Mengenlehre: Vereinigung, Schnittmenge, Venn-Diagramm

Eine Menge fasst Zahlen oder Dinge zu einem Ganzen zusammen. Mit Schnittmenge, Vereinigung, Differenz und Venn-Diagramm beschreibst du, was zwei Mengen gemeinsam haben und was nicht.

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2. Sek - 1. Jahr Gymnasium
Zyklus 3, Gymnasium
Lehrplan 21: MA.1.A.1.k

Zwei Jugendliche sortieren bunte Bälle in zwei Gymnastikreifen, die sich wie ein Venn-Diagramm überlappen: einige Bälle liegen in beiden Reifen, einige ausserhalb.

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Das musst du wissen

Erklärung

Eine Menge ist eine Sammlung von Zahlen oder Dingen. Was dazugehört, sind ihre Elemente; du schreibst sie in geschweifte , etwa $A = {2; 4; 6}$ . Mit Schnittmenge, Vereinigung und Differenz verknüpfst du zwei Mengen und zeichnest sie im Venn-Diagramm.

Mengen schreiben

Du kannst eine Menge aufzählen: $A = {1; 2; 3; 4}$ . Oder du beschreibst die Eigenschaft: $A = {x ∣ x ist eine ganze Zahl von 1 bis 4}$ . Gelesen: «alle x, für die gilt …». Das Wort «ganze» ist wichtig: Ohne es gehörte auch 2.5 dazu.

Die Reihenfolge spielt keine Rolle, und jedes Element zählt nur einmal: ${3; 1; 3} = {1; 3}$ .

MerkeIn einer Menge steht jedes Element genau einmal, die Reihenfolge ist egal.

Zahlenstrahl: Die Menge A mit den Elementen 1, 2, 3 und 4 sind vier einzelne Punkte, keine Strecke.

Element oder nicht

$3 \in A$ heisst: 3 ist ein Element von A. $7 \in / A$ heisst: 7 gehört nicht zu A.

Die Anzahl Elemente schreibst du mit senkrechten Strichen: |A|=4. Man nennt sie auch die Mächtigkeit von A.

Teilmenge und leere Menge

B ist eine von A, wenn jedes Element von B auch in A liegt: ${2; 4} \subseteq {1; 2; 3; 4}$ . Manche Lehrmittel schreiben dafür $\subset$ . Oft heisst $\subset$ aber echte Teilmenge, also eine Teilmenge, die nicht die ganze Menge ist.

Die leere Menge hat kein einziges Element. Du schreibst ${}$ oder $\emptyset$ . Sie ist Teilmenge jeder Menge.

MerkeJede Menge ist Teilmenge von sich selbst, und die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.

Schnittmenge und Vereinigung

Die Schnittmenge $A \cap B$ enthält, was in A und in B liegt. Die Vereinigungsmenge $A \cup B$ enthält, was in A oder in B liegt, auch in beiden.

Mit $A = {1; 2; 3; 4}$ und $B = {3; 4; 5}$ gilt $A \cap B = {3; 4}$ und $A \cup B = {1; 2; 3; 4; 5}$ .

Ist $A \cap B = {}$ , haben die Mengen nichts gemeinsam. Sie heissen dann disjunkt.

Merke∩ heisst «und», ∪ heisst «oder».

Säulen zu den drei Feldern des Venn-Diagramms: Die 1 und die 2 liegen nur in A, die 3 und die 4 in beiden, die 5 nur in B.

Differenz und Komplement

Die Differenzmenge $A ∖ B$ , gelesen «A ohne B», enthält, was in A liegt, aber nicht in B. Im Beispiel ist $A ∖ B = {1; 2}$ , aber $B ∖ A = {5}$ .

Alle Elemente, um die es geht, bilden die Grundmenge G. Das Komplement von A ist alles aus G, was nicht in A liegt. Man schreibt es oft $\overline{A}$ .

MerkeBei der Differenz kommt es auf die Reihenfolge an.

Venn-Diagramm und Zählformel

Im Venn-Diagramm ist jede Menge ein Kreis und das Rechteck darum die Grundmenge. Wo sich die Kreise überlappen, liegt die Schnittmenge.

