Kreissektor berechnen: Fläche und Kreisbogen

Ein Kreissektor ist ein Stück des Kreises zwischen zwei Radien, wie ein Tortenstück. Seine Fläche und seinen Bogen berechnest du als Anteil $\frac{\alpha}{360^\circ}$ vom ganzen Kreis.

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2. Sek
Zyklus 3
Lehrplan 21: MA.2.A.3.i

Eine Familie sitzt am Tisch, ein Mädchen schneidet eine runde Rüeblitorte in gleich grosse Stücke.

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Das musst du wissen

Erklärung

Ein Kreissektor ist ein Stück des Kreises zwischen zwei , wie ein Tortenstück. Er ist der α360° vom ganzen Kreis. Diesen Anteil rechnest du von der Kreisfläche oder vom Umfang.

Was ist ein Kreissektor?

Zeichne vom M zwei Radien zur . Sie schneiden ein Stück aus dem Kreis heraus: den Kreissektor, auch Kreisausschnitt genannt.

Der Winkel zwischen den beiden Radien heisst α. Das gebogene Stück der Kreislinie zwischen den Radien ist der Kreisbogen. Seine Länge heisst Bogenlänge b.

MerkeEin Kreissektor hat drei Ränder: zwei Radien und einen Kreisbogen.

Kreis in 4 gleiche Teile geteilt, 1 davon ist gefärbt: ein Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel α = 90°.

Der Anteil vom ganzen Kreis

Der ganze Kreis hat 360°. Ein Sektor mit α = 90° ist darum 90360=14 des Kreises, ein Sektor mit α = 60° ist 60360=16.

Dieser Anteil gilt für beides: Der Sektor hat α360° der Kreisfläche, und sein Bogen ist α360° des Kreisumfangs. Doppelt so grosser Winkel heisst doppelt so grosse Fläche und doppelt so langer Bogen.

MerkeAnteil = α : 360°. Diesen Anteil nimmst du von der Kreisfläche oder vom Umfang.

Kreis in 6 gleiche Teile geteilt, 1 davon ist gefärbt: Ein Sektor mit α = 60° ist ein Sechstel des Kreises.

Die Bogenlänge

Der ganze Kreis hat den Umfang U=2·π·r. Der Bogen ist davon der Anteil α360°:

b=α360°·2·π·r

Bei r=6 cm und α = 60°: b=16·2·π·6=2·π≈6.28 cm.

MerkeBogenlänge: Anteil mal Umfang. Das Ergebnis ist eine Länge, zum Beispiel in cm.

Die Fläche des Kreissektors

Die ganze Kreisfläche ist A=π·r². Der Sektor hat davon den Anteil α360°:

A_{S} = \frac{α}{36 0 ^{\circ}} \cdot π \cdot r^{2}

Bei r=6 cm und α = 90°: $A_{S} = \frac{1}{4} \cdot π \cdot 36 = 9 \cdot π \approx 28.3$ cm². Kennst du schon die Bogenlänge, geht es auch kürzer: $A_{S} = \frac{b \cdot r}{2}$ .

MerkeSektorfläche: Anteil mal Kreisfläche. Das Ergebnis hat eine Flächeneinheit, zum Beispiel cm².

Kreis in 4 gleiche Teile geteilt, 1 davon ist gefärbt: Der Viertelkreis hat ein Viertel der Kreisfläche.

Der Umfang des Kreissektors

Wer um den Sektor herumgeht, läuft den Bogen und die zwei Radien ab. Der Umfang des Sektors ist darum

U_{S} = b + 2 \cdot r

Das vergisst man leicht: Der Bogen allein ist nicht der ganze Rand.

Rückwärts zum Winkel oder Radius

Kennst du die Bogenlänge b und den Radius r, teilst du b durch den ganzen Umfang. Das gibt den Anteil, und mal 360° gibt den Winkel:

α=b2·π·r·360°

Bei der Fläche gehst du gleich vor: $α = \frac{A _{S}}{π \cdot r ^{2}} \cdot 36 0^{\circ}$ . Ist der Radius gesucht, stellst du die Formel nach r um, so wie bei einer .

MerkeRückwärts: Teil durch Ganzes gibt den Anteil, Anteil mal 360° gibt den Winkel.

