Regel von Bayes und bedingte Wahrscheinlichkeit

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist, wenn ein anderes schon eingetreten ist. Mit der Regel von Bayes drehst du die Bedingung um, etwa vom Testergebnis zur Frage, ob jemand wirklich krank ist.

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1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Ein Knabe und ein Mädchen sitzen im Schulzimmer am Pult mit farbigen Kugeln und einem Stoffsäckchen, er hält eine rote Kugel hoch.

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Das musst du wissen

Erklärung

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit von A, wenn du schon weisst, dass B eingetreten ist. Du rechnest $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ . Mit der Regel von Bayes drehst du am Schluss die Bedingung um.

Was «bedingt» heisst

Die Bedingung B verkleinert die Menge der möglichen Ergebnisse. Du rechnest nur noch mit den Ergebnissen, die zu B passen.

Du würfelst und erfährst: Die Augenzahl ist gerade. Möglich sind nur noch 2, 4 und 6. Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 ist jetzt 13 statt 16.

P(6|gerade)=13

MerkeDie Bedingung steht rechts vom Strich. Sie ist das neue Ganze.

Streifen in 3 gleichen Teilen für die geraden Augenzahlen 2, 4 und 6. Ein Teil ist hervorgehoben: die 6.

Die Formel

Teile die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten, durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung:

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

$A \cap B$ heisst: A und B treten beide ein. Statt P(A|B) schreiben manche Schulen $P_{B} (A)$ .

Umgestellt gibt das den Multiplikationssatz: $P (A \cap B) = P (B) \cdot P (A ∣ B)$ .

MerkeBeide zusammen geteilt durch die Bedingung.

Die Vierfeldertafel

Eine Vierfeldertafel ordnet zwei Merkmale in vier Felder, dazu die Summen am Rand. $\overline{A}$ heisst «nicht A».

	B	$\overline{B}$	Summe
A	30	10	40
$\overline{A}$	20	40	60
Summe	50	50	100

Für P(A|B) liest du nur die Spalte B: 3050=35. Für P(B|A) nur die Zeile A: 3040=34.

Säulen für die vier Felder der Tafel: A und B 30, A ohne B 10, B ohne A 20, weder A noch B 40.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm

Auf den Ästen der zweiten Stufe stehen bedingte Wahrscheinlichkeiten: Der Ast von A nach B trägt P(B|A). Die ist darum der Multiplikationssatz.

Führen zwei Pfade zu B, addierst du sie. Das ist die totale Wahrscheinlichkeit:

P (B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (\overline{A}) \cdot P (B ∣ \overline{A})

MerkeZweite Stufe im Baum heisst: bedingte Wahrscheinlichkeit.

Die Regel von Bayes

Oft kennst du P(B|A), gefragt ist aber P(A|B). Die Regel von Bayes dreht die Bedingung um:

P(A|B)=P(A)·P(B|A)P(B)

Im Zähler steht der Pfad über A nach B. Im Nenner stehen alle Pfade nach B zusammen, also die totale Wahrscheinlichkeit.

MerkeBayes: gesuchter Pfad geteilt durch alle Pfade, die zur Beobachtung führen.

Stochastisch unabhängig

A und B sind stochastisch unabhängig, wenn die Bedingung nichts ändert: P(A|B)=P(A). Dann gilt $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .

Zweimal würfeln: Der erste Wurf ändert nichts am zweiten. Ziehen macht die Züge dagegen abhängig.

In der Tafel oben ist P(A|B)=35, aber P(A)=25. Also sind A und B abhängig.

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Regel von Bayes: Übersicht mit Tabelle Die Vierfeldertafel; Was «bedingt» heisst; Die Formel; Bedingte Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm. — Bedingte Wahrscheinlichkeit und Regel von Bayes auf einen Blick: Die Vierfeldertafel als Tabelle und die wichtigsten Regeln.

