Logarithmusregeln und Logarithmusgesetze

Die Logarithmusgesetze sind die Rechenregeln für Logarithmen: Ein Produkt im Logarithmus wird zu einer Summe, ein Quotient zu einer Differenz und eine Potenz zu einem Faktor. Mit dem Basiswechsel rechnest du jeden Logarithmus mit ln oder log aus.

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1. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Eine Gymnasiastin lernt an einem Pult am Fenster, vor ihr ein Taschenrechner und ein aufgeschlagenes Heft, draussen ein See und Berge.

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Das musst du wissen

Erklärung

Die Logarithmusgesetze sind die Rechenregeln für . Ein Produkt im Logarithmus wird zur Summe, ein Quotient zur Differenz, eine zum Faktor. Damit fasst du zusammen und löst .

Erinnerung: Ein Logarithmus ist ein Exponent

Für eine Basis b>0 mit b≠1 und eine Zahl x>0 gilt:

lo g_{b} (x) = y ⟺ b^{y} = x

Die Zahl x im Logarithmus heisst Numerus. Sie muss positiv sein. Vier Werte kennst du sofort:

$lo g_{b} (1) = 0$ , weil b⁰=1
$lo g_{b} (b) = 1$ , weil b¹=b
$lo g_{b} (b^{n}) = n$
$b^{l o g_{b} (x)} = x$

Logarithmus und Potenz heben sich also gegenseitig auf.

Merke $lo g_{b} (x)$ ist die , die aus der Basis b die Zahl x macht.

Graph von y = log₂(x): Er geht durch (1 | 0), (2 | 1), (4 | 2) und (8 | 3), denn 2 hoch 0, 1, 2 und 3 gibt 1, 2, 4 und 8.

Produktregel: aus Mal wird Plus

lo g_{b} (u \cdot v) = lo g_{b} (u) + lo g_{b} (v)

Der Grund ist das Potenzgesetz $b^{m} \cdot b^{n} = b^{m + n}$ : Beim Multiplizieren von Potenzen addierst du die Exponenten. Und ein Logarithmus ist ein Exponent.

Beispiel: $lo g_{2} (4 \cdot 8) = lo g_{2} (4) + lo g_{2} (8) = 2 + 3 = 5$ . Probe: 4·8=32=2⁵.

MerkeEin Produkt im Numerus wird zu einer Summe von Logarithmen.

Zahlenstrahl: Die Strecke für log₂(4) = 2 und die Strecke für log₂(8) = 3 ergeben zusammen 5, also log₂(32) = 5.

Quotientenregel: aus Geteilt wird Minus

lo g_{b} (\frac{u}{v}) = lo g_{b} (u) - lo g_{b} (v)

Hier steckt das Potenzgesetz $b^{m} : b^{n} = b^{m - n}$ dahinter.

Beispiel: $lo g_{3} (\frac{81}{9}) = lo g_{3} (81) - lo g_{3} (9) = 4 - 2 = 2$ .

Ein Spezialfall ist der : $lo g_{b} (\frac{1}{v}) = lo g_{b} (1) - lo g_{b} (v) = - lo g_{b} (v)$ .

MerkeEin Bruch im Numerus wird zu einer Differenz: Logarithmus vom Zähler minus Logarithmus vom Nenner.

Potenzregel: der Exponent kommt nach vorne

lo g_{b} (u^{r}) = r \cdot lo g_{b} (u)

Das gilt für jede r, also auch für Brüche und . Darum kannst du auch Wurzeln so behandeln, denn $u = u^{\frac{1}{2}}$ :

lo g_{b} (u) = \frac{1}{2} \cdot lo g_{b} (u)

Beispiele: $lo g_{2} (8^{5}) = 5 \cdot lo g_{2} (8) = 5 \cdot 3 = 15$ und $lo g_{10} (1000) = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5$ .

MerkeEin Exponent im Numerus darf als Faktor vor den Logarithmus.

