Sinuskurve: Sinusfunktion und trigonometrische Funktionen

Die Sinuskurve ist der Graph der Funktion f(x) = sin x: eine Welle, die sich alle 360° beziehungsweise 2π wiederholt. Hier lernst du die wichtigsten Werte, die Eigenschaften von Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion und wie Amplitude, Periode und Verschiebung die Kurve verändern.

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1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Zwei Jugendliche am Seeufer schwingen ein langes Seil, das eine gleichmässige Welle bildet.

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Das musst du wissen

Erklärung

Die Sinuskurve ist der der $f (x) = sin x$ . Sie ist eine Welle zwischen −1 und 1, die sich alle 360° beziehungsweise 2π wiederholt. Mit Amplitude, Periode und passt du sie an jede Schwingung an.

Wertetabelle der wichtigsten Winkel

x in Grad	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
x im	0	π6	π4	π3	π2	π	3π2	2π
$sin x$	0	12	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	1	0	−1	0
$cos x$	1	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	12	0	−1	0	1

Also ist $sin 9 0^{\circ} = 1$ der höchste und $sin 27 0^{\circ} = - 1$ der tiefste Wert. Andere Winkel rechnet der Taschenrechner.

Merke180°=π. Bei Funktionen steht x im Bogenmass: Taschenrechner auf RAD.

Vom Einheitskreis zur Sinuskurve

Am (Radius 1) gehört zu jedem Winkel x ein Punkt auf dem Kreis. Seine Höhe (y-Koordinate) ist $sin x$ , seine x-Koordinate ist $cos x$ . Rechts der y-Achse ist sie positiv, links negativ.

Lässt du den Punkt einmal ganz herumlaufen und trägst die Höhe über dem Winkel ab, entsteht die Sinuskurve. Trägst du die x-Koordinate ab, entsteht die Kosinuskurve.

Einheitskreis mit Radius 1 und dem Winkel 30°: Der Punkt auf dem Kreis liegt 0.5 hoch, das ist sin 30°. Nach rechts liegt er etwa 0.87 weit, das ist cos 30°.

Eigenschaften der Sinuskurve

Die Sinusfunktion ist für alle definiert. Ihre Werte liegen zwischen −1 und 1.

Nach 2π wiederholt sich die Kurve: $sin (x + 2 π) = sin x$ . liegen bei 0,π,2π,…, also bei allen Vielfachen von π. Der Hochpunkt liegt bei π2, der Tiefpunkt bei 3π2.

Die Kurve ist punktsymmetrisch zum Ursprung: $sin (- x) = - sin x$ .

MerkeDie Sinuskurve startet im Ursprung und steigt: null, hoch, null, tief, null.

Sinuskurve von 0 bis 2π: Hochpunkt bei π/2 mit dem Wert 1, Nullstelle bei π, Tiefpunkt bei 3π/2 mit dem Wert −1, nach 2π beginnt die Welle von vorn.

Kosinusfunktion und Tangensfunktion

Die Kosinuskurve ist dieselbe Welle, nur um π2 nach links verschoben: $cos x = sin (x + \frac{π}{2})$ . Sie startet bei $cos 0 = 1$ und ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Die Tangensfunktion ist $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ . Wo $cos x = 0$ ist, bei π2+kπ, hat sie . Sie wiederholt sich schon nach π und nimmt jeden Wert an.

Sinuskurve und Kosinuskurve von 0 bis 2π: Die Kosinuskurve beginnt bei x = 0 oben mit dem Wert 1, die Sinuskurve beginnt bei 0. Sonst sind beide gleich geformt.

Amplitude, Periode und Verschiebung

Die allgemeine Form ist $f (x) = a \cdot sin (b (x - c)) + d$ .

|a| ist die Amplitude: So weit geht die Kurve über und unter die Mittellinie. b ändert die Periode: p=2π|b|. c verschiebt die Kurve nach rechts, d nach oben. Bei negativem c geht es nach links, bei negativem d nach unten.

MerkeGrosses b heisst schnelle Welle: Die Periode wird kürzer.

Die Sinuskurve und die Kurve von g(x) = 2 sin(2x): g geht bis 2 hinauf und bis −2 hinunter, Amplitude 2. Sie wiederholt sich schon nach π, also doppelt so oft.