Kreissektor und Kreisbogen: Merkblatt mit Formel und Beispiel. U_S = b + 2 · r. Ein Kreissektor hat drei Ränder: zwei Radien und einen Kreisbogen. Beispiel: A_S ≈ 28.3 cm² (mit π ≈ 3.14: 28.26, gerundet 28.3 cm²). — Merkblatt Kreissektor und Kreisbogen: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕Den Winkel direkt in die Formel setzen: $A_{S} = 90 \cdot π \cdot 6^{2}$ .
✓Zuerst durch 360° teilen: $A_{S} = \frac{90}{360} \cdot π \cdot 6^{2} = 9 \cdot π \approx 28.3$ cm².
✕Bogen und Fläche verwechseln, zum Beispiel b=α360°·π·r².
✓Der Bogen ist ein Teil des Umfangs: b=α360°·2·π·r. Beim Bogen wird nichts , die Einheit ist cm.
✕Als Umfang des Sektors nur die Bogenlänge angeben.
✓Zum Rand gehören auch die zwei Radien: $U_{S} = b + 2 \cdot r$ .
✕Bei gegebenem mit d statt r rechnen: bei d=8 cm und α = 90° $A_{S} = \frac{1}{4} \cdot π \cdot 8^{2}$ .
✓Zuerst halbieren: r=4 cm, dann $A_{S} = \frac{1}{4} \cdot π \cdot 4^{2} = 4 \cdot π \approx 12.6$ cm².

Begriffe zum Nachschlagen

Kreissektor: Das Stück eines Kreises zwischen zwei Radien und dem Kreisbogen, auch Kreisausschnitt genannt.
Kreisbogen: Das gebogene Stück der Kreislinie zwischen den zwei Radien. Seine Länge heisst Bogenlänge b.
Mittelpunktswinkel: Der Winkel α am Mittelpunkt zwischen den zwei Radien. Er bestimmt, wie gross der Sektor ist.
Radius: Die Strecke vom Mittelpunkt zur Kreislinie, kurz r. Beim Sektor sind zwei Radien Teil des Randes.
Kreiszahl π: Die Kreiszahl, ungefähr 3.14. Sie steckt in der Formel für Umfang und Fläche des Kreises.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Kreis: Umfang und Fläche

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Fläche eines Viertelkreises

Ein Kreissektor hat den Radius r=6 cm und den Mittelpunktswinkel α = 90°. Berechne seine Fläche. Runde auf .

Kreis in 4 gleiche Teile geteilt, 1 davon ist gefärbt: der Sektor mit α = 90° und r = 6 cm.

Lösung Schritt für Schritt

Zuerst den Anteil bestimmen:90360=14
Die ganze Kreisfläche mit A=π·r²:A=π·6²=36·π
Davon ein Viertel: $A_{S} = \frac{1}{4} \cdot 36 \cdot π = 9 \cdot π = 28.27 \dots$
Auf Zehntel runden: $A_{S} \approx 28.3 cm^{2}$
Mit π≈3.14 kommst du auf 9·3.14=28.26, gerundet ebenfalls 28.3 cm².

$A_{S} \approx 28.3$ cm² (mit π≈3.14: 28.26, gerundet 28.3 cm²)

Beispiel 2Bogenlänge und Umfang des Sektors

Ein Kreissektor hat r=5 cm und α = 72°. Wie lang ist der Kreisbogen? Wie gross ist der Umfang des ganzen Sektors? Rechne mit π≈3.14.

Kreis in 5 gleiche Teile geteilt, 1 davon ist gefärbt: Ein Sektor mit α = 72° ist ein Fünftel des Kreises.

Lösung Schritt für Schritt

Anteil bestimmen:72360=15
Umfang des ganzen Kreises:U=2·3.14·5=31.4 cm
Der Bogen ist ein Fünftel davon:b=15·31.4=6.28 cm
Zum Umfang des Sektors kommen die zwei Radien dazu: $U_{S} = 6.28 + 2 \cdot 5 = 16.28 cm$

Der Bogen ist b=6.28 cm lang, der Umfang des Sektors ist $U_{S} = 16.28$ cm.

