Volumen einer Kugel

Das Volumen einer Kugel hängt nur vom Radius ab: V = 4/3 · π · r³. Hier lernst du die Formel, rechnest mit Durchmesser und Litern und findest rückwärts den Radius aus dem Volumen.

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3. Sek
Zyklus 3
Lehrplan 21: MA.2.A.3.j

Eine Kugel mit eingezeichnetem Radius r vom Mittelpunkt zum Rand und der Volumenformel V = 4/3 · π · r³.

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Das musst du wissen

Erklärung

Eine Kugel ist ein Körper, bei dem jeder Punkt am Rand gleich weit vom Mittelpunkt entfernt ist. Ihr Volumen berechnest du mit V=43·π·r³, du brauchst also nur den Radius r. Am Schluss schreibst du die Einheit dazu, etwa cm³, oder rechnest in Liter um.

Nur der Radius zählt

Der Radius r ist die Strecke vom Mittelpunkt M bis zum Rand der Kugel. Der Durchmesser d geht durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand. Er ist doppelt so lang wie der Radius: r=d:2.

Steht in der Aufgabe der Durchmesser, halbierst du ihn zuerst. Erst dann setzt du in die Formel ein.

MerkeDurchmesser gegeben? Zuerst halbieren.

Schnitt durch die Mitte einer Kugel: Der Radius r reicht vom Mittelpunkt M bis zum Rand.

Die Formel für das Volumen

V=43·π·r³=4·π·r³3

So gehst du vor: Zuerst rechnest du r³=r·r·r. Dann nimmst du mal 4 und teilst durch 3. Das Ergebnis schreibst du als Vielfaches von π, zum Beispiel 36·π.

Zum Schluss rechnest du mit der π-Taste und rundest, meist auf eine Dezimale.

MerkeKugelvolumen: vier Drittel mal π mal Radius hoch 3.

Warum hoch 3?

Ein Volumen misst Raum in drei Richtungen: Länge, Breite und Höhe. Darum steht der Radius hoch 3, und das Ergebnis hat eine Kubikeinheit wie cm³ oder m³.

Das hat eine Folge: Verdoppelst du den Radius, wird das Volumen 2·2·2=8-mal so gross. Eine Kugel mit r=2 cm fasst achtmal so viel wie eine mit r=1 cm.

Die Kugel im Zylinder

Stell dir einen Zylinder vor, in den die Kugel genau hineinpasst: gleicher Radius r und Höhe 2·r. Sein Volumen ist π·r²·2·r=2·π·r³.

Die Kugel füllt genau zwei Drittel davon:

23·2·π·r³=43·π·r³

Das fand schon der griechische Mathematiker Archimedes heraus. So kannst du dein Ergebnis grob prüfen: Die Kugel ist kleiner als dieser Zylinder, aber grösser als seine Hälfte.

Volumen und Oberfläche nicht verwechseln

Die ist die Haut der Kugel. Du misst sie in Quadrateinheiten wie cm². Sie ist genau viermal so gross wie ein Kreis mit demselben Radius:

O=4·π·r²

Beide Formeln beginnen mit 4·π. Fürs Volumen kommt r³ und das Teilen durch 3 dazu, für die Oberfläche nur r².

MerkeVolumen: r hoch 3, Einheit cm³. Oberfläche: r hoch 2, Einheit cm².

Der Kreis durch die Mitte der Kugel hat denselben Radius r wie die Kugel. Die Kugeloberfläche ist viermal so gross wie seine Fläche.

Rückwärts: den Radius finden

Ist das Volumen gegeben, stellst du die Formel nach r³ um:

r³=3·V4·π

Dann ziehst du die . Du suchst die Zahl, die dreimal mit sich selbst malgenommen r³ ergibt. Aus r³=125 folgt r=5, denn 5·5·5=125. Auf dem Taschenrechner heisst die Taste meist $3 x$ .

Volumen Kugel: Merkblatt mit Formel und Beispiel. O = 4 · π · r². Beispiel: V = 36 · π ≈ 113.1 cm³. — Merkblatt Volumen Kugel: Formel und Beispiel Schritt für Schritt.

