Innere. Zähl alle Verbindungen zwischen zwei Ecken und zieh Kanten und Flächendiagonalen ab. Das Oktaeder hat 15−12=3.

MerkeKanten = Flächen mal Seiten, geteilt durch 2.

Platonische Körper (oktaeder): Übersicht mit Tabelle Die fünf platonischen Körper; Was ist ein platonischer Körper?; Das Oktaeder genau angeschaut. — Platonische Körper auf einen Blick: Die fünf platonischen Körper als Tabelle und die wichtigsten Regeln.

Häufige Fehler

✕Ein Oktaeder hat 8 Ecken, wie ein Würfel.
✓Das Oktaeder hat 8 Flächen, aber nur 6 Ecken. Beim Würfel ist es umgekehrt: 6 Flächen und 8 Ecken.
✕Kanten des Oktaeders: 8 Dreiecke mal 3 Seiten gibt 24 Kanten.
✓Jede Kante gehört zu 2 Dreiecken, du hast also jede doppelt gezählt: 8·3:2=12 Kanten.
✕Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche und gleich langen Kanten ist ein platonischer Körper.
✓Nein: Sie hat ein Quadrat und 4 Dreiecke, also nicht lauter gleiche Flächen. Erst zwei solche Pyramiden zusammen ergeben das Oktaeder.
✕Aus regelmässigen Sechsecken kann man auch einen platonischen Körper bauen.
✓Drei Sechsecke an einer Ecke ergeben $3 \cdot 120° = 360°$ . Sie liegen flach, es entsteht keine Ecke.

Begriffe zum Nachschlagen

Polyeder: Ein Körper, der nur von ebenen Vielecken begrenzt ist, zum Beispiel Würfel, Prisma oder Pyramide.
platonischer Körper: Ein Polyeder aus lauter gleichen regelmässigen Vielecken, an jeder Ecke gleich viele. Es gibt genau fünf.
Tetraeder: Platonischer Körper aus 4 gleichseitigen Dreiecken: eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, bei der alle Kanten gleich lang sind.
Oktaeder: Platonischer Körper aus 8 gleichseitigen Dreiecken, mit 12 Kanten und 6 Ecken.
Dodekaeder: Platonischer Körper aus 12 regelmässigen Fünfecken, mit 30 Kanten und 20 Ecken.
Ikosaeder: Platonischer Körper aus 20 gleichseitigen Dreiecken, mit 30 Kanten und 12 Ecken.
Raumdiagonale: Strecke zwischen zwei Ecken eines Körpers, die durch das Innere läuft, also weder Kante noch Diagonale einer Fläche ist.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Geometrische Körper: Würfel, Quader, Zylinder, Pyramide Regelmässige Vielecke Winkelsumme im Dreieck und Vieleck

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Kanten und Ecken des Ikosaeders

Ein Ikosaeder besteht aus 20 gleichseitigen Dreiecken, an jeder Ecke treffen 5 zusammen. Berechne die Anzahl Kanten und Ecken.

Das Ikosaeder in Zahlen: 12 Ecken, 30 Kanten und 20 Flächen.

Lösung Schritt für Schritt

Alle Dreiecksseiten zusammen:20·3=60
Jede Kante gehört zu 2 Dreiecken, also teilst du durch 2.60:2=30
Jede Ecke gehört zu 5 Dreiecken, also teilst du die 60 Dreiecksecken durch 5.60:5=12
Kontrolle mit Euler: Ecken + Flächen = Kanten + 2.12+20=32=30+2

Das Ikosaeder hat 30 Kanten und 12 Ecken.

Beispiel 2Ein Kantenmodell aus Holzstäbchen

Eine Jugendliche baut in der Schule ein Kantenmodell eines Oktaeders aus Holzstäbchen und Knetkugeln.

In der Projektwoche in St. Gallen baut Elin das Kantenmodell eines Oktaeders. Jede Kante ist ein Holzstäbchen von 15 cm, jede Ecke eine Knetkugel. Wie viele Zentimeter Stäbchen braucht sie insgesamt, und wie viele Knetkugeln?

Eine der 8 Flächen des Oktaeders: ein gleichseitiges Dreieck aus drei Stäbchen von 15 cm.