Sinuskurve und trigonometrische Funktionen: Merkblatt mit Regel und Beispiel. 180^ = π. Bei Funktionen steht x im Bogenmass: Taschenrechner auf RAD. Beispiel: 150^ = 1/2. — Merkblatt Sinuskurve und trigonometrische Funktionen: Regel und Beispiel Schritt für Schritt.

Häufige Fehler

✕ $sin (2 x)$ hat die doppelte Periode von $sin x$ .
✓Der Faktor 2 staucht die Kurve: Die Periode halbiert sich auf 2π2=π.
✕ $f (x) = sin (2 x - π)$ ist um π nach rechts verschoben.
✓Zuerst 2 : $sin (2 (x - \frac{π}{2}))$ . Die Verschiebung ist π2 nach rechts.
✕Die Amplitude von $f (x) = - 2 sin x$ ist −2.
✓Die Amplitude ist immer positiv, hier |−2|=2. Das Minus spiegelt die Kurve an der x-Achse.
✕Taschenrechner auf DEG: $sin (π) \approx 0.0548$ .
✓x steht im Bogenmass, also Taschenrechner auf RAD: $sin (π) = 0$ .

Begriffe zum Nachschlagen

Sinusfunktion: Die Funktion $f (x) = sin x$ . Ihr Graph heisst Sinuskurve.
Amplitude: Wie weit eine Welle über und unter ihre Mittellinie geht. Bei $f (x) = a \cdot sin x$ ist sie |a|.
Periode: Die Länge, nach der sich eine Kurve wiederholt. Bei $sin x$ und $cos x$ ist sie 2π, bei $tan x$ nur π.
Bogenmass: Winkel als Länge des Bogens am Einheitskreis: 180°=π, 90°=π2. Taschenrechner-Modus RAD.
Einheitskreis: Ein Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Der Punkt zum Winkel x hat die Koordinaten $(cos x ∣ sin x)$ .
Polstelle: Eine Stelle, an der eine Funktion nicht definiert ist und der Graph ins Unendliche geht. Beim Tangens bei π2+kπ.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Sinus, Kosinus und Tangens Einheitskreis und Bogenmass Funktionen, Wertetabellen und Graphen

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Einen Wert mit dem Einheitskreis finden

Bestimme $sin 15 0^{\circ}$ ohne Taschenrechner.

Einheitskreis mit Radius 1 und dem Winkel 150°: Der Punkt liegt links oben, gleich hoch wie der Punkt zu 30°, nämlich 0.5 über der x-Achse.

Lösung Schritt für Schritt

150° liegt 30° vor 180°. Der Punkt auf dem Einheitskreis ist das Spiegelbild des Punkts zu 30° an der y-Achse.150°=180°−30°
Beim Spiegeln an der y-Achse bleibt die Höhe gleich. Die Höhe ist der . $sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ}$
Aus der Wertetabelle: $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

$sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

Beispiel 2Amplitude und Periode ablesen

Bestimme Amplitude und Periode von $f (x) = 3 sin (4 x)$ .

Kurve von f(x) = 3 sin(4x): Sie geht bis 3 hinauf und bis −3 hinunter. Bei π/2 ist eine ganze Welle fertig.

Lösung Schritt für Schritt

Die Amplitude ist der Faktor vor dem Sinus.|a|=3
Die Periode rechnest du mit b=4 aus.p=2π4=π2
In Grad: 360° durch 4.360°:4=90°

Amplitude 3, Periode π2, das sind 90°

Beispiel 3Funktionsgleichung aus dem Graphen

Eine Sinuskurve geht bis 5 hinauf und bis −1 hinunter. Sie wiederholt sich nach 4π und steigt bei x=0 durch ihre Mittellinie. Bestimme $f (x) = a \cdot sin (b x) + d$ .

Sinuskurve um die Mittellinie y = 2: Hochpunkt bei 5, Tiefpunkt bei −1, eine ganze Welle von 0 bis 4π.

Lösung Schritt für Schritt

Die Mittellinie liegt in der Mitte zwischen höchstem und tiefstem Wert.d=5+(−1)2=2
Die Amplitude ist der halbe Abstand zwischen höchstem und tiefstem Wert.a=5−(−1)2=3
Aus der Periode folgt b.b=2π4π=12
Die Kurve steigt bei 0 durch die Mittellinie, also gibt es keine Verschiebung nach rechts und a ist positiv.

$f (x) = 3 sin (\frac{x}{2}) + 2$ , also a=3, b=12 und d=2

Beispiel 4Wie hoch ist die Gondel im Riesenrad?