Graph von y = log₂(x): Bei x = 2 ist der Wert 1, bei x = 8 = 2³ ist er 3, also dreimal so gross.

Basiswechsel: jeder Logarithmus mit dem Taschenrechner

Der Taschenrechner kennt meist nur zwei Logarithmen: log zur Basis 10 und ln zur Basis e≈2.718, den . Jede andere Basis rechnest du mit dem Basiswechsel um:

lo g_{b} (x) = \frac{ln ( x )}{ln ( b )} = \frac{lo g ( x )}{lo g ( b )}

Beispiel: $lo g_{2} (10) = \frac{ln ( 10 )}{ln ( 2 )} \approx \frac{2.3026}{0.6931} \approx 3.322$ . Probe: $2^{3.322} \approx 10$ .

Alle Logarithmusgesetze gelten für jede Basis, also auch für ln und log.

MerkeLogarithmus zur Basis b = Logarithmus vom Numerus geteilt durch Logarithmus von b, beide mit ln oder beide mit log.

Graphen von y = log₂(x) und y = ln(x): Beide gehen durch (1 | 0). Bei x = 10 hat log₂(x) etwa den Wert 3.32.

Wofür es keine Regel gibt

Die Gesetze gelten nur für Produkt, Quotient und Potenz im Numerus. Für diese Terme gibt es keine Regel:

$lo g_{b} (u + v)$ und $lo g_{b} (u - v)$
$lo g_{b} (u) \cdot lo g_{b} (v)$
$\frac{lo g _{b} ( u )}{lo g _{b} ( v )}$ , das ist ein Basiswechsel, kein $lo g_{b} (\frac{u}{v})$

Prüfe im Zweifel mit Zahlen: $lo g_{10} (10 + 90) = lo g_{10} (100) = 2$ , aber $lo g_{10} (10) + lo g_{10} (90) \approx 1 + 1.954 = 2.954$ .

MerkeEine Summe im Numerus lässt sich nicht auseinandernehmen.

Logarithmusgesetze (logarithmus regeln): Merkblatt mit Formel und Beispiel. _b(x) = y b^y = x. Beispiel: 6(4) + 6(9) = 6(36) = 2 und 3(54) - 3(2) = 3(27) = 3. — Merkblatt Logarithmusgesetze: Formel und Beispiel Schritt für Schritt.

Häufige Fehler

✕ $lo g (u + v) = lo g (u) + lo g (v)$
✓Für eine Summe im Numerus gibt es keine Regel. Die Produktregel lautet $lo g (u \cdot v) = lo g (u) + lo g (v)$ .
✕ $lo g_{5} (5 \cdot 25) = lo g_{5} (5) \cdot lo g_{5} (25) = 1 \cdot 2 = 2$
✓Ein Produkt im Numerus wird zu einer Summe: $lo g_{5} (5) + lo g_{5} (25) = 1 + 2 = 3$ . Probe: 5³=125=5·25.
✕ $\frac{lo g _{2} ( 8 )}{lo g _{2} ( 2 )} = lo g_{2} (4)$
✓Ein Bruch aus zwei Logarithmen ist ein Basiswechsel: $\frac{lo g _{2} ( 8 )}{lo g _{2} ( 2 )} = \frac{3}{1} = 3$ . Die Quotientenregel gilt nur für einen Bruch im Numerus.
✕ $lo g_{3} (2 7^{2}) = (lo g_{3} (27))^{2} = 9$
✓Der Exponent wird zum Faktor: $lo g_{3} (2 7^{2}) = 2 \cdot lo g_{3} (27) = 2 \cdot 3 = 6$ .

