Die Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich grosse Teile. Du konstruierst sie mit dem Zirkel aus drei Bögen und einem Strahl, ganz ohne zu messen.
Das musst du wissen
Die teilt einen in zwei gleich grosse Teile. Jeder Teil ist halb so gross: Aus werden zweimal . Du sie mit dem Zirkel und prüfst mit dem nach.
Ein Winkel hat einen S und zwei . Die Winkelhalbierende beginnt im Scheitelpunkt und läuft genau in der Mitte zwischen den Schenkeln.
Ist der Winkel α gross, ist jeder Teil α:2 gross. Umgekehrt: Kennst du einen Teil, ist der ganze Winkel doppelt so gross.
MerkeWinkelhalbierende: zwei gleich grosse Teile, jeder halb so gross wie der ganze Winkel.
Lass alle Bögen stehen: Sie zeigen, dass du konstruiert hast.
MerkeBogen um S, zwei gleich grosse Bögen um P und Q, Strahl von S durch den .
Der erste Bogen macht SP und SQ gleich lang, die Bögen um P und Q machen PW und QW gleich lang. Darum ist die Figur SPWQ symmetrisch: Klappst du sie an der durch S und W um, fällt P auf Q.
Dabei fällt auch der eine Teilwinkel auf den anderen. Also sind beide gleich gross, bei jedem Winkel.
Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden ist von beiden Schenkeln gleich weit entfernt. Den Abstand misst du senkrecht zum Schenkel, also auf dem kürzesten Weg.
Umgekehrt liegt jeder Punkt im Winkel, der von beiden Schenkeln gleich weit weg ist, auf der Winkelhalbierenden. Ein Kreis, der beide Schenkel berührt, hat dort seinen .
MerkeAbstand zu einem Schenkel heisst: senkrecht messen, nicht schräg.
Halbierst du einen (), steht die Winkelhalbierende senkrecht auf der Geraden. So konstruierst du eine Senkrechte in einem Punkt einer Geraden.
ergeben zusammen . Ihre zwei Winkelhalbierenden stehen immer senkrecht aufeinander, denn die zwei Hälften ergeben .
Ein ist grösser als . Halbiere mit dem Zirkel den Rest bis und verlängere diese Winkelhalbierende über S hinaus.
Beispiel: Bei ist der Rest . Die Verlängerung teilt die in zweimal .
Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt im Innern. Er ist von allen drei Seiten gleich weit entfernt: der Mittelpunkt des .
Dafür reichen zwei Winkelhalbierende. Den misst du vom Schnittpunkt senkrecht auf eine Seite.
MerkeInkreis: Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, gleich weit von allen drei Seiten.
Im gleichschenkligen Dreieck ist die Winkelhalbierende an der Spitze zugleich Höhe und Symmetrieachse. Sie trifft die Basis senkrecht und genau in der Mitte.
In anderen Dreiecken trifft eine Winkelhalbierende die Gegenseite nicht in der Mitte.
✕Den Zirkel zwischen dem Bogen um P und dem Bogen um Q verstellen.
✓Beide Bögen brauchen dieselbe Zirkelöffnung. Sonst liegt W neben der Mitte und die zwei Teile sind verschieden gross.
✕Für die Bögen um P und Q den Zirkel ganz klein öffnen.
✓Öffne ihn weiter als die halbe von P nach Q. Sonst schneiden sich die zwei Bögen nicht.
✕Den Abstand eines Punkts zum Schenkel schräg messen.
✓Miss senkrecht zum Schenkel. Nur dann sind die Abstände zu beiden Schenkeln gleich gross.
✕Die Winkelhalbierende in einem Dreieck trifft die Gegenseite in der Mitte.
✓Das gilt nur im gleichschenkligen Dreieck an der Spitze. In anderen Dreiecken trifft sie die Gegenseite neben der Mitte.
Noch unsicher? Zuerst lernen:Winkel messen
So geht's
Zeichne einen Winkel von 70° mit dem Scheitelpunkt S und konstruiere seine Winkelhalbierende. Wie gross ist jeder Teil?
Jeder Teilwinkel ist 35° gross. Mit dem Geodreieck kannst du es nachmessen.
Auf einer Geraden liegen die Nebenwinkel und β. Du konstruierst beide Winkelhalbierenden. Welchen Winkel bilden sie miteinander?
Die zwei Winkelhalbierenden bilden einen rechten Winkel von 90°.
In Luzern treffen zwei gerade Velowege in einem Winkel von 64° aufeinander. Zwischen den Wegen soll ein Brunnen stehen, der von beiden Wegen 8 m entfernt ist. Wo steht er, und welchen Winkel bildet die Linie vom Treffpunkt der Wege zum Brunnen mit jedem Weg?