Häufige Fehler

✕Der Test ist bei 90 % der Kranken positiv. Also ist eine positiv getestete Person zu 90 % krank.
✓Das verwechselt P(T|K) mit P(K|T). Wie gross P(K|T) ist, zeigt erst die Regel von Bayes. Bei einer seltenen Krankheit ist es viel kleiner.
✕ $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$
✓Geteilt wird durch die Bedingung: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ .
✕ $P (A \cap B)$ und P(A|B) sind dasselbe.
✓ $P (A \cap B)$ bezieht sich auf alle Fälle, P(A|B) nur auf die Fälle mit B. In der Tafel oben: 30100 gegenüber 3050.
✕Ereignisse, die nicht zusammen eintreten können, sind unabhängig.
✓Sind P(A)>0 und P(B)>0, ändert die Bedingung alles: P(A|B)=0, aber P(A)>0. Also sind A und B abhängig.

Begriffe zum Nachschlagen

Bedingte Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeit von A, wenn B schon eingetreten ist. Geschrieben P(A|B), gelesen «P von A unter der Bedingung B».
Vierfeldertafel: Tabelle mit vier Feldern für zwei Merkmale mit je zwei Ausprägungen, dazu die Zeilen- und Spaltensummen.
Totale Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als Summe aller Pfade im Baumdiagramm, die zu ihm führen.
Regel von Bayes: Formel, die aus P(B|A) die umgekehrte Wahrscheinlichkeit P(A|B) berechnet. Auch Satz von Bayes genannt.
Stochastisch unabhängig: Zwei Ereignisse beeinflussen sich nicht: P(A|B)=P(A) oder gleichwertig $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .
Gegenereignis: Alles, was nicht zu A gehört, geschrieben $\overline{A}$ . Es gilt $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ .

Noch unsicher? Zuerst lernen:Wahrscheinlichkeit und Baumdiagramm

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Bedingung bei Jasskarten

Aus einem Jass mit 36 französischen Karten ziehst du eine Karte. Du siehst nur, dass sie rot ist, also Herz oder Ecke. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Ass ist?

Streifen in 18 gleichen Teilen für die roten Karten, 2 davon gefärbt: das Herz-Ass und das Ecken-Ass.

Lösung Schritt für Schritt

Rot sind Herz und Ecke mit je 9 Karten, also 18 Karten. Darunter sind 2 Asse. $P (rot) = \frac{18}{36}, P (Ass \cap rot) = \frac{2}{36}$
In die Formel einsetzen:P(Ass|rot)=2/3618/36=218
Kürzen durch 2:218=19
Kontrolle ohne Formel: Unter den 18 roten Karten sind 2 Asse, also 218.

P(Ass|rot)=19

Beispiel 2Vierfeldertafel: Velo und Wohnort

Jugendliche fahren am Morgen mit dem Velo am Seeufer in Luzern zur Schule, im Hintergrund die Kapellbrücke und Berge.

An einer Kantonsschule in Luzern werden 300 Lernende befragt. 180 wohnen in der Stadt, davon kommen 120 mit dem Velo. Von den 120 Lernenden vom Land kommen 30 mit dem Velo. Eine Person kommt mit dem Velo. Wie wahrscheinlich wohnt sie in der Stadt?

Lösung Schritt für Schritt

Fülle die Vierfeldertafel. Stadt ohne Velo: 180−120=60. Land ohne Velo: 120−30=90. $Stadt Land Summe Velo 12030150 kein Velo 6090150 Summe 180120300$
Die Bedingung ist «Velo». Du schaust nur die Spalte Velo an: 150 Lernende.
Davon wohnen 120 in der Stadt:P(Stadt|Velo)=120150=45
Zum Vergleich ohne Bedingung: P(Stadt)=180300=35. Wer Velo fährt, wohnt also eher in der Stadt.

P(Stadt|Velo)=45=0.8, also 80 %.

Beispiel 3Baumdiagramm rückwärts lesen

Im Beutel liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Du ziehst zweimal ohne Zurücklegen. Die zweite Kugel ist rot. Wie wahrscheinlich war schon die erste rot?