Ein grosses Riesenrad auf einem Platz in einer Schweizer Altstadt, in einer Gondel winken zwei Jugendliche.

Ein Riesenrad hat einen Durchmesser von 36 m. Die Achse steht 20 m hoch, eine Umdrehung dauert 12 Minuten. Eine Gondel startet ganz unten. Ihre Höhe in Metern nach t Minuten ist $h (t) = 20 - 18 cos (\frac{π}{6} t)$ . Wie hoch ist sie nach 2 Minuten?

Lösung Schritt für Schritt

Setze t=2 ein. $h (2) = 20 - 18 cos (\frac{2 π}{6}) = 20 - 18 cos (\frac{π}{3})$
π3 sind 60°, und $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .h(2)=20−18·12
Ausrechnen.h(2)=20−9=11
Kontrolle: Am Start ist h(0)=20−18=2 m, nach 6 Minuten ganz oben h(6)=20+18=38 m. 11 m liegt dazwischen.

Nach 2 Minuten ist die Gondel 11 m hoch.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
Welchen Wert hat $sin 9 0^{\circ}$ ? Welcher Punkt der Sinuskurve ist das?
Lösung zeigen
Ergebnis: $sin 9 0^{\circ} = 1$ , der Hochpunkt
Sinuskurve mit dem Hochpunkt bei x = π/2, also 90°, mit dem Wert 1.
1. 90° ist π2 im Bogenmass.
2. Am Einheitskreis liegt der Punkt zu 90° ganz oben, Höhe 1.
3. Höher geht die Sinuskurve nie: Das ist der Hochpunkt.
2
Wie gross ist die Amplitude von $f (x) = 4 sin x$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: Die Amplitude ist 4.
Die Sinuskurve und g(x) = 4 sin x: g geht bis 4 hinauf und bis −4 hinunter, viermal so hoch wie sin x.
1. Die Amplitude ist der Faktor vor dem Sinus.
2. Die Kurve geht bis 4 hinauf und bis −4 hinunter.
3
Wie lang ist die Periode von $f (x) = sin (3 x)$ in Grad?
Lösung zeigen
Ergebnis: p=120°, im Bogenmass 2π3
Kurve von f(x) = sin(3x): Bei 2π/3, also 120°, ist die erste ganze Welle fertig. Bis 2π passen drei Wellen.
1. Die Periode ist 360° geteilt durch b.
2. 360°:3=120°
4
Welchen Wert hat $cos 18 0^{\circ}$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: $cos 18 0^{\circ} = - 1$
Kosinuskurve mit dem Tiefpunkt bei x = π, also 180°, mit dem Wert −1.
1. Am Einheitskreis liegt der Punkt zu 180° ganz links.
2. Seine x-Koordinate ist −1, das ist der Kosinus.
5
Zwischen welchen Werten schwankt $f (x) = sin x + 2$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: Zwischen 1 und 3
1. $sin x$ schwankt zwischen −1 und 1.
2. Das +2 schiebt alles um 2 nach oben: −1+2=1 und 1+2=3.

6
Bestimme Amplitude und Periode von $f (x) = 5 sin (\frac{x}{2})$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: Amplitude 5, Periode 4π, das sind 720°
1. Die Amplitude ist der Faktor vor dem Sinus: 5.
2. Hier ist b=12.
3. p=2π1/2=4π, in Grad 360°·2=720°.
7
Bestimme $sin 21 0^{\circ}$ exakt.
Lösung zeigen
Ergebnis: $sin 21 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$
1. 210°=180°+30°.
2. Der Punkt liegt links unten, gleich weit unter der x-Achse wie der Punkt zu 30° darüber.
3. Also $sin 21 0^{\circ} = - sin 3 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .
8
Wie viele Nullstellen hat $f (x) = sin (2 x)$ im Bereich von 0 bis 2π, die Ränder mitgezählt?
Lösung zeigen
Ergebnis: 5 Nullstellen: 0, π2, π, 3π2 und 2π
1. $sin (2 x) = 0$ , wenn 2x ein Vielfaches von π ist.
2. Also x=0,π2,π,3π2,2π.
3. Das sind 5 Stellen.
9
Zwischen welchen Werten schwankt $f (x) = 3 cos x - 1$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: Zwischen −4 und 2
1. $3 cos x$ schwankt zwischen −3 und 3.
2. Minus 1: −3−1=−4 und 3−1=2.
10
Gib eine Sinusfunktion an mit Amplitude 2 und Periode π, um 1 nach oben verschoben.
Lösung zeigen
Ergebnis: $f (x) = 2 sin (2 x) + 1$
1. Amplitude 2 heisst a=2.
2. Aus p=2πb=π folgt b=2.
3. Nach oben verschieben: d=1.