Rechnest du |A|+|B|, zählst du die Schnittmenge doppelt. Darum gilt:

∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣

MerkeBei Textaufgaben füllst du das Venn-Diagramm von innen nach aussen: zuerst die Schnittmenge.

Säulen zu den drei Feldern des Venn-Diagramms. 12 Kinder spielen Fussball, 8 Unihockey, 5 davon beides: 7 nur Fussball, 5 beides, 3 nur Unihockey, zusammen 15.

Mengenlehre und Venn-Diagramm: Merkblatt mit Formel und Beispiel. |A B| = |A| + |B| - |A B|. In einer Menge steht jedes Element genau einmal, die Reihenfolge ist egal. Beispiel: A B = 1; 2; 3; 6 und A B = 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18 mit 8 Elementen. — Merkblatt Mengenlehre und Venn-Diagramm: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕Mit $A = {1; 2; 3}$ und $B = {2; 3; 4}$ ist $A \cup B = {1; 2; 2; 3; 3; 4}$ .
✓Jedes Element steht nur einmal: $A \cup B = {1; 2; 3; 4}$ .
✕12 Kinder spielen Fussball, 8 Unihockey, 5 beides. Also sind es 12+8=20 Kinder.
✓Die 5 Kinder, die beides spielen, sind doppelt gezählt: 12+8−5=15.
✕ $A ∖ B$ und $B ∖ A$ sind dasselbe.
✓Mit $A = {1; 2; 3; 4}$ und $B = {3; 4; 5}$ ist $A ∖ B = {1; 2}$ , aber $B ∖ A = {5}$ .
✕Die leere Menge schreibt man ${0}$ .
✓ ${0}$ hat ein Element, die Zahl 0. Die leere Menge ist ${}$ oder $\emptyset$ .

Begriffe zum Nachschlagen

Element: Etwas, das zu einer Menge gehört. $3 \in A$ heisst: 3 ist ein Element von A.
Teilmenge: B ist Teilmenge von A, wenn jedes Element von B auch in A liegt. Man schreibt $B \subseteq A$ .
Leere Menge: Die Menge ohne ein einziges Element, geschrieben ${}$ oder $\emptyset$ .
Schnittmenge: Alle Elemente, die in A und in B liegen, geschrieben $A \cap B$ .
Vereinigungsmenge: Alle Elemente, die in A oder in B liegen, geschrieben $A \cup B$ .
Disjunkt: Zwei Mengen ohne gemeinsames Element. Ihre Schnittmenge ist leer.
Differenzmenge: Alle Elemente von A, die nicht in B liegen, geschrieben $A ∖ B$ und gelesen «A ohne B».
Grundmenge: Die Menge aller Elemente, um die es in einer Aufgabe geht, oft G genannt.
Komplement: Alles aus der Grundmenge, was nicht in A liegt, geschrieben $\overline{A}$ .
Venn-Diagramm: Eine Zeichnung, in der jede Menge ein Kreis ist. Die Überlappung zeigt die Schnittmenge.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Teilbarkeitsregeln, Teiler und Vielfache ggT und kgV

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Schnittmenge und Vereinigung bestimmen

A ist die Menge der Teiler von 12, B die Menge der Teiler von 18. Bestimme $A \cap B$ und $A \cup B$ .

Nur in A liegen 4 und 12, in beiden 1, 2, 3 und 6, nur in B die 9 und die 18.

Lösung Schritt für Schritt

Zähle die Teiler von 12 auf: $A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}$
Zähle die Teiler von 18 auf: $B = {1; 2; 3; 6; 9; 18}$
In beiden Mengen liegen 1, 2, 3 und 6: $A \cap B = {1; 2; 3; 6}$
Für die Vereinigung nimmst du alle Zahlen, jede nur einmal. Das sind 6+6−4=8 Elemente: $A \cup B = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18}$

$A \cap B = {1; 2; 3; 6}$ und $A \cup B = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18}$ mit 8 Elementen.

Beispiel 2Differenz und Komplement

Die Grundmenge ist $G = {1; 2; \dots; 10}$ . A sind die geraden Zahlen in G, B die Zahlen in G, die durch 3 sind. Bestimme $A ∖ B$ und das Komplement von $A \cup B$ .