Lösung Schritt für Schritt

Erste Stufe: $P (R_{1}) = \frac{3}{5}$ , $P (B_{1}) = \frac{2}{5}$ . Zweite Stufe, bedingt: Nach Rot sind noch 2 von 4 rot, nach Blau 3 von 4. $P (R_{2} ∣ R_{1}) = \frac{2}{4}, P (R_{2} ∣ B_{1}) = \frac{3}{4}$
Beide Pfade, die zu «zweite rot» führen:35·24=310, 25·34=310
Totale Wahrscheinlichkeit: $P (R_{2}) = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{3}{5}$
Regel von Bayes: gesuchter Pfad durch alle Pfade nach $R_{2}$ . $P (R_{1} ∣ R_{2}) = \frac{3/10}{3/5} = \frac{1}{2}$

$P (R_{1} ∣ R_{2}) = \frac{1}{2}$

Beispiel 4Regel von Bayes beim Schnelltest

Eine junge Frau steht in einer hellen Apotheke und schaut nachdenklich auf einen kleinen Test, ein Apotheker hört ihr zu.

2 % der Bevölkerung haben eine bestimmte Krankheit. Ein Schnelltest aus der Apotheke ist bei 90 % der Kranken positiv, aber auch bei 5 % der Gesunden. Lea aus Bern testet positiv. Wie wahrscheinlich ist sie wirklich krank?

Säulen für 1'000 getestete Personen: 18 Kranke und 49 Gesunde haben einen positiven Test.

Lösung Schritt für Schritt

Denk dir 1'000 Personen. Krank sind 2 %, also 20. Davon testen 90 % positiv:0.9·20=18
Gesund sind 980. Davon testen 5 % fälschlich positiv:0.05·980=49
Positiv sind also 18+49=67 Personen. Nur 18 davon sind krank.P(K|T)=1867≈0.269
Dasselbe mit der Regel von Bayes:P(K|T)=0.02·0.90.02·0.9+0.98·0.05=0.0180.067=1867

P(K|T)=1867≈0.269, also nur etwa 27 %. Weil die Krankheit selten ist, sind die meisten positiven Tests Fehlalarme.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
Du würfelst. Die Augenzahl ist grösser als 3. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eine 5 ist?
Lösung zeigen
Ergebnis: 13
Streifen in 3 gleichen Teilen für die Augenzahlen 4, 5 und 6. Ein Teil ist hervorgehoben: die 5.
1. Möglich sind nur noch 4, 5 und 6.
2. Günstig ist nur die 5.
3. P(5|grösser als 3)=13
2
In einer Klasse sind 12 Mädchen und 10 Knaben. 8 Mädchen und 4 Knaben spielen ein Instrument. Aus allen, die ein Instrument spielen, wird eine Person ausgelost. Wie wahrscheinlich ist es ein Mädchen?
Lösung zeigen
Ergebnis: 23
Streifen in 12 gleichen Teilen für alle, die ein Instrument spielen, 8 davon gefärbt: die Mädchen.
1. Die Bedingung ist «spielt ein Instrument»: 8+4=12 Personen.
2. Davon sind 8 Mädchen: 812.
3. Gekürzt: 23.
3
Gegeben sind $P (A \cap B) = 0.2$ und P(B)=0.5. Berechne P(A|B).
Lösung zeigen
Ergebnis: P(A|B)=0.4=25
Streifen in 5 gleichen Teilen für das Ereignis B, 2 davon gefärbt: der Anteil von A innerhalb von B.
1. Formel: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$
2. 0.20.5=0.4
4
Lies aus der Vierfeldertafel P(B|A) ab.
B $\overline{B}$ Summe
A 24 16 40
$\overline{A}$ 36 24 60
Summe 60 40 100
Lösung zeigen
Ergebnis: P(B|A)=35
Streifen in 5 gleichen Teilen für die Zeile A, 3 gefärbt: drei Fünftel davon gehören zu B.
1. Die Bedingung ist A: Du liest nur die Zeile A mit 40 Fällen.
2. Davon gehören 24 zu B: 2440=35.
5
Im Baumdiagramm ist P(A)=0.7. Der Ast von A nach B trägt 0.4. Wie gross ist $P (A \cap B)$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: $P (A \cap B) = 0.28$
1. Der Ast trägt P(B|A)=0.4.
2. Pfadregel: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) = 0.7 \cdot 0.4 = 0.28$