Begriffe zum Nachschlagen

Logarithmus: Der Exponent, mit dem du die Basis potenzieren musst, um eine Zahl zu erhalten: $lo g_{2} (8) = 3$ , weil 2³=8.
Numerus: Die Zahl, von der du den Logarithmus nimmst. In $lo g_{2} (8)$ ist 8 der Numerus. Er muss immer positiv sein.
Logarithmusgesetze: Die drei Rechenregeln für Logarithmen: Produktregel, Quotientenregel und Potenzregel.
Basiswechsel: Umrechnen eines Logarithmus auf eine andere Basis: $lo g_{b} (x) = \frac{ln ( x )}{ln ( b )}$ .
Natürlicher Logarithmus: Der Logarithmus zur Basis e≈2.718, geschrieben $ln (x)$ . Auf dem Taschenrechner die Taste ln.
Quotientenregel: Logarithmusgesetz für einen Bruch im Numerus: Logarithmus vom Zähler minus Logarithmus vom Nenner.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Logarithmus Potenzen und Potenzgesetze

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Zusammenfassen ohne Taschenrechner

Berechne ohne Taschenrechner: $lo g_{6} (4) + lo g_{6} (9)$ und $lo g_{3} (54) - lo g_{3} (2)$ .

Graph von y = log₃(x): Bei x = 27 hat er den Wert 3, weil 3³ = 27.

Lösung Schritt für Schritt

Einzeln sind $lo g_{6} (4)$ und $lo g_{6} (9)$ keine schönen Zahlen. Fasse sie mit der Produktregel zusammen. $lo g_{6} (4) + lo g_{6} (9) = lo g_{6} (4 \cdot 9) = lo g_{6} (36)$
Es ist 6²=36. $lo g_{6} (36) = 2$
Bei der Differenz hilft die Quotientenregel. $lo g_{3} (54) - lo g_{3} (2) = lo g_{3} (\frac{54}{2}) = lo g_{3} (27)$
Es ist 3³=27. $lo g_{3} (27) = 3$

$lo g_{6} (4) + lo g_{6} (9) = lo g_{6} (36) = 2$ und $lo g_{3} (54) - lo g_{3} (2) = lo g_{3} (27) = 3$ .

Beispiel 2Einen Term zerlegen

Schreibe $lo g_{2} (\frac{8 x ^{3}}{y})$ für x,y>0 als Summe und Differenz einfacher Logarithmen.

Lösung Schritt für Schritt

Zuerst die Quotientenregel: Logarithmus vom Zähler minus Logarithmus vom Nenner. $lo g_{2} (8 x^{3}) - lo g_{2} (y)$
Dann die Produktregel für den Zähler. $lo g_{2} (8) + lo g_{2} (x^{3}) - lo g_{2} (y)$
Schreibe die Wurzel als Potenz mit Exponent 12. $y = y^{\frac{1}{2}}$
Mit der Potenzregel kommen die Exponenten nach vorne. Ausserdem ist $lo g_{2} (8) = 3$ . $3 + 3 lo g_{2} (x) - \frac{1}{2} lo g_{2} (y)$

$lo g_{2} (\frac{8 x ^{3}}{y}) = 3 + 3 lo g_{2} (x) - \frac{1}{2} lo g_{2} (y)$ Probe mit x=2 und y=4: $lo g_{2} (\frac{8 \cdot 2 ^{3}}{4}) = lo g_{2} (32) = 5$ und 3+3·1−12·2=5.

Beispiel 3Wann ist das Sparkonto bei 6'000 Franken?

Eine Jugendliche sitzt am Küchentisch neben einem Sparschwein und denkt nach, durchs Fenster sieht man Häuser einer Schweizer Stadt.

Lea aus Winterthur legt 5'000 Fr. auf ein Sparkonto mit 2 % Zins pro Jahr. Der Zins wird jedes Jahr gutgeschrieben und weiter verzinst. Nach wie vielen Jahren hat sie zum ersten Mal mehr als 6'000 Fr.?

