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Fokus Nachhilfe

Sechseck, Fünfeck, Achteck: regelmässige Vielecke

Ein regelmässiges Vieleck hat lauter gleich lange Seiten und gleich grosse Winkel. Du zeichnest es in einen Kreis, rechnest mit dem Mittelpunktswinkel 360° : n und findest so Innenwinkel, Umfang und Fläche.

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  • 6. Klasse - 1. Sek
  • Zyklus 2–3
  • Lehrplan 21: MA.2.A.1.h
Zwei Kinder betrachten an einem Holztisch eine Bienenwabe und legen sechseckige Holzplättchen lückenlos aneinander.
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Das musst du wissen

Erklärung

Ein hat lauter gleich lange Seiten und gleich grosse . Seine Ecken liegen auf einem Kreis, am sind zwei Nachbarecken immer auseinander. Mit diesem Winkel zeichnest du das Vieleck und rechnest alles Weitere aus.

Fünfeck, Sechseck, Achteck: die Namen

Der Name sagt die Anzahl Ecken: Fünfeck 5, Sechseck 6, Achteck 8, Zehneck 10. Seiten hat es gleich viele wie Ecken. Allgemein sagt man .

Das Fachwort ist Polygon. Das Sechseck heisst auch Hexagon, das Fünfeck Pentagon, das Achteck Oktogon.

MerkeRegelmässig heisst: alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich gross.

Das Sechseck: sechs gleichseitige Dreiecke

Verbinde im regelmässigen Sechseck den Mittelpunkt mit allen Ecken. Es entstehen sechs gleiche Dreiecke mit je am Mittelpunkt. Die zwei anderen Winkel sind gleich gross, also auch je .

Die Dreiecke sind darum gleichseitig. Die Seite des Sechsecks ist genau so lang wie der des Kreises durch die Ecken.

MerkeIm regelmässigen Sechseck gilt: Seitenlänge = Radius.

60°60°60°M
Eines der sechs Dreiecke im regelmässigen Sechseck: Spitze am Mittelpunkt M, alle drei Winkel 60°, alle drei Seiten gleich lang.

Der Mittelpunktswinkel: 360° geteilt durch n

Jedes regelmässige Vieleck zerfällt vom Mittelpunkt aus in n gleiche Dreiecke. Der Winkel am Mittelpunkt heisst Mittelpunktswinkel. Alle zusammen füllen den Kreis, also .

Fünfeck , Sechseck , Achteck .

MerkeMittelpunktswinkel = 360° : Anzahl Ecken.

54°54°72°M
Eines der fünf Dreiecke im regelmässigen Fünfeck: 72° am Mittelpunkt M, je 54° an den beiden Ecken.

Der Innenwinkel

Der ist der Winkel an einer Ecke, innen im Vieleck. An jeder Ecke stossen zwei Dreiecke zusammen. Ihre zwei Winkel dort geben zusammen minus Mittelpunktswinkel.

Fünfeck , Sechseck , Achteck .

MerkeInnenwinkel und Mittelpunktswinkel geben zusammen 180°.

60°60°120°120°
Die obere Hälfte eines regelmässigen Sechsecks, entlang der längsten Diagonale abgeschnitten: Die zwei Ecken oben haben den vollen Innenwinkel von 120°.

Winkelsumme und Aussenwinkel

Alle Innenwinkel zusammen sind die . Im n-Eck ist sie , weil du das n-Eck von einer Ecke aus in n−2 Dreiecke zerlegen kannst. Im Sechseck sind es also . Geteilt auf 6 Ecken gibt das wieder .

Gehst du dem Rand entlang, biegst du an jeder Ecke um den ab. Im regelmässigen Vieleck ist er gleich gross wie der Mittelpunktswinkel.

Regelmässige Vielecke zeichnen

Zeichne einen Kreis, seinen Mittelpunkt und einen Radius. Trage am Mittelpunkt mit dem den Mittelpunktswinkel ab, immer weiter, bis du rundherum bist.