	B	$\overline{B}$	Summe
A	24	16	40
$\overline{A}$	36	24	60
Summe	60	40	100

6
Es gilt P(A)=0.4, P(B)=0.5 und $P (A \cap B) = 0.1$ . Berechne P(A|B) und P(B|A).
Lösung zeigen
Ergebnis: P(A|B)=0.2 und P(B|A)=0.25
1. P(A|B)=0.10.5=0.2
2. P(B|A)=0.10.4=0.25
3. Die beiden sind verschieden, weil durch verschiedene Bedingungen geteilt wird.
7
Du ziehst eine Karte aus einem Jass mit 36 französischen Karten. Sie ist ein Bauer, eine Dame oder ein König. Wie wahrscheinlich ist sie ein Herz? Sind «Herz» und «Bauer, Dame oder König» unabhängig?
Lösung zeigen
Ergebnis: 14, und ja, die Ereignisse sind unabhängig.
1. Bauer, Dame und König gibt es in 4 Farben: 12 Karten.
2. Davon sind 3 Herz: 312=14.
3. Ohne Bedingung ist P(Herz)=936=14, also gleich gross: unabhängig.
8
In einer Schachtel liegen 4 Schoggikugeln mit Nüssen und 6 ohne. Lars nimmt zwei, ohne hinzuschauen. Wie gross ist $P (N_{2} ∣ N_{1})$ , und wie wahrscheinlich sind beide mit Nüssen?
Lösung zeigen
Ergebnis: $P (N_{2} ∣ N_{1}) = \frac{1}{3}$ , beide mit Nüssen: 215
1. Nach einer Kugel mit Nüssen sind noch 3 von 9 mit Nüssen: $P (N_{2} ∣ N_{1}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ .
2. Multiplikationssatz: $P (N_{1} \cap N_{2}) = \frac{4}{10} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$
9
An 40 % der Schultage regnet es. Bei Regen ist Mias Bus mit Wahrscheinlichkeit 0.3 zu spät, ohne Regen mit 0.1. Wie wahrscheinlich ist der Bus an einem zufälligen Schultag zu spät?
Lösung zeigen
Ergebnis: P(S)=0.18
1. Pfad Regen und spät: 0.4·0.3=0.12
2. Pfad kein Regen und spät: 0.6·0.1=0.06
3. Totale Wahrscheinlichkeit: 0.12+0.06=0.18
10
Wie in der letzten Aufgabe: An 40 % der Schultage regnet es, bei Regen ist der Bus mit 0.3 zu spät, sonst mit 0.1. Heute ist der Bus zu spät. Wie wahrscheinlich hat es geregnet?
Lösung zeigen
Ergebnis: P(R|S)=23≈0.667
1. Gesuchter Pfad: Regen und spät, 0.12.
2. Alle Pfade nach «spät»: 0.18.
3. Regel von Bayes: 0.120.18=23