Lösung Schritt für Schritt

Das Oktaeder hat 8 Dreiecke mit je 3 Seiten, jede Kante gehört zu 2 Dreiecken.8·3:2=12
12 Kanten zu je 15 cm:12·15=180
Ecken: An jeder Ecke treffen 4 Dreiecke zusammen.8·3:4=6

Elin braucht 180 cm Holzstäbchen (12 Stück) und 6 Knetkugeln.

Beispiel 3Eine Kerze in Oktaederform

Ein Junge giesst an einem Weihnachtsmarktstand Wachs in eine Form, daneben stehen fertige Kerzen in Oktaederform.

Am Weihnachtsmarkt in Basel giesst Noah eine Kerze in einer Form, die ein Oktaeder ist. Von Spitze zu Spitze misst die Kerze 6 cm. Wie viel Wachs braucht er?

Das Quadrat in der Mitte der Kerze, auf die Ecke gestellt: Seine Diagonalen sind 6 cm lang, genau wie die Raumdiagonale.

Lösung Schritt für Schritt

Die Strecke von Spitze zu Spitze ist die Raumdiagonale d=6 cm. Das Oktaeder besteht aus zwei Pyramiden mit dem Quadrat in der Mitte als Grundfläche.
Das Quadrat hat Diagonalen von 6 cm. Seine Fläche ist Diagonale mal Diagonale geteilt durch 2.G=6·62=18 cm²
Jede Pyramide ist halb so hoch wie die Raumdiagonale, also 3 cm. $V_{Pyramide} = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 3 = 18 cm^{3}$
Zwei Pyramiden ergeben das Oktaeder. Kontrolle mit der Formel: 6³6=36.V=2·18=36 cm³

Noah braucht 36 Wachs.

Beispiel 4Raumdiagonalen des Ikosaeders

Wie viele Raumdiagonalen hat ein Ikosaeder? Es hat 12 Ecken und 30 Kanten, seine Flächen sind Dreiecke.

Lösung Schritt für Schritt

Von jeder der 12 Ecken gehen Verbindungen zu den 11 anderen. So zählst du jede Verbindung doppelt.12·112=66
30 dieser Verbindungen sind Kanten.66−30=36
Dreiecke haben keine Diagonalen, also gibt es keine Flächendiagonalen abzuziehen. Alle übrigen Verbindungen laufen durch das Innere.

Das Ikosaeder hat 36 Raumdiagonalen.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Wie viele Flächen hat ein Oktaeder, und welche Form haben sie?
Lösung zeigen
Ergebnis: 8 Flächen, alles gleichseitige Dreiecke
Eine Fläche des Oktaeders: ein gleichseitiges Dreieck. Alle 8 sind gleich gross.
1. Das Oktaeder sind zwei Pyramiden mit quadratischer Grundfläche.
2. Jede Pyramide hat 4 dreieckige Seitenflächen: 4+4=8.
2
Wie viele Ecken hat ein Tetraeder?
Lösung zeigen
Ergebnis: 4 Ecken
Die Grundfläche des Tetraeders mit den Ecken A, B und C. Die vierte Ecke ist die Spitze darüber.
1. Das Tetraeder ist eine Pyramide mit einem Dreieck als Grundfläche.
2. 3 Ecken unten und die Spitze oben: 3+1=4.
3
Wie viele Kanten hat ein Würfel? Rechne mit der Formel: Flächen mal Seiten, geteilt durch 2.
Lösung zeigen
Ergebnis: 12 Kanten
Eine Fläche des Würfels: ein Quadrat mit 4 Seiten. Jede Seite teilt es mit einem Nachbarquadrat.
1. Der Würfel hat 6 quadratische Flächen mit je 4 Seiten: 6·4=24.
2. Jede Kante gehört zu 2 Quadraten: 24:2=12.
4
Ein Tetraeder soll als Kantenmodell aus Trinkhalmen entstehen. Wie viele Trinkhalme braucht es?
Lösung zeigen
Ergebnis: 6 Trinkhalme
Das Tetraeder in Zahlen: 4 Ecken, 6 Kanten und 4 Flächen.
1. Für jede Kante einen Trinkhalm.
2. 4 Dreiecke mit je 3 Seiten, jede Kante doppelt gezählt: 4·3:2=6.
5
Wie viele Dreiecke treffen beim Oktaeder an einer Ecke zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis: 4 Dreiecke
1. Schau die obere Spitze an: Dort enden die 4 Seitenflächen der oberen Pyramide.
2. Rechnung: 8 Dreiecke mit je 3 Ecken auf 6 Ecken verteilt: 8·3:6=4.