Häufige Fehler

✕Mit dem Durchmesser rechnen: Für d = 8 cm also 8³=512.
✓Zuerst halbieren: r = 4 cm, dann 4³=64.
✕r³ als r·3 rechnen: Für r = 5 cm also 15.
✓Hoch 3 heisst dreimal mit sich selbst malnehmen: 5³=5·5·5=125.
✕Fürs Volumen 4·π·r² nehmen.
✓Das ist die Oberfläche. Das Volumen braucht r³ und das Teilen durch 3: V=4·π·r³3.
✕4'188.8 cm³ sind 418.88 Liter.
✓1 Liter sind 1'000 cm³. Teile durch 1'000: 4'188.8 cm³ sind etwa 4.2 Liter.

Begriffe zum Nachschlagen

Radius: Die Strecke vom Mittelpunkt der Kugel bis zum Rand, kurz r.
Durchmesser: Die Strecke durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand, kurz d. Er ist doppelt so lang wie der Radius.
Mittelpunkt: Der Punkt in der Mitte der Kugel. Jeder Punkt am Rand ist gleich weit von ihm entfernt.
Volumen: Wie viel Platz in einem Körper ist, gemessen in cm³, m³ oder Litern.
Oberfläche: Die ganze Aussenfläche der Kugel, gemessen in cm² oder m².
Kubikwurzel: Auch dritte Wurzel. Die Zahl, die hoch 3 die Zahl unter der Wurzel ergibt: $3125 = 5$ .
Halbkugel: Eine Kugel, die genau durch den Mittelpunkt in zwei gleiche Teile geschnitten ist. Ihr Volumen ist die Hälfte des Kugelvolumens.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Kreis berechnen Potenzen Zylinder: Volumen und Oberfläche

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Volumen aus dem Radius

Eine Kugel hat den Radius r=3 cm. Berechne ihr Volumen.

Schnitt durch die Mitte der Kugel mit dem Radius r = 3 cm.

Lösung Schritt für Schritt

Zuerst den Radius hoch 3:r³=3·3·3=27
In die Formel einsetzen, mal 4 und durch 3:V=4·π·273=108·π3=36·π
Mit der π-Taste ausrechnen und auf eine Dezimale runden:V≈113.1

V=36·π≈113.1 cm³

Beispiel 2Erst den Durchmesser halbieren

Eine Kugel hat den Durchmesser d=10 cm. Berechne ihr Volumen.

Schnitt durch die Mitte: Der Durchmesser von 10 cm geht von Rand zu Rand, der Radius ist die Hälfte davon, also 5 cm.

Lösung Schritt für Schritt

Den Durchmesser halbieren:r=10:2=5
Den Radius hoch 3:r³=5·5·5=125
Einsetzen. 500 lässt sich nicht durch 3 teilen, also bleibt ein Bruch:V=4·π·1253=5003·π
Mit der π-Taste ausrechnen:V≈523.6

V=5003·π≈523.6 cm³

Beispiel 3Wie viel Luft ist in der Hamsterkugel?

Noah aus St. Gallen kauft für seinen Hamster eine durchsichtige Laufkugel. Sie hat innen 15 cm Durchmesser. Wie viele Liter Luft sind darin?

Lösung Schritt für Schritt

Zuerst den Radius:r=15:2=7.5
Den Radius hoch 3:r³=7.5·7.5·7.5=421.875
In die Formel einsetzen und mit der π-Taste ausrechnen:V=4·π·421.8753=1'687.5·π3=562.5·π≈1'767.1
1'000 cm³ sind 1 Liter. Also durch 1'000 teilen:1'767.1:1'000≈1.8

V=562.5·π≈1'767.1 cm³, also etwa 1.8 Liter.

Beispiel 4Den Radius aus dem Volumen

Eine Kugel hat das Volumen V=972·π cm³. Wie gross ist ihr Radius?

Lösung Schritt für Schritt

Die Formel aufstellen:4·π·r³3=972·π
Auf beiden Seiten durch π teilen, dann mal 3 und durch 4:r³=972·3:4=729
Die dritte : $r = 3729 = 9$
Probe: 9·9·9=729, und 4·7293=972. Es stimmt.