Wo die den Kreis schneiden, liegen die Ecken. Verbinde sie der Reihe nach. Für ein Fünfeck trägst du fünfmal ab.

MerkeEcken auf einem Kreis, am Mittelpunkt immer 360° : n auseinander.

Das Sechseck nur mit dem Zirkel

Zeichne einen Kreis mit dem Radius, den die Seite haben soll. Stich auf dem Kreis ein und schlage mit derselben Zirkelöffnung einen Bogen auf den Kreis.

Vom neuen Punkt aus machst du dasselbe, immer rundherum. Nach sechs Bögen bist du genau beim Start. Verbinde die sechs Punkte.

Umfang und Fläche

Der ist Anzahl Seiten mal Seitenlänge: U=n·s.

Für die Fläche zerlegst du das Vieleck in seine n Dreiecke. Jedes hat unten die Seite s. Seine Höhe h ist der Abstand vom Mittelpunkt zur Mitte der Seite.

A=n·s·h:2
Regelmässige Vielecke (sechseck): Merkblatt mit Formel und Beispiel. A = n · s · h : 2. Regelmässig heisst: alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich gross. Beispiel: Mittelpunktswinkel 72°, Innenwinkel 108°.
Merkblatt Regelmässige Vielecke: Formel und Beispiel Schritt für Schritt.

Häufige Fehler

  • ✕Innenwinkel im regelmässigen Sechseck: .

    ✓​ ist der Mittelpunktswinkel. Der Innenwinkel an der Ecke ist .

  • ✕Jedes Sechseck hat Winkel von .

    ✓Nur das regelmässige Sechseck. Ein beliebiges Sechseck kann ganz verschiedene Winkel haben, zusammen sind es aber immer .

  • ✕Alle Seiten sind gleich lang, also ist das Viereck regelmässig.

    ✓Es braucht auch gleich grosse Winkel. Ein schief gedrücktes Quadrat hat vier gleich lange Seiten, ist aber nicht regelmässig. Das einzige regelmässige Viereck ist das Quadrat.

  • ✕Für ein Sechseck mit Seite 4 cm zeichne ich einen Kreis mit 4 cm .

    ✓Der Radius muss 4 cm sein, also 8 cm Durchmesser. Im regelmässigen Sechseck ist die Seite gleich lang wie der Radius.

Begriffe zum Nachschlagen
Regelmässiges Vieleck
Ein Vieleck, in dem alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich gross sind.
n-Eck
Ein Vieleck mit n Ecken. Das n steht für eine Zahl ab 3, zum Beispiel ist ein 6-Eck ein Sechseck.
Mittelpunktswinkel
Der Winkel am Mittelpunkt zwischen den Linien zu zwei benachbarten Ecken. Im regelmässigen n-Eck ist er 360° : n.
Innenwinkel
Der Winkel an einer Ecke, innen im Vieleck.
Aussenwinkel
Der Winkel, um den du an einer Ecke abbiegst, wenn du dem Rand entlang gehst. Innenwinkel und Aussenwinkel geben zusammen 180°.
Winkelsumme
Alle Innenwinkel einer Figur zusammengezählt. Im n-Eck sind es (n − 2) · 180°.
Umkreis
Der Kreis, auf dem alle Ecken liegen. Jedes regelmässige Vieleck hat einen.
Gleichseitiges Dreieck
Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten. Jeder seiner Winkel ist 60°.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Geometrische Formen: Kreis, Dreieck, Quadrat, RechteckWinkel messen, zeichnen und Winkelarten

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Winkel im regelmässigen Fünfeck

Wie gross sind der Mittelpunktswinkel und der Innenwinkel in einem regelmässigen Fünfeck?