Der Brunnen steht auf der Winkelhalbierenden, 8 m von jedem Weg entfernt. Die Linie vom Treffpunkt der Wege zum Brunnen bildet mit jedem Weg einen Winkel von 32°.
Im Dreieck ABC ist und . Die Winkelhalbierenden von α und β schneiden sich im Punkt I. Wie gross ist der Winkel bei I im Dreieck ABI?
Der Winkel bei I ist 120° gross. I ist der Mittelpunkt des Inkreises.
Jetzt du
Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.
Du konstruierst die Winkelhalbierende eines Winkels von 80°. Wie gross ist jeder Teilwinkel?
Ergebnis: 40°
Ein misst 120°. Wie gross sind die zwei Teile nach dem Halbieren?
Ergebnis: je 60°
Die Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Teile von je 27°. Wie gross ist der ganze Winkel?
Ergebnis: 54°
Du halbierst einen rechten Winkel. Wie gross ist jeder Teil?
Ergebnis: 45°
Ein Stück Rüeblitorte hat an der Spitze einen Winkel von 48°. Zwei Kinder teilen es entlang der Winkelhalbierenden. Welchen Winkel hat jedes Stück an der Spitze?
Ergebnis: 24°
Halbiere einen Winkel von 75°. Wie gross ist jeder Teil?
Ergebnis: 37.5°
Ein Winkel misst 163°. Wie gross ist jeder Teil nach dem Halbieren?
Ergebnis: 81.5°
Der Winkel und sein Nebenwinkel liegen an einer Geraden. Du halbierst beide. Welchen Winkel bilden die zwei Winkelhalbierenden?
Ergebnis: 90°
Der Punkt M liegt auf der Winkelhalbierenden eines Winkels und ist vom einen Schenkel 2.5 cm entfernt. Ein Kreis um M berührt beide Schenkel. Welchen hat er?
Ergebnis: 5 cm
Du halbierst einen Winkel von 158°. Wie gross ist jeder Teil? Ist er spitz oder stumpf?
Ergebnis: 79°, ein spitzer Winkel
Ein Winkel bei S misst 80°. Ein Strahl von S aus teilt ihn in zwei Teile von 30° und 50°. Du konstruierst die Winkelhalbierenden beider Teile. Welchen Winkel bilden die zwei Winkelhalbierenden miteinander?
Ergebnis: 40°
Im Dreieck ABC ist und . Die Winkelhalbierenden bei A und B schneiden sich in I. Wie gross ist der Winkel bei I im Dreieck ABI?
Ergebnis: 110°
Ein überstumpfer Winkel misst 250°. Wie gross ist jeder Teil nach dem Halbieren? Welchen Winkel halbierst du dafür mit dem Zirkel?
Ergebnis: Je 125°. Mit dem Zirkel halbierst du den Rest von 110° und verlängerst diese Winkelhalbierende über S hinaus.
Ein Winkel misst 70°. Du verlängerst einen Schenkel über den Scheitelpunkt S hinaus. Welchen Winkel bildet die Winkelhalbierende mit dieser Verlängerung?
Ergebnis: 145°
In einem gleichschenkligen Dreieck misst der Winkel an der Spitze 40°. Seine Winkelhalbierende trifft die Basis im rechten Winkel. Wie gross ist ein Winkel an der Basis?
Ergebnis: 70°
Rutscht beim Konstruieren noch der Zirkel oder sind die zwei Teile nicht gleich gross, übt eine Lehrperson mit deinem Kind jeden Bogen, bis die Winkelhalbierende sitzt. Mathematik-Nachhilfe für die 6. Klasse und die Sek
Üben ohne Ende
Wähle die richtige Antwort, mit Erklärung nach jeder Frage. Stufe 1 übt die Schritte und das Halbieren, Stufe 2 Nebenwinkel, Abstände und besondere Winkel, Stufe 3 Winkelhalbierende im Dreieck und den Inkreis.
Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).
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Mehr zu Winkel und Konstruieren
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Jetzt übenFür Eltern und Lehrpersonen
Winkel messen und zeichnen lernst du in der 5. und 6. Klasse. Die Winkelhalbierende mit dem Zirkel kommt je nach Kanton Ende 6. Klasse oder in der 1. Sek, der Inkreis meist in der 1. oder 2. Sek.