6
Ein Dodekaeder hat 12 Fünfecke als Flächen, an jeder Ecke treffen 3 zusammen. Berechne Kanten und Ecken.
Lösung zeigen
Ergebnis: 30 Kanten und 20 Ecken
1. Alle Fünfeckseiten: 12·5=60.
2. Kanten: 60:2=30.
3. Ecken: 60:3=20.
4. Kontrolle: 20+12=32=30+2.
7
Wie gross ist die Summe der Winkel, die an einer Ecke des Oktaeders zusammentreffen?
Lösung zeigen
Ergebnis: 240°
1. An jeder Ecke treffen 4 gleichseitige Dreiecke zusammen.
2. Jedes trägt einen Winkel von 60° bei: $4 \cdot 60° = 240°$ .
3. Das ist weniger als 360°, darum entsteht eine echte Ecke.
8
Ein Oktaeder hat die Kantenlänge 4 cm. Ein Dreieck davon hat gerundet eine Fläche von 6.93 cm². Wie gross ist die Oberfläche?
Lösung zeigen
Ergebnis: 55.44 cm², also rund 55.4 cm²
1. Die Oberfläche besteht aus 8 gleichen Dreiecken.
2. O=8·6.93=55.44 cm².
3. Kontrolle mit der Formel: $23 \cdot 4^{2} \approx 3.464 \cdot 16 \approx 55.4$ cm².
9
Ein platonischer Körper hat 6 Ecken und 8 Flächen. Wie viele Kanten hat er, und welcher Körper ist es?
Lösung zeigen
Ergebnis: 12 Kanten, es ist das Oktaeder
1. Satz von Euler: Ecken + Flächen = Kanten + 2.
2. 6+8=14, also Kanten =14−2=12.
3. 8 Flächen hat unter den platonischen Körpern nur das Oktaeder.
10
Jonas baut ein Ikosaeder als Kantenmodell aus Stäben von 10 cm. Reicht ihm ein Bündel mit 3 m Stäben insgesamt?
Lösung zeigen
Ergebnis: Ja, genau: 300 cm = 3 m
1. Kanten des Ikosaeders: 20·3:2=30.
2. Länge: 30·10=300 cm.
3. 300 cm sind genau 3 m, es geht also ohne Rest auf.

11
Zeige mit den Winkeln, warum es keinen platonischen Körper aus regelmässigen Sechsecken gibt. Ein des Sechsecks misst 120°.
Lösung zeigen
Ergebnis: Schon 3 Sechsecke ergeben 360°, sie liegen flach
1. An einer Ecke braucht es mindestens 3 Flächen.
2. $3 \cdot 120° = 360°$ : Die drei Sechsecke füllen die Ebene ganz aus.
3. Für eine Ecke müsste die Summe unter 360° bleiben. Mehr Sechsecke machen es nur grösser.
12
Wie viele Raumdiagonalen hat ein Würfel? Rechne, statt zu zählen.
Lösung zeigen
Ergebnis: 4 Raumdiagonalen
1. Verbindungen zwischen den 8 Ecken: 8·7:2=28.
2. Davon sind 12 Kanten.
3. Jedes der 6 Quadrate hat 2 Flächendiagonalen: 6·2=12.
4. 28−12−12=4.
13
Ein Oktaeder misst von Spitze zu Spitze 12 cm. Berechne sein Volumen.
Lösung zeigen
Ergebnis: 288 cm³
1. Die Raumdiagonale ist d=12 cm.
2. V=d³6=12·12·126=17286.
3. V=288 cm³.
14
Wie viele Raumdiagonalen hat ein Dodekaeder (20 Ecken, 30 Kanten, 12 Fünfecke)? Ein Fünfeck hat 5 Diagonalen.
Lösung zeigen
Ergebnis: 100 Raumdiagonalen
1. Verbindungen zwischen 20 Ecken: 20·19:2=190.
2. Kanten abziehen: 190−30=160.
3. Flächendiagonalen: 12·5=60, also 160−60=100.
15
In einem Würfel mit 9 cm Kantenlänge verbindest du die benachbarter Flächen. So entsteht ein Oktaeder. Welcher Bruchteil des Würfelvolumens ist das Oktaeder?
Lösung zeigen
Ergebnis: 16 des Würfelvolumens
1. Gegenüberliegende Flächenmitten des Würfels sind 9 cm voneinander entfernt. Das ist die Raumdiagonale des Oktaeders: d=9 cm.
2. Oktaeder: V=9³6=121.5 cm³. Würfel: 9³=729 cm³.
3. 121.5:729=16. Das gilt für jede Kantenlänge.