54°54°72°M
Ein Teildreieck des Fünfecks: 72° am Mittelpunkt M, je 54° an den Ecken. Zwei solche 54° bilden zusammen einen Innenwinkel von 108°.
Lösung Schritt für Schritt
  1. Das Fünfeck hat 5 Ecken. Der Mittelpunktswinkel ist:
  2. Der Innenwinkel ist 180° minus Mittelpunktswinkel:
  3. Kontrolle mit der Winkelsumme: , geteilt auf 5 Ecken.

Mittelpunktswinkel , Innenwinkel .

Beispiel 2Sechseck mit dem Zirkel konstruieren

ein regelmässiges Sechseck mit der Seitenlänge 3 cm. Wie lang ist sein Umfang?

Lösung Schritt für Schritt
  1. Seite = Radius: Zeichne einen Kreis mit dem Radius 3 cm um den Mittelpunkt M.
  2. Markiere irgendwo auf dem Kreis den Punkt A. Stich dort ein und schlage mit 3 cm Zirkelöffnung einen Bogen auf den Kreis: Punkt B.
  3. Stich in B ein und mach weiter, bis du nach C, D, E und F wieder bei A ankommst.
  4. Verbinde A, B, C, D, E, F der Reihe nach. Alle sechs Seiten sind 3 cm lang, der Umfang ist:U=6·3 cm=18 cm

Ein Sechseck mit sechs Seiten zu 3 cm, Umfang 18 cm.

Beispiel 3Fläche eines sechseckigen Sandkastens

Kinder spielen auf einem Spielplatz in einem grossen sechseckigen Sandkasten mit Holzrand, zwei Erwachsene schauen zu.

Auf einem Spielplatz in Winterthur steht ein Sandkasten in Form eines regelmässigen Sechsecks. Jede Seite ist 2 m lang. Der Abstand vom Mittelpunkt zur Mitte einer Seite ist rund 1.73 m. Wie viel Fläche hat der Sandkasten?

Lösung Schritt für Schritt
  1. Zerlege das Sechseck vom Mittelpunkt aus in 6 gleiche Dreiecke. Jedes hat unten die Seite 2 m und die Höhe 1.73 m.
  2. Fläche eines Dreiecks:2·1.73:2=1.73 m2
  3. Sechs Dreiecke zusammen:6·1.73=10.38 m2
  4. Weil 1.73 m ist, stimmt auch 10.38 nicht aufs genau. Sag darum: gut 10 m².

Mit der gerundeten Höhe gibt das 6·1.73=10.38 m², also hat der Sandkasten gut 10 m² Fläche.

Beispiel 4Rückwärts: Wie viele Ecken?

Ein regelmässiges Vieleck hat Innenwinkel von je . Wie viele Ecken hat es?

Lösung Schritt für Schritt
  1. Innenwinkel und Mittelpunktswinkel geben zusammen 180°. Der Mittelpunktswinkel ist also:
  2. Wie oft passt 36° in den ganzen Kreis?
  3. Probe: Zehneck, Innenwinkel . Stimmt.

Das Vieleck hat 10 Ecken, es ist ein Zehneck.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

  1. 1

    Wie gross ist der Mittelpunktswinkel im regelmässigen Sechseck?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​

    60°M
    Ein Teildreieck des Sechsecks mit dem Mittelpunktswinkel von 60° bei M.
    1. Das Sechseck hat 6 Ecken.
    2. ​
  2. 2

    Ein regelmässiges Fünfeck hat Seiten von 4 cm. Wie lang ist sein Umfang?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​20 cm

    1. Ein Fünfeck hat 5 gleich lange Seiten.
    2. ​U=5·4 cm=20 cm
  3. 3

    Wie gross ist der Mittelpunktswinkel im regelmässigen Achteck?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​

    45°M
    Ein schmales Teildreieck des Achtecks mit dem Mittelpunktswinkel von 45° bei M.
    1. Das Achteck hat 8 Ecken.
    2. ​
  4. 4

    Wie gross ist der Innenwinkel im regelmässigen Sechseck?