Lösung Schritt für Schritt

Jedes Jahr wird das Guthaben mit 1.02 multipliziert. Nach t Jahren sind es $5000 \cdot 1.0 2^{t}$ Franken. $5000 \cdot 1.0 2^{t} = 6000$
Teile durch 5000. $1.0 2^{t} = 1.2$
Nimm auf beiden Seiten den ln. Mit der Potenzregel kommt t nach vorne. $t \cdot ln (1.02) = ln (1.2)$
Teile durch $ln (1.02)$ und rechne mit dem Taschenrechner. $t = \frac{ln ( 1.2 )}{ln ( 1.02 )} \approx \frac{0.1823}{0.0198} \approx 9.21$
Der Zins kommt nur einmal pro Jahr. Nach 9 Jahren reicht es noch nicht, nach 10 Jahren schon.

Aus $1.0 2^{t} = 1.2$ folgt t≈9.21. Nach 10 Jahren hat Lea zum ersten Mal mehr als 6'000 Fr., nämlich etwa 6'095 Fr.

Beispiel 4Algen im Gartenteich

Ein Junge kniet am Rand eines kleinen Gartenteichs mit grünen Algen und schaut ins Wasser, im Hintergrund Berge.

In einem Gartenteich in Chur bedecken Algen heute 2 m². Die Fläche verdreifacht sich jede Woche. Nach wie vielen Wochen sind es 50 m²?

Lösung Schritt für Schritt

Nach t Wochen sind es $2 \cdot 3^{t}$ Quadratmeter. $2 \cdot 3^{t} = 50$
Teile durch 2. $3^{t} = 25$
Nimm auf beiden Seiten den ln und wende die Potenzregel an. $t \cdot ln (3) = ln (25)$
Löse nach t auf. Das ist genau der Basiswechsel für $lo g_{3} (25)$ . $t = \frac{ln ( 25 )}{ln ( 3 )} \approx \frac{3.2189}{1.0986} \approx 2.93$

Aus $3^{t} = 25$ folgt $t = lo g_{3} (25) \approx 2.93$ . Nach knapp 3 Wochen bedecken die Algen 50 m².

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Berechne $lo g_{3} (3) + lo g_{3} (27)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $lo g_{3} (81) = 4$
Zahlenstrahl: Die Strecken für log₃(3) = 1 und log₃(27) = 3 ergeben zusammen 4.
1. Produktregel: $lo g_{3} (3) + lo g_{3} (27) = lo g_{3} (3 \cdot 27)$ .
2. 3·27=81
3. 3⁴=81, also $lo g_{3} (81) = 4$ .
2
Berechne $lo g_{3} (45) - lo g_{3} (5)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $lo g_{3} (9) = 2$
Graph von y = log₃(x): Bei x = 9 hat er den Wert 2.
1. Quotientenregel: $lo g_{3} (45) - lo g_{3} (5) = lo g_{3} (\frac{45}{5})$ .
2. 455=9
3. 3²=9, also $lo g_{3} (9) = 2$ .
3
Berechne $lo g_{5} (2 5^{3})$ mit der Potenzregel.
Lösung zeigen
Ergebnis: 3·2=6
Graph von y = log₅(x): Bei x = 25 hat er den Wert 2. Mal 3 gibt das 6.
1. Potenzregel: $lo g_{5} (2 5^{3}) = 3 \cdot lo g_{5} (25)$ .
2. 5²=25, also $lo g_{5} (25) = 2$ .
3. 3·2=6
4
Berechne $lo g_{10} (20) + lo g_{10} (5)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $lo g_{10} (100) = 2$
Graph von y = log(x) zur Basis 10: Bei x = 100 hat er den Wert 2.
1. Produktregel: $lo g_{10} (20 \cdot 5) = lo g_{10} (100)$ .
2. 10²=100, also ist das Ergebnis 2.
5
Berechne $ln (e^{5})$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $5 \cdot ln (e) = 5$
1. Potenzregel: $ln (e^{5}) = 5 \cdot ln (e)$ .
2. $ln (e) = 1$ , weil e¹=e.
3. 5·1=5