11
Ein Veloverleih in Zürich hat Velos von drei Herstellern: 50 % von A, 30 % von B und 20 % von C. Defekt sind 2 % der Velos von A, 4 % von B und 5 % von C. Ein ausgeliehenes Velo ist defekt. Von welchem Hersteller stammt es am wahrscheinlichsten, und wie gross ist diese Wahrscheinlichkeit?
Lösung zeigen
Ergebnis: Von B, mit P(B|D)=38=0.375
1. Drei Pfade nach «defekt»: 0.5·0.02=0.01, 0.3·0.04=0.012, 0.2·0.05=0.01
2. Totale Wahrscheinlichkeit: P(D)=0.01+0.012+0.01=0.032
3. Der grösste Pfad gehört zu B. Regel von Bayes: P(B|D)=0.0120.032=38
4. Zum Vergleich: P(A|D)=P(C|D)=0.010.032=516
12
Es gilt P(A)=0.6, P(B)=0.5 und $P (A \cup B) = 0.8$ . Dabei heisst $A \cup B$ : mindestens eines der beiden tritt ein. Berechne P(A|B). Sind A und B stochastisch unabhängig?
Lösung zeigen
Ergebnis: P(A|B)=0.6=35. Das ist gleich P(A), also sind A und B unabhängig.
1. Für «A oder B» gilt $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ , also $P (A \cap B) = 0.6 + 0.5 - 0.8 = 0.3$
2. P(A|B)=0.30.5=0.6
3. Das ist gleich P(A)=0.6: Die Bedingung ändert nichts, A und B sind unabhängig.
4. Gegenprobe: $P (A) \cdot P (B) = 0.6 \cdot 0.5 = 0.3 = P (A \cap B)$
13
Es gilt P(A)=0.5, P(B|A)=0.6 und P(B)=0.45. Berechne $P (B ∣ \overline{A})$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $P (B ∣ \overline{A}) = 0.3$
1. Pfad über A: $P (A \cap B) = 0.5 \cdot 0.6 = 0.3$
2. Der Rest von P(B) kommt über $\overline{A}$ : $P (\overline{A} \cap B) = 0.45 - 0.3 = 0.15$
3. $P (\overline{A}) = 0.5$ , also $P (B ∣ \overline{A}) = \frac{0.15}{0.5} = 0.3$
14
1 % der Bevölkerung hat eine Krankheit. Ein Test erkennt 99 % der Kranken und ist bei 1 % der Gesunden fälschlich positiv. Wie wahrscheinlich ist eine positiv getestete Person krank?
Lösung zeigen
Ergebnis: 12=0.5, also nur 50 %
1. Pfad krank und positiv: 0.01·0.99=0.0099
2. Pfad gesund und positiv: 0.99·0.01=0.0099
3. Beide Pfade sind gleich gross, also P(K|T)=0.00990.0198=12

Verwechselst du noch, welches Ereignis die Bedingung ist, übt eine Lehrperson mit dir Vierfeldertafel, Baumdiagramm und Bayes an Aufgaben aus deinem Unterricht. Mathematik-Nachhilfe für Stochastik am Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Bedingte Wahrscheinlichkeit

So funktioniert der Trainer

Neue Fragen mit Erklärung nach jeder Antwort. Stufe 1 übt Bedingung und Formel, Stufe 2 Vierfeldertafel, Baumdiagramm und totale Wahrscheinlichkeit, Stufe 3 die Regel von Bayes und die Unabhängigkeit.

Was bedeutet A∩B?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium in der Stochastik, meist im 1. oder 2. Jahr nach dem Baumdiagramm. Vierfeldertafel, Baumdiagramm und Regel von Bayes kommen dabei zusammen.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen P(A|B) und P(A∩B)?

P(A∩B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten, bezogen auf alle Fälle. P(A|B) bezieht sich nur auf die Fälle, in denen B eingetreten ist. Darum teilst du P(A∩B) durch P(B).

Wann brauche ich die Regel von Bayes?

Wenn die Bedingung in die falsche Richtung gegeben ist: Du kennst P(B|A), gefragt ist P(A|B). Typisch sind Tests: Gegeben ist, wie oft der Test bei Kranken anschlägt, gefragt ist, wie wahrscheinlich jemand mit positivem Test krank ist.

Wie erkenne ich in einer Textaufgabe die Bedingung?

Die Bedingung ist das, was du schon weisst. Achte auf Wendungen wie «unter der Bedingung», «falls», «es ist bekannt, dass» oder «von den … sind». Was danach gefragt ist, steht links vom Strich.

In welcher Klasse kommt bedingte Wahrscheinlichkeit?

Meist am Gymnasium im 1. oder 2. Jahr, nach dem Baumdiagramm. Je nach Schule und Schwerpunktfach kommt die Regel von Bayes auch etwas später.