Fällt es dir schwer, dir Oktaeder und Co. im Raum vorzustellen oder Kanten und Volumen sauber zu berechnen, übt eine Lehrperson das mit dir an Modellen Schritt für Schritt. Nachhilfe in Geometrie für die Sek

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Fragen zu Oktaeder, Tetraeder, Würfel, Dodekaeder und Ikosaeder, mit einer Erklärung zu jeder Antwort. Stufe 1 übt Namen und Zahlen, Stufe 2 das Rechnen mit Flächen, Kanten und Winkeln, Stufe 3 Raumdiagonalen, Volumen und Begründungen.

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 2. Sek - 3. Sek
Zyklus: Zyklus 3
Fach: Mathematik

Meist in der 2. oder 3. Sek, oft zusammen mit Pyramiden, Netzen und dem Satz von Euler. Im Gymnasium kommen die Formeln für Oberfläche und Volumen mit Wurzeln dazu.

MA.2.A.1.lKörper wie Tetraeder und Oktaeder an ihren Eigenschaften erkennen und beschreiben: Form und Anzahl der Flächen, Ecken, Kanten, Raumdiagonalen und Netz.
MA.2.B.1.lFragen zum Zählen an Körpern systematisch lösen, etwa wie viele Raumdiagonalen ein platonischer Körper hat.
MA.2.A.3.jVolumen und Oberfläche von Pyramiden berechnen; das Oktaeder lässt sich in zwei Pyramiden zerlegen.
MA.2.C.1.lEin Modell eines Körpers aus einem Netz oder als Kantenmodell aus Stäbchen selbst bauen.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Wie viele Ecken, Kanten und Flächen hat ein Oktaeder?

Ein Oktaeder hat 6 Ecken, 12 Kanten und 8 Flächen. Die Flächen sind gleichseitige Dreiecke, und an jeder Ecke treffen 4 davon zusammen.

Warum gibt es nur fünf platonische Körper?

An jeder Ecke müssen mindestens 3 Flächen zusammentreffen, und ihre Winkel müssen zusammen unter 360° bleiben. Das klappt nur mit 3, 4 oder 5 Dreiecken, 3 Quadraten oder 3 Fünfecken. Ab Sechsecken liegen die Flächen flach.

Ist eine Pyramide ein platonischer Körper?

Nur die dreieckige Pyramide mit lauter gleich langen Kanten, das Tetraeder. Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche nicht, weil sie ein Quadrat und Dreiecke hat.

Warum heissen sie platonische Körper?

Sie sind nach dem griechischen Philosophen Platon benannt, der vor rund 2400 Jahren lebte. Er ordnete vier davon den Elementen zu: Feuer dem Tetraeder, Erde dem Würfel, Luft dem Oktaeder und Wasser dem Ikosaeder.

Oktaeder und die fünf platonischen Körper

Erklärung

Was ist ein platonischer Körper?

Die fünf platonischen Körper

Das Oktaeder genau angeschaut

Oberfläche und Volumen des Oktaeders

Warum es nur fünf gibt

Kanten, Ecken und Raumdiagonalen berechnen

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Kanten und Ecken des Ikosaeders

Beispiel 2Ein Kantenmodell aus Holzstäbchen

Beispiel 3Eine Kerze in Oktaederform

Beispiel 4Raumdiagonalen des Ikosaeders

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Häufige Fragen

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