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    Ergebnis: ​

    120°120°
    Halbes Sechseck: Die beiden oberen Ecken zeigen den Innenwinkel von 120°.
    1. Mittelpunktswinkel:
    2. Innenwinkel:
  5. 5

    Ein regelmässiges Achteck hat einen Umfang von 48 cm. Wie lang ist eine Seite?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​6 cm

    1. Das Achteck hat 8 gleich lange Seiten.
    2. ​48 cm:8=6 cm
  1. 6

    Wie gross ist der Innenwinkel im regelmässigen Achteck?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​

    1. Mittelpunktswinkel:
    2. Innenwinkel:
    3. Kontrolle: und .
  2. 7

    Wie gross ist der Innenwinkel im regelmässigen Zwölfeck?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​

    1. Mittelpunktswinkel:
    2. Innenwinkel:
  3. 8

    Ein regelmässiges Vieleck hat einen Mittelpunktswinkel von . Wie viele Ecken hat es?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 9 Ecken (Neuneck)

    1. Alle Mittelpunktswinkel zusammen ergeben .
    2. ​, also ein Neuneck.
  4. 9

    Ein Gartenpavillon in Luzern hat einen Boden in Form eines regelmässigen Sechsecks mit Seiten von 2.5 m. Rund um den Rand soll eine Lichterkette laufen. Wie lang muss sie mindestens sein?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​15 m

    1. Die Lichterkette läuft einmal rundherum, gesucht ist der Umfang.
    2. ​U=6·2.5 m=15 m
  5. 10

    Die Ecken eines regelmässigen Sechsecks liegen auf einem Kreis mit dem Durchmesser 12 cm. Wie lang ist der Umfang des Sechsecks?

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    Ergebnis: ​36 cm

    1. Radius: 12 cm:2=6 cm
    2. Im Sechseck ist die Seite gleich lang wie der Radius, also 6 cm.
    3. ​U=6·6 cm=36 cm
  1. 11

    Alle Innenwinkel eines regelmässigen Vielecks geben zusammen . Wie viele Ecken hat es, und wie gross ist ein Innenwinkel?

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    Ergebnis: 10 Ecken (Zehneck), Innenwinkel

    1. Winkelsumme:
    2. ​, also n−2=8 und n=10.
    3. Innenwinkel:
    4. Probe:
  2. 12

    Ein regelmässiges Sechseck hat Seiten von 4 cm. Der Abstand vom Mittelpunkt zur Mitte einer Seite ist rund 3.5 cm. Berechne die Fläche ungefähr.

    Lösung zeigen

    Ergebnis: rund 42 cm²

    1. 6 Dreiecke, jedes mit der Seite 4 cm unten und der Höhe 3.5 cm.
    2. Ein Dreieck: 4·3.5:2=7 cm²
    3. Alle sechs: 6·7=42 cm²
  3. 13

    Bodenplatten in Form regelmässiger Sechsecke lassen sich lückenlos verlegen. Wie viele Platten treffen an einer Ecke zusammen? Gehen regelmässige Fünfecke auch?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: 3 Sechsecke; Fünfecke gehen nicht.

    1. An einer Ecke müssen die Innenwinkel zusammen genau geben.
    2. Sechseck: , es passen genau 3 Platten.
    3. Fünfeck: geht nicht auf. Drei Platten geben , vier schon . Es bleibt immer eine Lücke oder es überlappt.
  4. 14

    Im regelmässigen Fünfeck ABCDE zeichnest du die Diagonale von A nach C. Wie gross ist der Winkel bei A im Dreieck ABC?