Zahlenstrahl: Im Komplement von A ∪ B liegen nur die Zahlen 1, 5 und 7.

Lösung Schritt für Schritt

Zähle beide Mengen auf: $A = {2; 4; 6; 8; 10}, B = {3; 6; 9}$
Aus A streichst du, was auch in B liegt, also die 6: $A ∖ B = {2; 4; 8; 10}$
Die Vereinigung hat 5+3−1=7 Elemente: $A \cup B = {2; 3; 4; 6; 8; 9; 10}$
Ins Komplement kommt alles aus G, was fehlt. Das sind 10−7=3 Zahlen: $\overline{A \cup B} = {1; 5; 7}$

$A ∖ B = {2; 4; 8; 10}$ , das Komplement von $A \cup B$ ist ${1; 5; 7}$ mit 3 Elementen.

Beispiel 3Musik und Chor in einer Klasse

Jugendliche im Musikzimmer einer Schule: einige spielen Gitarre und Geige, andere singen zusammen.

In einer Klasse in Winterthur sind 24 Lernende. 14 spielen ein Instrument, 9 singen im Chor, 5 machen beides. Wie viele machen weder das eine noch das andere?

9 nur Instrument, 5 beides, 4 nur Chor und 6 keines: zusammen die 24 Lernenden der Klasse.

Lösung Schritt für Schritt

Zuerst die Schnittmenge: 5 machen beides.
Nur Instrument und nur Chor:14−5=9, 9−5=4
Mit der Zählformel sind es zusammen: $∣ I \cup C ∣ = 14 + 9 - 5 = 18$
Der Rest der Klasse macht keines von beiden:24−18=6

6 Lernende spielen kein Instrument und singen nicht im Chor.

Beispiel 4Mit Velo und Bus zur Schule

Jugendliche mit Velos und andere an einer Bushaltestelle vor einem Schulhaus in einer Schweizer Stadt.

In Luzern werden 60 Jugendliche befragt. 38 fahren manchmal mit dem Velo zur Schule, 27 manchmal mit dem Bus, 11 nie mit einem der beiden. Wie viele nutzen beides?

Lösung Schritt für Schritt

Mindestens eines der beiden nutzen alle ausser den 11: $∣ V \cup B ∣ = 60 - 11 = 49$
Stelle die Zählformel nach der Schnittmenge um: $∣ V \cap B ∣ = ∣ V ∣ + ∣ B ∣ - ∣ V \cup B ∣$
Setze ein:38+27−49=16
Probe: nur Velo 38−16=22, nur Bus 27−16=11, mit beidem und keinem: 22+11+16+11=60.

16 Jugendliche fahren mal mit dem Velo und mal mit dem Bus.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg4Üben5Knacknüsse4

1
$A = {2; 4; 6; 8}$ und $B = {4; 8; 12}$ . Bestimme $A \cap B$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $A \cap B = {4; 8}$ , also 2 Elemente.
Nur in A liegen 2 und 6, in beiden 4 und 8, nur in B die 12.
1. Suche die Zahlen, die in beiden Mengen stehen.
2. Die 4 und die 8 stehen in A und in B.
3. $A \cap B = {4; 8}$ .
2
$A = {a; b; c}$ und $B = {c; d}$ . Bestimme $A \cup B$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $A \cup B = {a; b; c; d}$ mit 4 Elementen.
Nur in A liegen a und b, in beiden das c, nur in B das d.
1. Nimm alle Elemente aus A und B zusammen.
2. Das c steht in beiden, du schreibst es nur einmal.
3. $A \cup B = {a; b; c; d}$ , also 3+2−1=4 Elemente.
3
Die Grundmenge ist $G = {1; 2; \dots; 8}$ und $A = {1; 3; 5; 7}$ . Bestimme das Komplement von A.
Lösung zeigen
Ergebnis: $\overline{A} = {2; 4; 6; 8}$ mit 4 Elementen.
Zahlenstrahl: Das Komplement von A sind die Punkte 2, 4, 6 und 8.
1. Das Komplement ist alles aus G, was nicht in A liegt.
2. Aus 1 bis 8 streichst du 1, 3, 5 und 7.
3. Es bleiben 8−4=4 Zahlen: ${2; 4; 6; 8}$ .
4
$A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$ und $B = {5; 6; 7}$ . Bestimme $A ∖ B$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $A ∖ B = {1; 2; 3; 4}$ mit 4 Elementen.
Zahlenstrahl: A ohne B, das sind die Punkte 1, 2, 3 und 4.
1. «A ohne B»: Aus A streichst du alles, was auch in B steht.
2. In beiden stehen 5 und 6.
3. Es bleiben 6−2=4 Elemente: ${1; 2; 3; 4}$ .