MA.2.C.2.hEinen beliebigen Winkel mit Zirkel und Lineal genau in zwei gleiche Hälften teilen und die Winkelhalbierende auch mit dem Geodreieck zeichnen.MA.2.A.1.iDie Wörter Winkelhalbierende, Schenkel und Inkreis kennen und beim Beschreiben einer Konstruktion richtig brauchen.MA.2.C.2.fIn der Primarschule mit Zirkel und Geodreieck saubere Kreise und Winkel zeichnen; darauf baut die Konstruktion auf.MA.2.C.2.iWinkelhalbierende als Hilfslinien nutzen, wenn ein Dreieck oder sein Inkreis aus gegebenen Stücken konstruiert wird.Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21
Gut zu wissen
Meist Ende der 6. Klasse oder in der 1. Sek, je nach Kanton und Lehrmittel. Vorher lernst du, Winkel mit dem Geodreieck zu messen und zu zeichnen. Den Inkreis mit den Winkelhalbierenden konstruierst du meist in der Sek.
Zeichnen ja: Winkel messen, halbieren und die Hälfte abtragen. Steht in der Aufgabe «konstruieren», verlangt die Lehrperson aber meist Zirkel und Lineal, und die Bögen müssen sichtbar sein.
Die Winkelhalbierende gehört zu einem Winkel und teilt ihn in zwei gleiche Teile; ihre Punkte sind gleich weit von zwei Schenkeln entfernt. Die Mittelsenkrechte gehört zu einer Strecke, halbiert sie und steht senkrecht darauf; ihre Punkte sind gleich weit von zwei Punkten entfernt.
Für den ersten Bogen um den Scheitelpunkt ist jede Öffnung recht. Für die Bögen um P und Q muss sie grösser sein als die halbe Strecke PQ und für beide gleich bleiben.
Begriff
Der Strahl, der einen Winkel in zwei gleich grosse Hälften teilt. Du konstruierst ihn mit dem Zirkel.
BeispielDie Winkelhalbierende eines 60°-Winkels macht zwei Winkel zu 30°.
Begriff
Eine Figur genau mit Zirkel und Lineal zeichnen, sodass jeder Schritt nachprüfbar ist, ohne zu schätzen.
BeispielEin Dreieck aus drei Seitenlängen mit dem Zirkel konstruieren.
Begriff
Ein durchsichtiges Dreieck mit Massstab und Winkelskala. Damit misst und zeichnest du Winkel, rechte Winkel und parallele Linien.
BeispielWinkel messen: Nullpunkt auf den Scheitelpunkt, lange Seite auf einen Schenkel.
Begriff
Wie weit zwei Linien auseinandergehen, die sich in einem Punkt treffen. Man misst ihn in Grad (°).
BeispielEine ganze Drehung hat 360°, ein rechter Winkel 90°.
Begriff
Der Punkt, in dem die zwei Schenkel eines Winkels zusammenkommen. Bei einer Parabel heisst so ihr tiefster oder höchster Punkt.
BeispielIm Winkel ASB ist S der Scheitelpunkt.
Begriff
Die zwei Strahlen, die einen Winkel bilden. Im gleichschenkligen Dreieck heissen auch die zwei gleich langen Seiten Schenkel.
BeispielEin gleichschenkliges Dreieck mit Schenkeln von 5 cm und einer Basis von 3 cm
Begriff
Eine gerade Linie mit einem Anfangspunkt, aber ohne Ende. Die Schenkel eines Winkels sind Strahlen.
Begriff
Der Punkt, in dem sich zwei Linien kreuzen. Er liegt auf beiden Linien.
BeispielDie Geraden y=x und y=4−x schneiden sich im Punkt (2|2).
Begriff
Eine gerade Linie ohne Anfang und ohne Ende. Sie geht in beide Richtungen unendlich weiter, darum hat sie keine Länge.
BeispielDurch zwei Punkte A und B geht genau eine Gerade.
Begriff
Der Punkt genau in der Mitte, beim Kreis kurz M. Alle Punkte der Kreislinie sind gleich weit von ihm entfernt.
BeispielMit dem Zirkel stichst du in den Mittelpunkt ein.
Begriff
Ein Winkel von genau 180°. Die beiden Schenkel bilden zusammen eine gerade Linie.
Begriff
Zwei Winkel, die nebeneinander an derselben Geraden liegen. Zusammen ergeben sie immer 180°.
BeispielIst ein Winkel 70°, ist sein Nebenwinkel 110°.
Begriff
Der Kreis im Innern eines Dreiecks, der alle drei Seiten berührt. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Begriff
Die Strecke vom Mittelpunkt eines Kreises bis zur Kreislinie, kurz r. Er ist halb so lang wie der Durchmesser.
BeispielDurchmesser 10 cm, Radius 5 cm
Begriff
In der Geometrie die gerade Verbindung zwischen zwei Punkten. Sie hat zwei Endpunkte und eine Länge, die du mit dem Lineal misst.
BeispielDie Strecke von A nach B schreibt man .
Begriff
Die Strecke durch den Mittelpunkt eines Kreises von Rand zu Rand. Sie ist doppelt so lang wie der Radius.
BeispielRadius 4 cm, Durchmesser 8 cm
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