Beispiel 3Wie viel Rasen bewässert der Regner?

Ein Rasensprenger am Rand eines Gartens spritzt Wasser fächerförmig über den Rasen, ein Junge schaut zu.

Im Garten von Familie Gerber in Thun steht ein Rasensprenger. Er spritzt 6 m weit und schwenkt dabei über einen Winkel von 120° hin und her. Wie gross ist die Rasenfläche, die er bewässert? Rechne mit π≈3.14.

Kreis in 3 gleiche Teile geteilt, 1 davon ist gefärbt: Der Regner bewässert einen Sektor mit α = 120°, also ein Drittel des Kreises.

Lösung Schritt für Schritt

Die bewässerte Fläche ist ein Kreissektor. Der Radius ist die Reichweite: r=6 m, der Winkel α = 120°.
Anteil bestimmen:120360=13
Ganze Kreisfläche:A=3.14·6²=3.14·36=113.04 m²
Davon ein Drittel: $A_{S} = 113.04 : 3 = 37.68 m^{2}$
Mit der π-Taste gibt es 12·π≈37.7 m².

Der Rasensprenger bewässert etwa 37.68 m² Rasen.

Beispiel 4Wie gross ist das Tortenstück?

Ein Mädchen hält ein Massband an den runden Rand eines Tortenstücks, ihre Eltern schauen vom Tisch aus zu.

Lia schneidet aus einer runden Rüeblitorte mit 12 cm Radius ein Stück. Sie misst mit dem Massband: Der Rand ihres Stücks ist aussen 6.28 cm lang. Wie gross ist der Winkel des Stücks? Wie viele solche Stücke gibt die ganze Torte? Rechne mit π≈3.14.

Lösung Schritt für Schritt

Der Rand aussen ist der Kreisbogen: b=6.28 cm. Gesucht ist der Mittelpunktswinkel α.
Umfang der ganzen Torte:U=2·3.14·12=75.36 cm
Welcher Anteil vom Umfang ist der Bogen?6.2875.36=112
Anteil mal 360° gibt den Winkel:α=112·360°=30°
Ein Stück ist ein Zwölftel der Torte. Also gibt die Torte 12 solche Stücke.

Das Stück hat einen Winkel von $30°$ . Die Torte gibt 12 solche Stücke.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Welcher Anteil des Kreises ist ein Kreissektor mit α = 90°?
Lösung zeigen
Ergebnis: 14 des Kreises
Kreis in 4 gleiche Teile geteilt, 1 davon ist gefärbt: 90° sind ein Viertel des Kreises.
1. Der ganze Kreis hat 360°.
2. 90360=14, gekürzt mit 90.
2
Ein Kreissektor hat r=9 cm und α = 40°. Wie lang ist sein Bogen? Rechne mit π≈3.14.
Lösung zeigen
Ergebnis: b=6.28 cm
Kreis in 9 gleiche Teile geteilt, 1 davon ist gefärbt: Der Bogen ist ein Neuntel des Umfangs.
1. Anteil: 40360=19
2. Umfang des Kreises: 2·3.14·9=56.52 cm
3. Bogen: 56.52:9=6.28 cm
3
Berechne die Fläche eines Halbkreises mit r=4 cm. Runde auf Zehntel.
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Ergebnis: $A_{S} \approx 25.1$ cm² (mit π≈3.14: 25.12, gerundet 25.1 cm²)
Kreis in 2 gleiche Teile geteilt, 1 davon ist gefärbt: der Halbkreis mit α = 180°.
1. Ein Halbkreis ist ein Sektor mit α = 180°, also 12 des Kreises.
2. Kreisfläche: π·4²=16·π
3. Die Hälfte: 8·π=25.13…≈25.1 cm²
4
Ein Kreissektor hat r=3 cm und α = 120°. Berechne seine Fläche mit π≈3.14.
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Ergebnis: $A_{S} = 9.42$ cm²
Kreis in 3 gleiche Teile geteilt, 1 davon ist gefärbt: Der Sektor mit α = 120° ist ein Drittel des Kreises.
1. Anteil: 120360=13
2. Kreisfläche: 3.14·3²=28.26 cm²
3. Ein Drittel: 28.26:3=9.42 cm²
5
Ein Kreis wird in 8 gleich grosse Kreissektoren geteilt. Wie gross ist der Mittelpunktswinkel eines Sektors?
Lösung zeigen
Ergebnis: $α = 45°$
Kreis in 8 gleiche Teile geteilt, 1 davon ist gefärbt: Jeder Sektor hat 45°.
1. Ein Sektor ist 18 des Kreises.
2. $\frac{1}{8} \cdot 360° = 45°$