5
Schreib alle Teilmengen von ${a; b}$ auf. Wie viele sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis: Es sind 4: ${}$ , ${a}$ , ${b}$ und ${a; b}$ .
1. Die leere Menge ist immer eine Teilmenge.
2. Dazu kommen ${a}$ und ${b}$ mit je einem Element.
3. Auch die Menge selbst ist eine Teilmenge: ${a; b}$ .
4. Jedes Element ist dabei oder nicht: 2·2=4.
6
A sind die von 4 bis 30, B die Vielfachen von 6 bis 30. Bestimme $A \cap B$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $A \cap B = {12; 24}$ , also 2 Elemente.
1. $A = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28}$ .
2. $B = {6; 12; 18; 24; 30}$ .
3. In beiden: 12 und 24. Das sind die Vielfachen von 12, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) von 4 und 6.
7
A sind die kleiner als 10, $B = {4; 6; 8; 9}$ . Sind A und B disjunkt? Wie viele Elemente hat $A \cup B$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: Ja, $A \cap B = {}$ , die Mengen sind disjunkt. $∣ A \cup B ∣ = 8$ .
1. $A = {2; 3; 5; 7}$ .
2. Keine Zahl steht in A und in B, also ist $A \cap B$ leer.
3. Ohne Schnittmenge zählst du einfach zusammen: 4+4−0=8.
8
Von 20 Kindern in Chur fahren 12 Ski, 10 Snowboard und 4 beides. Wie viele fahren weder Ski noch Snowboard?
Lösung zeigen
Ergebnis: 2 Kinder fahren weder Ski noch Snowboard.
1. Mindestens eines fahren 12+10−4=18 Kinder.
2. Die 4 sind sonst doppelt gezählt.
3. Weder noch: 20−18=2.
9
Es gilt |A|=15, |B|=9 und $∣ A \cup B ∣ = 20$ . Wie viele Elemente hat $A \cap B$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: $∣ A \cap B ∣ = 4$
1. Zählformel: $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$ .
2. Umgestellt: $∣ A \cap B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cup B ∣$ .
3. 15+9−20=4.

10
Wie viele Teilmengen von ${1; 2; 3; 4}$ enthalten die Zahl 1?
Lösung zeigen
Ergebnis: 8 Teilmengen enthalten die 1, also genau die Hälfte aller 16 Teilmengen.
1. Die 1 ist in jeder dieser Teilmengen fest dabei.
2. Für 2, 3 und 4 gilt je: dabei oder nicht. Das gibt 2·2·2=8 Teilmengen.
3. Kontrolle: ${1; 2; 3; 4}$ hat 2·2·2·2=16 Teilmengen, die Hälfte enthält die 1: 16:2=8.
11
Die Grundmenge ist $G = {1; 2; \dots; 20}$ . Wie viele Zahlen in G sind weder gerade noch durch 3 teilbar?
Lösung zeigen
Ergebnis: 7 Zahlen: 1, 5, 7, 11, 13, 17 und 19.
1. Gerade Zahlen in G: 10. Durch 3 teilbar: 3, 6, 9, 12, 15, 18, also 6.
2. Beides, also durch 6 teilbar: 6, 12, 18, also 3.
3. Mindestens eines: 10+6−3=13.
4. Weder noch: 20−13=7.
12
Für die Schulreise werden 30 Lernende befragt. 17 möchten wandern, 15 baden, 4 wollen keines von beiden. Wie viele möchten beides?
Lösung zeigen
Ergebnis: 6 Lernende möchten wandern und baden.
1. Mindestens eines möchten 30−4=26.
2. Schnittmenge: 17+15−26=6.
3. Probe: nur wandern 11, nur baden 9, beides 6, keines 4, zusammen 30.
13
Es gilt $A \cap B = {3}$ , $A \cup B = {1; 2; 3; 4; 5}$ und $A ∖ B = {1; 2}$ . Bestimme A und B.
Lösung zeigen
Ergebnis: $A = {1; 2; 3}$ und $B = {3; 4; 5}$ , B hat also 3 Elemente.
1. A besteht aus «A ohne B» und der Schnittmenge: $A = {1; 2; 3}$ .
2. Alles aus $A \cup B$ , was nicht in $A ∖ B$ liegt, gehört zu B.
3. $B = {3; 4; 5}$ , also 5−2=3 Elemente.