11
Um wie viel ist $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{2})$ gegenüber $sin (2 x)$ verschoben? Gib die Antwort auch in Grad an.
Lösung zeigen
Ergebnis: Um π4 nach rechts, das sind 45°
1. 2 ausklammern: $2 x - \frac{π}{2} = 2 (x - \frac{π}{4})$ .
2. Die Verschiebung ist c=π4 nach rechts.
3. In Grad: 90°:2=45°.
12
Löse $sin x = \frac{1}{2}$ für 0°≤x≤360°.
Lösung zeigen
Ergebnis: x=30° und x=150°
1. Aus der Wertetabelle: $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
2. Am Einheitskreis hat der Punkt zu 180°−30° dieselbe Höhe.
3. Also auch x=150°. Zwischen 180° und 360° ist der Sinus negativ, dort gibt es keine Lösung.
13
Wo hat $f (x) = tan x$ zwischen 0° und 360° Polstellen, und wie lang ist ihre Periode?
Lösung zeigen
Ergebnis: Polstellen bei 90° und 270°, Periode 180°
1. $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ ist nicht definiert, wo $cos x = 0$ ist.
2. Das ist bei 90° und 270°.
3. Der Abstand der Polstellen ist die Periode: 270°−90°=180°.
14
Ein vereinfachtes Modell für die Temperatur in Chur an einem Frühlingstag ist $T (t) = 8 - 6 cos (\frac{π}{12} t)$ , t in Stunden nach Mitternacht, T in °C. Wie warm ist es um 8 Uhr?
Lösung zeigen
Ergebnis: Um 8 Uhr sind es 11 °C.
1. t=8 einsetzen: π12·8=2π3, das sind 120°.
2. $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .
3. $T (8) = 8 - 6 \cdot (- \frac{1}{2}) = 8 + 3 = 11$ .

Verlierst du bei Periode, Verschiebung und Bogenmass den Überblick? Eine Lehrperson geht die Sinuskurve mit dir an deinen eigenen Aufgaben durch. Nachhilfe in Mathematik für das Gymnasium

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Neue Fragen zu Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion mit Erklärung nach jeder Antwort. Stufe 1 übt die wichtigen Werte, Stufe 2 die Eigenschaften der Kurven, Stufe 3 Amplitude, Periode und Verschiebung.

Welcher Modus muss am Taschenrechner eingestellt sein, wenn x im Bogenmass steht?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Einordnung

Typische Klasse: 1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im 2. Jahr, nach dem Einheitskreis und dem Bogenmass. Später brauchst du die Kurven beim Ableiten und in der Physik bei Schwingungen und Wellen.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Wie zeichnet man eine Sinuskurve?

Markiere auf der x-Achse 0, π2, π, 3π2 und 2π. Trage dort die Werte 0, 1, 0, −1, 0 ein und verbinde sie mit einer runden Welle, nicht mit geraden Strichen. Für mehr Genauigkeit nimmst du die Werte aus der Wertetabelle dazu.

Was ist der Unterschied zwischen Sinuskurve und Kosinuskurve?

Beide haben dieselbe Form, Amplitude 1 und Periode 2π. Die Kosinuskurve ist um π2 nach links verschoben: Sie beginnt bei x=0 oben, die Sinuskurve in der Mitte.

Warum rechnet man bei der Sinusfunktion im Bogenmass?

Im Bogenmass sind Winkel gewöhnliche Zahlen, die auf derselben Achse stehen können wie die y-Werte. Erst so lassen sich die Kurven sauber zeichnen und später ableiten. Achte darauf, dass der Taschenrechner dann auf RAD steht.

In welcher Klasse lernt man trigonometrische Funktionen?

Meist im 2. Jahr am Gymnasium, nach Sinus, Kosinus und Tangens im Dreieck und dem Einheitskreis. In der Volksschule kommen sie nicht vor. In der Physik brauchst du sie wieder für Schwingungen und Wellen.