6
Ein Kreissektor hat r=10 cm und α = 45°. Berechne seine Fläche. Runde auf .
Lösung zeigen
Ergebnis: $A_{S} \approx 39.27$ cm² (mit π≈3.14: 39.25 cm²)
1. Anteil: 45360=18
2. Kreisfläche: π·10²=100·π
3. Ein Achtel: 12.5·π=39.269…≈39.27 cm²
7
Ein Kreis hat den Durchmesser d=14 cm. Wie lang ist der Bogen eines Sektors mit α = 270°? Runde auf Zehntel.
Lösung zeigen
Ergebnis: b≈33.0 cm (mit π≈3.14: 32.97, gerundet 33.0 cm)
1. Anteil: 270360=34
2. Umfang mit dem Durchmesser: U=π·14
3. b=34·14·π=10.5·π=32.98…≈33.0 cm
8
Ein Kreissektor hat r=5 cm und α = 36°. Berechne den Umfang des Sektors mit π≈3.14.
Lösung zeigen
Ergebnis: $U_{S} = 13.14$ cm
1. Anteil: 36360=110
2. Bogen: 110·2·3.14·5=3.14 cm
3. Umfang: 3.14+2·5=13.14 cm
9
Ein Kreissektor hat den Radius r=6 cm und die Bogenlänge b=5 cm. Wie gross ist seine Fläche?
Lösung zeigen
Ergebnis: $A_{S} = 15$ cm²
1. Mit Bogen und Radius gilt $A_{S} = \frac{b \cdot r}{2}$ .
2. $A_{S} = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15$ cm²
10
Ein Kreissektor hat r=9 cm und einen Bogen von b=9.42 cm. Wie gross ist der Mittelpunktswinkel? Rechne mit π≈3.14.
Lösung zeigen
Ergebnis: $α = 60°$
1. Umfang des ganzen Kreises: 2·3.14·9=56.52 cm
2. Anteil: 9.4256.52=16
3. Winkel: $\frac{1}{6} \cdot 360° = 60°$

11
Ein Kreissektor mit r=10 cm hat eine Fläche von 78.5 cm². Wie gross ist der Mittelpunktswinkel? Rechne mit π≈3.14.
Lösung zeigen
Ergebnis: $α = 90°$
1. Ganze Kreisfläche: 3.14·10²=314 cm²
2. Anteil: 78.5314=14
3. Winkel: $\frac{1}{4} \cdot 360° = 90°$
12
Ein Viertelkreis hat eine Fläche von 50.24 cm². Wie gross ist sein Radius? Rechne mit π≈3.14.
Lösung zeigen
Ergebnis: r²=64, also r=8 cm
1. Der ganze Kreis ist viermal so gross: 4·50.24=200.96 cm²
2. Durch π teilen: r²=200.96:3.14=64
3. Wurzel ziehen: $r = 64 = 8$ cm
13
In ein Quadrat mit 4 cm Seitenlänge wird um eine Ecke ein Viertelkreis mit r=4 cm gezeichnet. Wie gross ist die Fläche des Quadrats, die ausserhalb des Viertelkreises liegt? Rechne mit π≈3.14.
Lösung zeigen
Ergebnis: 3.44 cm²
1. Quadrat: 4·4=16 cm²
2. Viertelkreis: 14·3.14·4²=12.56 cm²
3. Rest: 16−12.56=3.44 cm²
14
Ein Scheibenwischer dreht sich um 120°. Der Wischgummi reicht von 10 cm bis 50 cm Abstand vom Drehpunkt. Wie gross ist die gewischte Fläche? Rechne mit π≈3.14.
Lösung zeigen
Ergebnis: A=2'512 cm²
1. Die gewischte Fläche ist ein grosser Sektor mit R=50 cm minus ein kleiner Sektor mit r=10 cm, beide mit α = 120°.
2. Anteil: 120360=13
3. A=13·3.14·(50²−10²)=13·3.14·2'400=2'512 cm²
15
Sektor A hat b=8 cm und r=5 cm. Sektor B hat einen doppelt so langen Bogen und den halben Radius. Welcher Sektor hat die grössere Fläche?
Lösung zeigen
Ergebnis: Beide haben 20 cm², sie sind gleich gross.
1. Mit $A_{S} = \frac{b \cdot r}{2}$ : Sektor A hat 8·52=20 cm².
2. Sektor B hat b=16 cm und r=2.5 cm: 16·2.52=20 cm².
3. Doppelter Bogen und halber Radius heben sich auf.