r³=729, also r=9 cm.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
Eine Kugel hat den Radius r=2 cm. Berechne ihr Volumen.
Lösung zeigen
Ergebnis: V=323·π≈33.5 cm³
Schnitt durch die Mitte der Kugel mit dem Radius r = 2 cm.
1. r³=2·2·2=8
2. V=4·π·83=323·π
3. Mit der π-Taste: V≈33.5 cm³
2
Eine Kugel hat den Radius r=6 cm. Berechne ihr Volumen.
Lösung zeigen
Ergebnis: V=288·π≈904.8 cm³
Schnitt durch die Mitte der Kugel mit dem Radius r = 6 cm.
1. r³=6·6·6=216
2. V=4·π·2163=864·π3=288·π
3. Mit der π-Taste: V≈904.8 cm³
3
Eine Kugel hat den Durchmesser d=2 cm. Berechne ihr Volumen.
Lösung zeigen
Ergebnis: V=43·π≈4.2 cm³
Schnitt durch die Mitte: Der Durchmesser ist 2 cm, der Radius also 1 cm.
1. Radius: r=2:2=1 cm
2. r³=1, also V=4·π·13=43·π
3. Mit der π-Taste: V≈4.2 cm³
4
Eine Kugel hat den Radius r=7 dm. Berechne ihr Volumen.
Lösung zeigen
Ergebnis: V=1'3723·π≈1'436.8 dm³
1. r³=7·7·7=343
2. V=4·π·3433=1'3723·π
3. Mit der π-Taste: V≈1'436.8 dm³
5
Eine Kugel hat den Radius r=1.5 cm. Berechne ihr Volumen.
Lösung zeigen
Ergebnis: V=4.5·π≈14.1 cm³
1. r³=1.5·1.5·1.5=3.375
2. V=4·π·3.3753=13.5·π3=4.5·π
3. Mit der π-Taste: V≈14.1 cm³

6
Ein Gymnastikball hat 60 cm Durchmesser. Wie viele Liter fasst er?
Lösung zeigen
Ergebnis: V=36'000·π≈113'097.3 cm³, also etwa 113 Liter
1. Radius: r=60:2=30 cm, also r³=27'000
2. V=4·π·27'0003=36'000·π≈113'097.3 cm³
3. Durch 1'000: etwa 113 Liter
7
Eine Klasse aus Davos baut im Schnee ein Iglu. Innen ist es eine Halbkugel mit dem Radius r=2 m. Wie viele m³ Luft sind darin, und wie viele Liter sind das?
Lösung zeigen
Ergebnis: V=163·π≈16.8 m³, also rund 16'800 Liter
1. Ganze Kugel: V=4·π·83=323·π
2. Halbkugel: 323·π:2=163·π≈16.8 m³
3. 1 m³ sind 1'000 Liter: rund 16'800 Liter
8
Eine Kugel hat den Radius r=6 cm. Berechne diesmal ihre Oberfläche.
Lösung zeigen
Ergebnis: O=144·π≈452.4 cm²
1. Für die Oberfläche brauchst du r²=6·6=36
2. O=4·π·36=144·π
3. Mit der π-Taste: O≈452.4 cm²
9
Kugel A hat den Radius 1.5 cm, Kugel B den Radius 6 cm. Wie viel Mal grösser ist das Volumen von B?
Lösung zeigen
Ergebnis: 64-mal so gross
1. Der Bruch 43 und π sind bei beiden gleich, es zählt nur r³.
2. 6:1.5=4, der Radius von B ist 4-mal so gross.
3. 4³=4·4·4=64, also ist B 64-mal so gross.
10
Eine Holzkugel auf einem Spielplatz in Thun hat 8 cm Durchmesser. Wie viel Holz steckt in ihr?
Lösung zeigen
Ergebnis: V=2563·π≈268.1 cm³
1. Radius: r=8:2=4 cm, also r³=64
2. V=4·π·643=2563·π
3. Mit der π-Taste: etwa 268.1 cm³ Holz