6
Fasse zu einem Logarithmus zusammen und berechne: $2 lo g_{10} (5) + lo g_{10} (4)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $lo g_{10} (100) = 2$
1. Potenzregel rückwärts: $2 lo g_{10} (5) = lo g_{10} (5^{2}) = lo g_{10} (25)$ .
2. Produktregel: $lo g_{10} (25) + lo g_{10} (4) = lo g_{10} (100)$ .
3. $lo g_{10} (100) = 2$
7
Zerlege $lo g_{3} (9 x^{2})$ für x>0 so weit wie möglich.
Lösung zeigen
Ergebnis: $lo g_{3} (9) + lo g_{3} (x^{2}) = 2 + 2 lo g_{3} (x)$
1. Produktregel: $lo g_{3} (9) + lo g_{3} (x^{2})$ .
2. $lo g_{3} (9) = 2$
3. Potenzregel: $lo g_{3} (x^{2}) = 2 lo g_{3} (x)$ .
8
Berechne $lo g_{2} (32)$ ohne Taschenrechner.
Lösung zeigen
Ergebnis: 52=2.5
1. Schreibe die Wurzel als Potenz: $32 = 3 2^{\frac{1}{2}}$ .
2. Potenzregel: $\frac{1}{2} \cdot lo g_{2} (32)$ .
3. $lo g_{2} (32) = 5$ , also 12·5=52.
9
Berechne $lo g_{4} (8)$ mit dem Basiswechsel zur Basis 2.
Lösung zeigen
Ergebnis: 32
1. Basiswechsel: $lo g_{4} (8) = \frac{lo g _{2} ( 8 )}{lo g _{2} ( 4 )}$ .
2. $lo g_{2} (8) = 3$ und $lo g_{2} (4) = 2$ .
3. 32. Probe: $4^{1.5} = 8$ .
10
Löse die $8^{x} = 16$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: x=43
1. Logarithmiere: $x = lo g_{8} (16)$ .
2. Basiswechsel zur Basis 2: $x = \frac{lo g _{2} ( 16 )}{lo g _{2} ( 8 )} = \frac{4}{3}$ .

11
Löse $lo g_{3} (x) + lo g_{3} (x - 6) = 3$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: x=9
1. Produktregel: $lo g_{3} (x (x - 6)) = 3$ , also x(x−6)=3³=27.
2. x²−6x−27=0, also (x−9)(x+3)=0.
3. Beide Numeri müssen positiv sein, also x>6. Darum fällt x=−3 weg.
4. Probe: $lo g_{3} (9) + lo g_{3} (3) = 2 + 1 = 3$ .
12
Fasse $lo g (x) + 3 lo g (y) - \frac{1}{2} lo g (z)$ zu einem Logarithmus zusammen. Berechne den Wert für x=10, y=10 und z=100.
Lösung zeigen
Ergebnis: $lo g (\frac{x y ^{3}}{z})$ , Wert 3
1. Potenzregel rückwärts: $3 lo g (y) = lo g (y^{3})$ und $\frac{1}{2} lo g (z) = lo g (z)$ .
2. Produkt- und Quotientenregel: $lo g (\frac{x y ^{3}}{z})$ .
3. Einsetzen: 10·100010=1000, und $lo g (1000) = 3$ .
13
Löse $lo g_{2} (x) = lo g_{4} (36)$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: x=6
1. Basiswechsel zur Basis 2: $lo g_{4} (36) = \frac{lo g _{2} ( 36 )}{lo g _{2} ( 4 )} = \frac{1}{2} lo g_{2} (36)$ .
2. Potenzregel: $\frac{1}{2} lo g_{2} (36) = lo g_{2} (36) = lo g_{2} (6)$ .
3. Aus $lo g_{2} (x) = lo g_{2} (6)$ folgt x=6.
14
Berechne $lo g_{2} (3) \cdot lo g_{3} (8)$ ohne Taschenrechner.
Lösung zeigen
Ergebnis: 3
1. Basiswechsel zu ln: $\frac{ln ( 3 )}{ln ( 2 )} \cdot \frac{ln ( 8 )}{ln ( 3 )}$ .
2. $ln (3)$ kürzt sich weg: $\frac{ln ( 8 )}{ln ( 2 )} = lo g_{2} (8)$ .
3. $lo g_{2} (8) = 3$
15
Löse $9^{x} = 3^{x + 4}$ mit dem Logarithmus zur Basis 3.
Lösung zeigen
Ergebnis: x=4
1. Nimm auf beiden Seiten $lo g_{3}$ : $x \cdot lo g_{3} (9) = (x + 4) \cdot lo g_{3} (3)$ .
2. 2x=x+4
3. x=4. Probe: 9⁴=6561=3⁸.