Teilt dein Kind den Winkel noch nicht durch 360° oder vergisst es die Radien beim Umfang, rechnet eine Lehrperson genau diese Kreisaufgaben mit ihm durch. Nachhilfe in Mathematik für die Sekundarschule

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Trainer: Kreissektor und Kreisbogen

So funktioniert der Trainer

Fragen zu Kreissektor und Kreisbogen mit einer Erklärung nach jeder Antwort. Stufe 1 übt den Anteil α : 360°, Stufe 2 das Einsetzen in die Formeln, Stufe 3 das Rückwärtsrechnen und typische Fallen.

Wie viel Grad hat der ganze Kreis?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Nächstes ThemaPyramide, Kegel und KugelPyramide und Kegel fassen genau einen Drittel des Prismas oder Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe. Für die Kugel gibt es eigene Formeln mit π, und eine fehlende Höhe findest du mit dem Satz des Pythagoras.3. Sek

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 2. Sek
Zyklus: Zyklus 3
Fach: Mathematik

Meist in der 2. Sek, direkt nach Umfang und Fläche des Kreises. Später brauchst du den Kreissektor für den Mantel des Kegels.

MA.2.A.3.iFläche und Bogenlänge eines Kreisausschnitts als Anteil der ganzen Kreisfläche und des Umfangs berechnen, auch rückwärts zum Winkel oder Radius.
MA.2.B.1.kUntersuchen, wie Bogen und Fläche eines Kreisausschnitts wachsen, wenn sich der Winkel oder der Radius ändert.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Kreissektor und Kreissegment?

Der Kreissektor wird von zwei Radien und dem Bogen begrenzt, er reicht bis zum Mittelpunkt. Das Kreissegment liegt zwischen dem Bogen und der geraden Verbindung seiner Endpunkte, der Sehne. Es ist der Sektor ohne das Dreieck am Mittelpunkt.

In welcher Klasse lernt man den Kreissektor?

Meist in der 2. Sek, gleich nach Umfang und Fläche des Kreises. Im Gymnasium kommt er wieder, etwa beim Bogenmass und beim Kegel.

Muss ich die Formeln für den Kreissektor auswendig lernen?

Nein, wenn du die Kreisformeln kennst. Du rechnest einfach den Anteil α : 360° vom Umfang oder von der Fläche. So kannst du die Formeln jederzeit selbst herleiten.

Darf ich mit π ≈ 3.14 rechnen?

Ja, meist ist beides erlaubt: die π-Taste oder 3.14. Die Ergebnisse unterscheiden sich nur in den letzten Stellen. Steht in der Aufgabe eine Vorgabe, hältst du dich daran.

Kreissektor berechnen: Fläche und Kreisbogen

Erklärung

Was ist ein Kreissektor?

Der Anteil vom ganzen Kreis

Die Bogenlänge

Die Fläche des Kreissektors

Der Umfang des Kreissektors

Rückwärts zum Winkel oder Radius

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Fläche eines Viertelkreises

Beispiel 2Bogenlänge und Umfang des Sektors

Beispiel 3Wie viel Rasen bewässert der Regner?

Beispiel 4Wie gross ist das Tortenstück?

Übungen mit Lösungen

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Lehrplan 21

Häufige Fragen

Anteil

Radius

Mittelpunktswinkel

Mittelpunkt

Kreislinie

Gleichung

quadrieren

Durchmesser

Zehntel

Hundertstel