11
Eine Kugel hat das Volumen V=288·π cm³. Wie gross ist ihr Radius?
Lösung zeigen
Ergebnis: r³=216, also r=6 cm
1. 4·π·r³3=288·π, durch π teilen
2. r³=288·3:4=216
3. Dritte Wurzel: r=6 cm, denn 6·6·6=216
12
Ein kugelförmiges Aquarium soll genau 36 Liter fassen. Welchen Radius muss es innen haben? Runde auf eine Dezimale.
Lösung zeigen
Ergebnis: r³=27'000π≈8'594.4, also r≈20.5 cm
1. 36 Liter sind 36'000 cm³
2. r³=3·36'0004·π=27'000π≈8'594.4
3. Dritte Wurzel mit dem Taschenrechner: r≈20.5 cm
4. Probe: 43·π·20.5³≈36'087 cm³, also gut 36 Liter
13
Eine Glaskugel mit r=5 cm liegt in einer zylinderförmigen Schachtel, in die sie genau passt: Radius 5 cm, Höhe 10 cm. Wie viel Luft bleibt in der Schachtel?
Lösung zeigen
Ergebnis: 2503·π≈261.8 cm³ Luft
1. Zylinder: V=π·5²·10=250·π
2. Kugel: V=4·π·1253=5003·π
3. Luft: 250·π−5003·π=2503·π≈261.8 cm³, genau ein Drittel des Zylinders
14
Acht kleine Stahlkugeln mit je r=1 cm werden eingeschmolzen. Daraus wird eine grosse Kugel gegossen. Welchen Radius hat sie?
Lösung zeigen
Ergebnis: r³=8, also r=2 cm
1. Acht kleine Kugeln: 8·4·π·1³3=4·π·83
2. Die grosse Kugel hat dasselbe Volumen, also r³=8
3. Dritte Wurzel: r=2 cm

Setzt dein Kind noch den Durchmesser ein oder verwechselt es r hoch 3 mit mal 3, übt eine Lehrperson die Kugel mit ihm Schritt für Schritt. Mathematik-Nachhilfe für die Sek

Üben ohne Ende

Trainer: Volumen Kugel

So funktioniert der Trainer

Unbegrenzt neue Kugeln mit Rückmeldung und Rechenweg, in jeder Stufe mal nach dem Volumen, mal nach der Oberfläche gefragt. Stufe 1 hat ganze Radien, in Stufe 2 ist manchmal der Durchmesser gegeben, Stufe 3 fragt zusätzlich nach Litern und rückwärts nach dem Radius.

Kugel: r = 7 m. Berechne das Volumen V. Runde auf Zehntel.V in m³=

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Kugel berechnen

Volumen und Oberfläche der Kugel, auch rückwärts

Volumen≈904.7787 cm³

In Liter≈0.9048 l

Oberfläche≈452.3893 cm²

Rechenweg

Das Volumen der Kugel ist vier Drittel mal π mal r hoch 3.
V=4·π·r³:3=4·π·6³:3≈904.7787 cm³
1'000 cm³ sind 1 Liter: Teile durch 1'000.
904.7787 cm³:1'000≈0.9048 l
Die Kugeloberfläche ist so gross wie vier Kreise mit demselben Radius.
O=4·π·r²=4·π·6²≈452.3893 cm²

Beispiele

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 3. Sek
Zyklus: Zyklus 3
Fach: Mathematik

Meist in der 3. Sek, nach Kreis, Zylinder und Potenzen. Im Gymnasium kommt die Kugel in der Geometrie wieder, dort oft mit Rückwärts-Aufgaben.

MA.2.A.3.jDas Volumen einer Kugel aus Radius oder Durchmesser berechnen und umgekehrt den Radius aus dem Volumen bestimmen.
MA.3.A.2.kEin Kugelvolumen von cm³ in Liter oder von m³ in Liter umrechnen und sinnvoll runden.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernt man das Volumen der Kugel?

Nach Lehrplan 21 im Zyklus 3, meist in der 3. Sek. Vorher kommen Kreis, Zylinder und Potenzen. Je nach Kanton und Niveau kommt die Kugel auch erst im Gymnasium ausführlich.

Warum steht in der Formel vier Drittel?

Ein Zylinder, in den die Kugel genau passt, hat das Volumen 2·π·r³. Die Kugel füllt zwei Drittel davon, und zwei Drittel von 2 sind vier Drittel. Das hat Archimedes schon vor über 2'000 Jahren gezeigt.

Wie rechne ich das Kugelvolumen in Liter um?

1 Liter ist 1 dm³, also 1'000 cm³. Teile das Volumen in cm³ durch 1'000. Rechnest du in m³, gilt: 1 m³ sind 1'000 Liter.

Was ist der Unterschied zwischen Volumen und Oberfläche der Kugel?

Das Volumen sagt, wie viel in die Kugel hineinpasst: V=43·π·r³, in cm³. Die Oberfläche sagt, wie gross ihre Haut ist: O=4·π·r², in cm².