Bringt dein Kind Schnittmenge, Differenz und Zählformel noch durcheinander, übt eine Lehrperson mit ihm, jede Aufgabe zuerst im Venn-Diagramm zu ordnen. Mathematik-Nachhilfe für Sek und Gymnasium

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Trainer: Mengenlehre

So funktioniert der Trainer

Immer neue Fragen zu Elementen, Teilmengen, Schnittmenge, Vereinigung und Differenz. Stufe 1 übt die Zeichen, Stufe 2 leere Mengen, Komplement und Zählformel, Stufe 3 Teilmengen zählen und Textaufgaben.

A = {1; 2; 3} und B = {2; 3; 4}. Was ist A ∩ B?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 2. Sek - 1. Jahr Gymnasium
Stufe: Zyklus 3, Gymnasium
Fach: Mathematik

In der Sek beim Ordnen von Zahlen und in der Wahrscheinlichkeit, oft ohne eigenes Kapitel. Im ersten Jahr am Gymnasium kommt die Mengenlehre mit Schreibweise, Mengenoperationen und Venn-Diagramm ausführlich.

MA.1.A.1.kZahlen wie 5, −3 oder ein Drittel in Mengen ordnen und erkennen, dass eine Zahlenmenge ganz in einer grösseren liegt, also deren Teilmenge ist.
MA.3.A.1.mSichere, mögliche und unmögliche Ereignisse unterscheiden; ein unmögliches Ereignis enthält kein Ergebnis, wie die leere Menge.
MA.3.C.1.hDie möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments übersichtlich darstellen, etwa als Menge oder in einem Diagramm.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernt man Mengenlehre?

Einzelne Teile wie Teilmengen und Zahlenmengen kommen in der 2. und 3. Sek vor. Ausführlich mit Schreibweise und Mengenoperationen meist im ersten Jahr am Gymnasium. Je nach Kanton und Schule kann es abweichen.

Was ist der Unterschied zwischen Schnittmenge und Vereinigungsmenge?

In der Schnittmenge liegt nur, was in beiden Mengen vorkommt. In der Vereinigungsmenge liegt alles, was in mindestens einer der Mengen vorkommt. Die Schnittmenge ist darum nie grösser als die Vereinigung.

Was bedeutet disjunkt?

Zwei Mengen sind disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Element haben. Ihre Schnittmenge ist dann die leere Menge. Im Venn-Diagramm überlappen sich ihre Kreise nicht.

Wofür braucht man Mengenlehre?

Mit Mengen schreibst du Lösungen von Gleichungen und Ergebnisse von Zufallsexperimenten genau auf. Das Venn-Diagramm hilft bei Umfragen und Textaufgaben, in denen sich Gruppen überschneiden.

Mengenlehre: Vereinigung, Schnittmenge, Venn-Diagramm

Erklärung

Mengen schreiben

Element oder nicht

Teilmenge und leere Menge

Schnittmenge und Vereinigung

Differenz und Komplement

Venn-Diagramm und Zählformel

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Schnittmenge und Vereinigung bestimmen

Beispiel 2Differenz und Komplement

Beispiel 3Musik und Chor in einer Klasse

Beispiel 4Mit Velo und Bus zur Schule

Übungen mit Lösungen

Trainer: Mengenlehre

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Lehrplan 21

Häufige Fragen

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teilbar

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Primzahl