Bringst du Produkt-, Quotienten- und Potenzregel durcheinander? Eine Lehrperson übt die Logarithmusgesetze mit dir an deinen eigenen Aufgaben aus dem Gymnasium. Mathematik-Nachhilfe für das Gymnasium

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Trainer: Logarithmusgesetze

So funktioniert der Trainer

Neue Aufgaben zu den Logarithmusgesetzen mit Rückmeldung und Erklärung. Stufe 1 rechnet mit einem Gesetz, Stufe 2 fasst Terme zusammen und zerlegt sie, Stufe 3 übt Basiswechsel und Gleichungen.

Berechne log₁₀(√100000). Gib eine Dezimalzahl an.

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Nächstes ThemaLogarithmusfunktion und lnDie Logarithmusfunktion $f(x) = \log_b(x)$ gibt zu jeder positiven Zahl x den Exponenten an, mit dem du die Basis b potenzieren musst, um x zu erhalten. Sie ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, und ln ist der Logarithmus zur Basis e.1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium

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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 1. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im 1. Jahr, direkt nach der Einführung des Logarithmus. Danach braucht man die Gesetze für Exponentialgleichungen, Wachstum und die Logarithmusfunktion.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Wann lernt man die Logarithmusgesetze?

Meist im 1. Jahr am Gymnasium, kurz nachdem der Logarithmus eingeführt wurde. Danach brauchst du sie bei Exponentialgleichungen, Wachstum und der Logarithmusfunktion.

Gelten die Logarithmusregeln auch für ln?

Ja. Die Gesetze gelten für jede Basis, also auch für ln mit der Basis e und für log mit der Basis 10. Zum Beispiel ist ln(2) + ln(5) = ln(10).

Warum gibt es keine Regel für log(a + b)?

Die Gesetze kommen aus den Potenzgesetzen, und dort gibt es keine Regel für eine Summe von Potenzen. Ein Zahlenbeispiel zeigt es: log(10 + 90) = 2, aber log(10) + log(90) ist etwa 2.954.

Wozu braucht man den Basiswechsel?

Der Taschenrechner hat meist nur log und ln. Mit dem Basiswechsel rechnest du trotzdem jeden Logarithmus aus: Logarithmus zur Basis b = ln(x) / ln(b), zum Beispiel log₅(12) = ln(12) / ln(5). So löst du auch Gleichungen wie 3ˣ = 7.

Logarithmusregeln und Logarithmusgesetze

Erklärung

Erinnerung: Ein Logarithmus ist ein Exponent

Produktregel: aus Mal wird Plus

Quotientenregel: aus Geteilt wird Minus

Potenzregel: der Exponent kommt nach vorne

Basiswechsel: jeder Logarithmus mit dem Taschenrechner

Wofür es keine Regel gibt

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Zusammenfassen ohne Taschenrechner

Beispiel 2Einen Term zerlegen

Beispiel 3Wann ist das Sparkonto bei 6'000 Franken?

Beispiel 4Algen im Gartenteich

Übungen mit Lösungen

Trainer: Logarithmusgesetze

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Einordnung

Häufige Fragen

Exponentialgleichung

Logarithmus

Potenz

Term

Hochzahl

Kehrwert

Negative Zahl

Reelle Zahlen

Natürlicher Logarithmus

Gleichung