    Lösung zeigen

    Ergebnis: ​

    1. Der Innenwinkel bei B ist .
    2. Die Seiten AB und BC sind gleich lang. Das Dreieck ABC ist also gleichschenklig, seine Winkel bei A und C sind gleich gross.
    3. Für die beiden bleiben .
    4. Winkel bei A:

Verwechselt dein Kind Innenwinkel und Mittelpunktswinkel oder klappt die Konstruktion mit Zirkel und Geodreieck noch nicht, übt eine Lehrperson Schritt für Schritt mit ihm. Nachhilfe in Geometrie für die 6. Klasse und die Sek

Üben ohne Ende

Trainer: Regelmässige Vielecke

So funktioniert der Trainer

Unbegrenzt neue Aufgaben zu Winkeln im Vieleck, mit Rückmeldung und Rechenweg. Stufe 1 übt die Winkelsumme im n-Eck, Stufe 2 den Innenwinkel im regelmässigen Vieleck, Stufe 3 das Rückwärtsrechnen der Anzahl Ecken und den Aussenwinkel.

Wie gross ist die Winkelsumme in einem Zehneck?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Nächstes ThemaWinkelsumme im Dreieck und VieleckDie Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen immer 180°, die eines Vierecks 360° und die eines Vielecks mit n Ecken (n − 2) · 180°. Damit berechnest du fehlende Winkel, ohne zu messen.1. Sek - 2. Sek

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse
6. Klasse - 1. Sek
Zyklus
Zyklus 2–3
Fach
Mathematik

Meist in der 6. Klasse und der 1. Sek: zuerst Vielecke im Kreis zeichnen, dann Mittelpunktswinkel, Innenwinkel, Umfang und Fläche berechnen.

  • MA.2.A.1.hRegelmässige Vielecke wie Fünfeck, Sechseck und Achteck mit den richtigen Wörtern beschreiben: Seite, Ecke, Umkreis, Mittelpunkt, gleichseitig.
  • MA.2.A.3.eDen Umfang eines Vielecks aus seinen Seiten berechnen, beim regelmässigen Vieleck als Anzahl Seiten mal Seitenlänge.
  • MA.2.C.2.gWinkel mit dem Geodreieck messen und abtragen, zum Beispiel den Mittelpunktswinkel beim Zeichnen eines Fünfecks im Kreis.
  • MA.2.C.2.hMit Zirkel und Lineal gleichseitige Dreiecke konstruieren und daraus ein regelmässiges Sechseck zusammensetzen.
  • MA.2.A.3.gEin regelmässiges Vieleck in gleiche Dreiecke zerlegen und so seine Fläche berechnen.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Wie gross ist ein Winkel im Sechseck?

Im regelmässigen Sechseck ist jeder Innenwinkel 120°, alle sechs zusammen 720°. Am Mittelpunkt hat jedes der sechs Dreiecke einen Winkel von 60°. Bei einem unregelmässigen Sechseck sind die Winkel verschieden, die Summe bleibt 720°.

Wie heisst ein Sechseck auf Griechisch?

Hexagon, vom griechischen Wort für sechs. Das Fünfeck heisst Pentagon, das Achteck Oktogon. Allgemein sagt man zu einem Vieleck Polygon.

Wie zeichnet man ein regelmässiges Fünfeck?

Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt und einen Radius. Trage am Mittelpunkt mit dem Geodreieck fünfmal 72° ab und verbinde die fünf Punkte auf dem Kreis. Es gibt auch eine Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal, sie ist aber deutlich länger.

Warum sind Bienenwaben sechseckig?

Regelmässige Sechsecke passen lückenlos aneinander, weil drei Innenwinkel von 120° genau 360° geben. Das schaffen sonst nur gleichseitige Dreiecke und Quadrate. Von diesen drei Formen braucht das Sechseck für dieselbe Fläche am wenigsten Rand, also am wenigsten Wachs.

Stand 08.11.2026. Alle Erklärungen und Aufgaben hat Fokus Nachhilfe selbst geschrieben, nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz. Trainer und Lösungen rechnet ein Programm, nicht eine KI. Fehler gefunden?